Теория вероятностей и математическая статистика

  • Вид работы:
    Контрольная работа
  • Предмет:
    Математика
  • Язык:
    Русский
    ,
    Формат файла:
    MS Word
    52,21 Кб
  • Опубликовано:
    2015-03-17
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!

Теория вероятностей и математическая статистика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТУЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ

(Тульский филиал РГТЭУ)




КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

«Теория вероятностей и математическая статистика»

Вариант № 5


Выполнила:

Студентка 3 курса

Заочного отделения

специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит.»

Серкина И.А.

Проверил:

Глаголева Марина Олеговна


Тула 2014год

Задание №1

Бросаются два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков

) равна 6;

) не превосходит 7;

) больше 7.

Решение.

Используем классическое определение вероятности . В нашем случае общее число исходов равно .

Благоприятное число исходов равно  и искомая вероятность .

Благоприятное число исходов равно  и искомая вероятность .

Благоприятное число исходов равно  и искомая вероятность .

Задание №2

В ящике находится 7 гвоздей, 7 шурупов и 8 болтов. Наудачу выбирают две детали. Найдите вероятность того, что достали

) два болта;

) два шурупа;

) гвоздь и болт;

) болт и шуруп.

Решение.

Используем классическое определение вероятности . В нашем случае общее число исходов равно .

Благоприятное число исходов равно  и искомая вероятность .

Благоприятное число исходов равно  и искомая вероятность .

Благоприятное число исходов равно  и искомая вероятность .

Благоприятное число исходов равно  и искомая вероятность .

Задание №3

В ящике находится 7 гвоздей, 7 шурупов и 8 болтов. Наудачу выбирают три детали. Найдите вероятность того, что достали

) три болта;

) один болт и два шурупа;

) болт, гвоздь и шуруп.

Решение.

Используем классическое определение вероятности . В нашем случае общее число исходов равно .

Благоприятное число исходов равно  и искомая вероятность .

Благоприятное число исходов равно  и искомая вероятность .

Благоприятное число исходов равно  и искомая вероятность .

Задание №4

Пассажир может приобрести билет в одной из двух касс. Вероятность обращения в первую кассу составляет 0,4, а во вторую - 0,6. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира нужные ему билеты будут распроданы, будет равна 0,35 для первой кассы и 0,7 для второй. Пассажир посетил одну из касс и приобрел билет. Какова вероятность того, что он приобрел его во второй кассе?

Решение.

А - пассажир посетил одну из касс и приобрел билет

 - пассажир посетил первую кассу,

 - пассажир посетил вторую кассу,

Условные вероятности , .

Тогда по формуле полной вероятности .

Вероятность того, что пассажир приобрел билет во второй кассе находим по формуле Байеса: .

Задание №5

Производятся четыре выстрела по мишени. Вероятность попасть в цель при одном выстреле равна 0,5 . Найдите вероятность того, что

будет хотя бы одно попадание;

будет два попадания;

будет не менее трех попаданий.

Решение.

В данном случае необходимо использовать формулу Бернулли:

 при .

)

)

)

Задание №6

По данным телеателье установлено, что в среднем 20% цветных телевизоров выходят из строя в течение гарантийного срока. Какова вероятность того, что из 225 проданных цветных телевизоров будут работать исправно в течение гарантийного срока:

а) 164 телевизора;

б) от 172 до 184 телевизоров?

Решение.

а) Используем локальную теорему Муавра-Лапласа:

. Тогда .

б) Используем интегральную теорему Муавра-Лапласа:  тогда  .

Задание №7

Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

Х

5

7

10

21

р




вероятность комбинация теорема отклонение

Найти:

а) математическое ожидание , дисперсию  и среднее квадратическое отклонение  данной случайной величины;

б) отразить математическое ожидание и СКО на многоугольнике распределения.

Решение.


Задание №8

Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины равно m=8, ее среднее квадратичное отклонение . Выполните следующие задания:

) напишите формулу функции плотности распределения вероятности и схематично постройте ее график;

) найдите вероятность того, что X примет значения из интервала .

Решение.

 - формула функции плотности распределения вероятности


Задание №9

Дана выборка объемом N= 38 значений дневной выручки магазина (в тыс. руб.). На основании этих данных:

. построить интервальный статистический ряд;

. построить функцию распределения и гистограмму;

. вычислить среднее значение , среднее квадратическое отклонение S;

. получить точечные и интервальные оценки математического ожидания  и дисперсии  генеральной совокупности. (Доверительная вероятность равна 0,95)

. проверьте гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона при уровне значимости .

Исходные данные:

19,713

22,441

18,747

22,470

20,531

16,982

20,895

17,744

19,678

19,212

23,248

18,388

21,814

18,085

22,692

17,318

22,079

17,861

19,783

21,060

22,072

19,519

21,954

20,433

16,788

18,320

22,060

16,595

19,225

20,182

23,155

19,550

22,814

17,332

19,419


21,624

18,413

20,129



Решение.

Число групп определим по формуле Стэрджесса: .

Ширина интервала составит: .

Результаты группировки оформим в виде таблицы:

Интервалы группировки

Частота

16,592-17,702

5

17,702-18,812

7

18,812-19,922

8

19,922-21,032

5

21,032-22,142

7

22,142-23,252

6

Сумма

38



Таблица для расчета показателей.

Интервалы

Середины интервалов, Частоты,




16,592-17,702

17,147

5

85,735

39,31208

17,702-18,812

18,257

7

127,799

20,087452

18,812-19,922

19,367

8

154,936

2,728448

19,922-21,032

20,477

5

102,385

1,38338

21,032-22,142

21,587

7

151,109

18,735472

22,142-23,252

22,697

6

136,182

45,243096

Итого


38

758,146

127,489928

Выборочное среднее определим по формуле средней арифметической взвешенной, в качестве вариант используя середины интервалов:

.

Определим дисперсию:  и среднее квадратическое отклонение .

И несмещенные оценки:  и .

Доверительный интервал для генерального среднего имеет вид:

Определяем значение t по таблице распределения Стьюдента tтабл (n-1;α/2) = (37;0,025) = 2,021.

 и доверительный интервал имеет вид: .

Определим доверительный интервал для дисперсии.

Вероятность выхода за нижнюю границу равна P(χ2n-1 < hH) = (1-γ)/2 = (1-0,95)/2 = 0,025. Для количества степеней свободы k = 37 по таблице распределения χ2 находим: χ2(37;0,025) = 55,668.

Случайная ошибка дисперсии:

Вероятность выхода за верхнюю границу равна P(χ2n-1 ≥ hB) = 1 - P(χ2n-1 < hH) = 1 - 0,025 = 0,975. Для количества степеней свободы k = 37, по таблице распределения χ2 находим: χ2(37;0,975) = 22,106.

Случайная ошибка дисперсии: .

Тогда доверительный интервал имеет вид: .

Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона , где pi - вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону

Для вычисления вероятностей pi применим формулу и таблицу функции Лапласа .

Интервалы

ni

Ф(x1)Ф(x2)pi38piKi







16,592-17,702

5

-1,81

-1,21

-0,46

-0,39

0,0766

2,91

1,5

17,702-18,812

7

-1,21

-0,61

-0,39

-0,23

0,16

5,92

0,2

18,812-19,922

8

-0,61

-0,0157

-0,23

-0,008

0,22

8,53

0,0325

19,922-21,032

5

-0,0157

0,58

-0,008

0,22

0,23

8,76

1,61

21,032-22,142

7

0,58

1,18

0,22

0,38

0,16

6,1

0,13

22,142-23,252

6

1,18

1,78

0,38

0,46

0,0795

3,02

2,94

Сумма

38







6,41


Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение Kнабл, тем сильнее довод против основной гипотезы.

Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [Kкp;+∞).

Её границу Kкp = χ2(k-r-1;α) находим по таблицам распределения χ2 и заданным значениям s, k, r=2. кp = 11,345; Kнабл = 6,54

Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область, поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу. Справедливо предположение о том, что данные выборки имеют нормальное распределение.

Задание №10

По данным, приведенным ниже:

. определить выборочный коэффициент корреляции;

. получить уравнение регрессии Y=A*X+B;

. наложить прямую регрессии на поле рассеивания.

Решение.

X

Y

0,304

2,518

0,135

2,185

0,443

2,413

0,883

3,244

0,341

2,481

0,681

2,758

0,205

2,204

0,346

2,517

0,492

2,495

0,161

2,485

0,740

3,053

0,670

2,740

0,532

2,507

0,192

2,363

0,122

2,189

0,036

2,345

0,275

2,497

0,160

2,558

0,154

2,358

0,110

2,301

0,884

2,836

0,149

2,470

0,041

2,058

0,826

2,801

0,876

2,939

0,959

3,130

0,102

2,366

0,377

2,795

2,740

0,862

3,076


Построим поле корреляции


С помощью метода наименьших квадратов найдем линейную зависимость между X и Y:

Для расчетов параметров a и b линейной регрессии  решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:


Строим рабочую таблицу

Номер

х

у

х2

ху

у2

1

0,304

2,518

0,092416

0,765472

6,340324

2

0,135

2,185

0,018225

0,294975

4,774225

3

0,443

2,413

0,196249

1,068959

5,822569

4

0,883

3,244

0,779689

2,864452

10,523536

5

0,341

2,481

0,116281

0,846021

6,155361

6

0,681

2,758

0,463761

1,878198

7,606564

7

0,205

2,204

0,042025

0,45182

4,857616

8

0,346

2,517

0,119716

0,870882

6,335289

9

0,492

2,495

0,242064

1,22754

6,225025

10

0,161

2,485

0,025921

0,400085

6,175225

11

0,74

3,053

0,5476

2,25922

9,320809

12

0,67

2,74

0,4489

1,8358

7,5076

13

0,532

2,507

0,283024

1,333724

6,285049

14

0,192

2,363

0,036864

0,453696

5,583769

15

0,122

2,189

0,014884

0,267058

4,791721

16

0,036

2,345

0,001296

0,08442

5,499025

17

0,275

2,497

0,075625

0,686675

6,235009

18

0,16

2,558

0,0256

0,40928

6,543364

19

0,154

2,358

0,023716

0,363132

5,560164

20

0,11

2,301

0,0121

0,25311

5,294601

21

0,884

2,836

0,781456

2,507024

8,042896

22

0,149

2,47

0,022201

0,36803

6,1009

23

0,041

2,058

0,001681

0,084378

4,235364

24

0,826

2,801

0,682276

2,313626

7,845601

25

0,876

2,939

0,767376

2,574564

8,637721

26

0,959

3,13

0,919681

3,00167

9,7969

27

0,102

2,366

0,010404

0,241332

5,597956

28

0,377

2,795

0,142129

1,053715

7,812025

29

0,383

2,74

0,146689

1,04942

7,5076

30

0,862

3,076

0,743044

2,651512

9,461776

Сумма

12,441

77,422

7,782893

34,45979

202,475584

Среднее

0,415

2,581

0,259

1,149

6,749


.

Т.е. уравнение линейно регрессии имеет вид: .

Найдем коэффициент корреляции.

,

т.е. связь между рассматриваемыми показателями положительная, тесная.

Похожие работы на - Теория вероятностей и математическая статистика

 

Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу
Без плагиата!