Теория вероятностей и математическая статистика
Факультет
дизайна и компьютерных технологий
Кафедра
компьютерных технологий
КОНТРОЛЬНАЯ
РАБОТА
По
дисциплине
«Математика»
По
теме: «Теория вероятностей и математическая статистика»
Выполнил: студент
гр. зДиКТ 24-10
Николаев В.В.
Проверила: ассист.
Андреева Л.Н.
Чебоксары
2012
Задание № 1
Два брата входят в состав двух спортивных
команд, состоящих из 12 человек каждая. В двух урнах имеется по 12 билетов с
номерами от 1 до 12. Члены каждой команды вынимают наудачу по одному билету из
определенной урны (без возвращения). Найти вероятность того, что оба брата
вытащат билет номер 6.
Решение:
Т.к. в команде по 16 человек, то
Вероятность того, что первый брат взял билет №6:
P1 = 1/12.
Вероятность того, что второй брат взял билет №6:
P1 = 1/12.
Вероятность того, что у обоих братьев окажется
6-ой номер:Р=P1 * P2 = (1/12) * (1/12) = 1/144.
Ответ: Р=1/144.
Задание № 2
Дискретная величина X может принимать только два
значения x1 и x2, причем x1< x2. Известна вероятность р1 возможного значения
x1, математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(x). Найти закон распределения
этой случайной величины.
p1
|
M(X)
|
D(X)
|
0,2
|
3,8
|
0,16.
|
Решение:
Т.к. по условию случайная величина может
принимать только два значения, то р2=1-р1=1-0,2=0,8.
Подставим известные значения
р2
|
p1
|
M(X)
|
D(X)
|
0,8
|
0,2
|
3,8
|
0,16.
|
И получим систему уравнений:
Выразим
Тогда получим:
Раскрываем скобки, умножаем обе
части выражения на 0,2 и переносим все в левую часть выражения. Получим:
Получили квадратное уравнение
относительно х2.

, тогда
3

, тогда
Т.к. по условию x1 < x2 ,
получаем закон распределения дискретной случайной величины.
Ответ:
Задание № 3
Найти p5(4) если p= 0,6 + N x 0,01. N=10
Решение:
=0.6+10*0.01=0.6+0.1=0.7. Т.о.
Q=1-p=1-0.7=0.3.=5,k=4.
По локальной теореме Муавра-Лапласа получим:
Вычислим значение
.
По таблице находим
.
Т.о. искомая вероятность 
Задание № 4
Вероятность того, что наудачу взятое
изделие отвечает стандарту, равна 0,9. Найти вероятность того, что из 500+10хN
проверенных изделий стандартными окажутся: а) ровно 470 + 10хN изделий, б) не
более 470+10хN и не менее 395 +10хN изделий, в) не более 394 + 10хN изделий.
N=10.
Т.о. нужно решить задачу:
Вероятность того, что наудачу взятое
изделие отвечает стандарту, равна 0,9.
Найти вероятность того, что из 600
проверенных изделий стандартными окажутся:
а) ровно 570 изделий,
б) не более 570 и не менее 495
изделий,
в) не более 494
Решение:=600, p=0.9, q=1-p=0.1.
а) Так как n=600 достаточно велико
(условие
), то
применяем локальную формулу Муавра-Лапласа.
Вначале определим
.
.
б) Используем интегральную теорему
Муавра - Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании
постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления
события А в n независимых испытаниях заключено в пределах от a до b, при
достаточно большом числе т приближенно равна
, где
- функция Лапласа;
,
- нечетная функция.
Найдем:
,
Получим
.
в) Необходимо найти
.
Найдем :
,
.
Ответ: а) р=0; б) р=0,9998; в) р=0.
Задание № 5
Дана функция распределения случайной
величины
Построить график функции
распределения случайной величины и найти плотность распределения f(x),
математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(x). N=10
Решение:
Т.о. функция имеет вид:
Построим график функции:
вероятность случайная
величина распределение
Найдем плотность распределения:
Вычислим математическое ожидание
Вычислим дисперсию случайной величины
Х - D(Х):
Ответ:
плотность распределения:
Математическое ожидание M(X)=0.5
Дисперсия D(X)=1.48
Задание № 6
Найти вероятность попадания
случайной величины Х в интервал (6+2xN; 8+2xN), если Х распределена нормально
. N=10
Решение:
Т.о. условие задачи таковы:
Найти вероятность попадания
случайной величины Х в интервал (26; 28), если Х распределена нормально
.
Воспользуемся формулой
,
где
- плотность нормального
распределения и
- Функция Лапласа - табулированная
функция.
.
Ответ: Вероятность попадания равна
0.