Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика

Задача 4.

Уравнение линии регрессии:

a) получить 50 случайных независимых значений {x₁,…,x₅₀} случайной величины X, равномерно распределенной на интервале (0, 9); получить 50 случайных независимых значений {y₁,…,y₅₀} случайной величины Y следующим образом: y_i – случайное число, распределенное по показательному закону с параметром

b) найти уравнение прямой линии регрессии Y на X по этим данным;

c) проверить с помощью критерия «хи квадрат» гипотезу о нормальном распределении с нулевым математическим ожиданием отклонений имеющихся данных от прямой регрессии при уровне значимости 0.05; при этом рассмотреть группированную выборку, разделив отрезок [-D_max, D_max] на 5 равных частей, где D_max – наибольшее по абсолютной величине отклонение y_i от линии регрессии.

Решение:

Получим 50 случайных независимых значений {x₁,…,x₅₀} случайной величины X, равномерно распределенной на интервале (0, 9):

8.83174196071923

6.99053263384849

8.93890746776015

0.385410904884338

5.75393992289901

4.51090870331973

0.00656201597303152

7.97929550148547

6.6076143393293

4.54793028719723

1.40597840119153

2.18026433419436

5.0019520400092

5.61958408355713

0.148369995877147

4.25108801946044

4.77254802547395

1.53819094598293

6.14594876859337

0.812219920568168

6.2368449093774

1.69562757108361

0.777272606268525

2.94200689997524

7.07131071947515

2.973582518287

8.08092284202576

2.89726528152823

8.8169469544664

3.27939590346068

0.570096284151077

8.46246168483049

2.00763375777751

2.70446146745235

8.67470343410969

1.92118153441697

1.92350933980197

1.31150823365897

1.80795181263238

3.65427995938808

8.97048242390156

2.54362053237855

0.0568648930639029

6.36279229167849

1.68422971665859

4.25911642424762

2.50030734948814

4.91532963048667

7.35895295999944

4.39228433836252

Получим 50 случайных независимых значений {y₁,…,y₅₀} случайной величины Y следующим образом: yi – случайное число, распределенное по показательному закону с параметром :

24.9323592452182

15.7441606069719

15.5028112434691

2.87790855039727

4.16156795216443

0.190460347139702

0.252207251176988

5.55884492608762

11.5417165759534

11.8189116910915

9.57191092954621

6.48268208064067

11.9201379351172

0.0563900402236241

6.07239051882238

10.8341890845962

2.77373256888689

1.4735808529829

0.683544240471081

1.536352690789

0.100495382422226

6.48630115206778

1.01940005703768

6.79791391486788

2.34472037157293

2.06912254815368

3.42524848981833

9.45107565557296

3.18848770214796

1.69800713475763

2.42887690987151

6.18175839336735

4.85432860734921

3.12088295311468

0.14473630724364

0.312712437424258

1.16492882917332

2.95306149294792

6.38190212865322

0.293019110223049

0.664514453422601

3.47608211592645

20.3599120342622

1.45318365215952

9.23209976014301

0.965294785502523

6.29747102157127

6.46689933291391

3.14474865192493

Найдем уравнение прямой линии регрессии Y на X по этим данным по формулам

Уравнение прямой линии регрессии Y на X:

Получены следующие значения отклонений имеющихся данных от прямой регрессии:

15.1803992483777

7.69319511536507

5.65184678474214

0.929060620003659

-2.74697588437076

-5.56971364166513

-1.34664251825399

-3.40558552590376

3.84450875080244

6.024535447371

6.68021544884769

2.87566537149934

4.45916201865442

5.13571824955786

-1.67346851299683

0.55225091890577

4.83230056456327

-0.240106987952807

-5.79711892247662

-1.65960963866345

-5.81832115202078

-3.05879142493402

4.17543322148284

-3.29134973659658

-1.99520044159931

-6.98919595084991

-0.844166923187427

-0.287216028830924

-1.43395768887411

-0.421461708068378

-6.98192485416478

2.73422581111747

0.763034293093572

-6.48599757504491

-3.22292770452086

-3.0571021088348

-1.63949073262982

-0.309995654309725

1.41312147312541

-9.58711575629829

-3.27818755099385

1.8307602174006

12.8888821627727

-1.69557328905632

3.70454314781532

-2.93739249325208

0.163674237751803

-1.9244299300759

-2.50583465100064

Проверим с помощью критерия «хи квадрат» гипотезу о нормальном распределении с нулевым математическим ожиданием отклонений имеющихся данных от прямой регрессии при уровне значимости 0.05:

Найдем наибольшее по абсолютной величине отклонение y_i от линии регрессии:

Рассмотрим группированную выборку, разделив отрезок [-D_max, D_max] на 5 равных частей:

z_i

z_i+1

n_i

-15.1803992483777

-9.10823954902661

1

-9.10823954902661

-3.03607984967554

12

-3.03607984967554

3.03607984967554

25

3.03607984967554

9.10823954902662

10

9.10823954902662

15.1803992483777

2

Вычислим шаг:

Вычислим выборочное среднее по формуле

Вычислим выборочное среднее квадратическое отклонение по формуле

Вычислим теоретические вероятности попадания в интервалы (z_i, z_i+1) по формуле

_{Вычислим теоретические частоты по формуле}

z_i

z_i+1

n_i

P_i

f_i

(n_i - f_i)² / f_i

-15.1803992

-9.10823954

0.02546995

0.02546995

0.02546995

-9.10823954

-3.03607984

12

0.23264461

0.23264461

0.23264461

-3.03607984

3.036079849

25

0.48256076

0.48256076

0.48256076

3.036079849

9.108239549

10

0.23264461

0.23264461

0.23264461

9.108239549

15.18039924

2

0.02546995

0.02546995

0.02546995

По таблице критических точек распределения «хи квадрат», по заданному уровню значимости 0.05 и числу степеней свободы 3 находим критическую точку:

Гипотезу о нормальном распределении с нулевым математическим ожиданием отклонений имеющихся данных от прямой регрессии при уровне значимости 0.05 не отвергаем.