Интеграл Фурье и его приложения
Министерство
образования и науки Республики Казахстан
Костанайский
государственный университет имени А. Байтурсынова
Кафедра
математики
Контрольная
работа
на
тему: «Интеграл Фурье и его приложения»
Костанай,
2013 г.
Введение
фурье преобразование физика
уравнение
Преобразование Фурье вычисляется всякий раз,
когда мы слышим звук. Ухо автоматически выполняет вычисление, проделать которое
наш сознательный ум способен лишь после нескольких лет обучения математике. Наш
орган слуха строит преобразование, представляя звук как колебательное движение
частиц упругой среды, распространяющееся в виде волн в газообразной, жидкой или
твёрдых средах - в виде спектра последовательных значений громкости для тонов
различной высоты. Мозг превращает эту информацию в воспринимаемый звук.
Аналогичные операции можно производить с помощью
математических методов над звуковыми волнами или практически над любыми другими
колебательными процессами - от световых волн и океанских приливов до циклов
солнечной активности. Пользуясь этими математическими приёмами, можно
раскладывать функции, представляя колебательные процессы в виде набора
синусоидальных составляющих - волнообразных кривых, переходящих от максимума к
минимуму, затем опять к максимуму, подобно океанской волне.
Преобразование Фурье стало мощным инструментом,
применяемым в различных научных областях. В некоторых случаях его можно
использовать как средство решения сложных уравнений, описывающих динамические
процессы, которые возникают под воздействием электрической, тепловой или
световой энергии. В других случаях оно позволяет выделять регулярные
составляющие в сложном колебательном сигнале, благодаря чему можно правильно
интерпретировать экспериментальные наблюдения в астрономии, медицине и химии.
Первым человеком, поведавшим миру об этом
методе, был французский математик Жан Батист Жозеф Фурье, именем которого и
было названо преобразование. В 1789 году он вывел уравнение, описывающее
распространение тепла в твёрдом теле. К 1807 году Фурье изобрёл и метод решения
этого уравнения: преобразование Фурье.
Преобразование Фурье используется во многих
областях науки - в физике, теории чисел, комбинаторике, теории вероятностей,
статистике, акустике, океанологии, оптике, геометрии, и многих других.
Благодаря широкому применению метода Фурье и
сходных с ним аналитических методов мы и сегодня можем повторить с полным
основанием то, что лорд Кельвин сказал в 1867 году: "Теорема Фурье не
только является одним из самых изящных результатов современного анализа, но и
дает нам незаменимый инструмент в исследовании самых трудных вопросов
современной физики".
Целью данной работы является: исследовать такие
понятия как, интегралы Фурье, преобразование Фурье, некоторые его приложения и
методы использования их на практике, при решении сложных уравнений физики, а в
частности описывающих динамические процессы, которые возникают под воздействием
электрической, тепловой или световой энергии.
1. Интеграл Фурье в комплексной
форме
Интеграл Фурье в комплексной форме.
(1.1)
интегральная формула Фурье.
Вначале введем понятие главного значения
интеграла. Пусть функция 
интегрируема на
любом отрезке числовой прямой.
Определение 1.1. Если существует конечный предел
, 
(1.2)
то этот предел называется главным значением
интеграла 
и обозначается:
v.p. (главное значение - по французки valeur principale)
(1.3)
Замечание 1.1. Определение 1.1 есть частный
случай определения несобственного интеграла
, (1.4)
если 
.
Если существует несобственный интеграл (1.3), то
и существует для этой функции и главное значение интеграла (1.2) и оно
совпадает с указанным несобственным интегралом. Обратное утверждение в общем
случае неверно, например:
,
но несобственный интеграл 
расходится.
Преобразуем интегральную формулу Фурье (1.1)
(1.5)
,
Замечание 1.2. В дальнейшем формулы будем
записывать, понимая несобственные интегралы в смысле главного значения
интеграла, не помечая это символами v.p. в отдельных случаях.
Если функция 
-
четная, то интегральная формула Фурье будет иметь вид правой части (1.5), где 
;
если же функция - нечетная, то в
правой части (1.5) будет 
.
Дальше заметим, что
. (1.8)
Сложив (1.8) с интегральной формулой Фурье
(1.1), получим интегральную формулу Фурье в комплексной форме
. (1.9)
2. Преобразование Фурье
Запишем правую часть формулы (1.9) в виде
. (2.1)
Положим:
. (2.2)
Определение 2.1. Функция 
называется
преобразованием Фурье функции 
.
Замечание 2.1. Если функция
,
то для нее преобразование Фурье определено и в
смысле обычного определения несобственного интеграла, так как
.
Формулу
с учетом определения 2.1. можно записать
следующим образом
. (2.3)
Эта формула называется формулой обращения, а
функцию
. (2.4)
называют обратным преобразованием Фурье функции и
обозначают 
.
Замечание 2.2. Преобразование Фурье и обратное
преобразование Фурье определены на множестве функций, для которых
соответственно интегралы (2.2) и (2.3) существуют в смысле главного значения.
3. Примеры нахождения преобразования
Фурье
Пример 1.
.
Тогда преобразование Фурье примет следующий вид:
Пример 2.
4. Некоторые свойства преобразования
Фурье
Теорема 1.1. (свойство линейности преобразования
и обратного преобразования Фурье).
Если 
и
(
и 
)
и взяты 
(
,
),
то для функции 
(
).
Справедливость заключения теоремы следует из
свойства линейности для несобственного интеграла и формул (2.2) (2.4).
Пусть 
-
любая последовательность функций из пространства 
,
то есть для любой функции 
существует 
.
Определение 4.1. Последовательность 
в
метрике пространства , если 
,
где 
называется
расстояние между элементами 
и пространства
.
Теорема 2.1. Если последовательность сходится
к функции 
в метрике
указанного пространства, то соответствующая последовательность (
)
преобразований Фурье сходится к преобразованию Фурье 
равномерно.
Воспользуемся следующим критерием равномерной
сходимости функциональной последовательности: последовательность ()
равномерно сходится к функции тогда и только
тогда, когда 
(
,
).
Оценим сверху и снизу 
.
. (3.1)
Для множества модулей 
число
есть
верхняя граница по 
, а тогда для
наименьшей из верхних границ, то есть для 
имеет
оценку
. (3.2)
Далее воспользуемся аналогом теоремы о пределе
промежуточной функции.
Если 
и
,
то и .
Теорема 2.2. (теорема Римана-Лебега) Если
функция 
абсолютно
интегрируема на числовой прямой, то ее преобразование Фурье есть
непрерывная и ограниченная на числовой прямой функция, причем 
.
Вначале докажем ограниченность преобразования
Фурье на числовой прямой.
,
где 
-
норма функции в пространстве .
Дальше докажем остальные заключения теоремы.
Доказательство разобьем на 3 этапа.
Пусть 
В этом случае функция называется
характеристической функцией интервала 
.
Очевидно, что 
. Найдем преобразование
Фурье функции.
Очевидно, что преобразование Фурье есть
непрерывная функция на 
. Докажем, что
непрерывность будет и в точке 
.
.
Утверждение доказано, то есть в рассматриваемом
случае преобразование Фурье есть непрерывная функция на всей числовой прямой 
.
Покажем, что
.
Вначале покажем, что функция
является ограниченной даже на всей числовой
прямой (нам же достаточно доказать ее ограниченность в некоторой окрестности
точки 
)
.
А тогда 
(имеем
произведение ограниченной функции на бесконечно малую при 
).
Утверждение доказано.
Пусть отрезок 
,
,
есть объединение конечного числа частичных отрезков без общих внутренних точек,
то есть
и таких, что
Функция в рассматриваемом случае называется
ступенчатой функцией. Используя свойство линейности преобразования Фурье и
доказанные утверждения в пункте 1), показывается, что преобразование Фурье
функции есть непрерывная функция на ,
имеющая пределы, равные нулю при .
Пусть 
-
любая функция из класса , то есть любая
суммируемая на числовой прямой функция. Можно доказать, что семейство
ступенчатых функций плотно в пространстве ,
то есть 
существует
последовательность 
ступенчатых
функций, что
А тогда последовательность преобразований Фурье 
сходится
равномерно к преобразованию Фурье ,
причем члены последовательности непрерывны на .
Покажем, что 
.
Из равномерной сходимости последовательности 
к
имеем,
что:
.
, 
.
По указанному
.
Окончательно получим:
. ►
5. Некоторые приложения
Задача 1. Найти температуру бесконечного
теплопроводящего стержня в любой момент времени 
,
если в начальный момент 
его температура в
любой точке 
есть 
.
Имеем задачу Коши
Дополнительно полагаем, что:
, 
,
;
Решение 
ищем
в классе функций:
, 
,
абсолютно интегрируемы на числовой прямой по при
любых фиксированных 
, функция
абсолютно непрерывна по на
любом отрезке из 
при любых
фиксированных
, 
имеет в любом конечном отрезке
, 
,
интегрируемую мажоранту
и
.
Подействуем оператором Фурье на правую часть
уравнения, используя формулу
, то есть
(вместо 
берем
).
(4.3)
сходится равномерно относительно 
.
Тогда производная интеграла по параметру равна
интегралу от производной, то есть
Вывод. С помощью преобразования Фурье
дифференциальное уравнение в частных производных переведено в обыкновенное
дифференциальное уравнение
.
Для уравнения имеем начальные условия:
при будет
Решаем полученную задачу Коши
Решаем уравнение
, 
,
,
(тривиальное решение есть 
).
Найдем частное решение, удовлетворяющее
начальным условиям , то 
.
Тогда
.
Дальше найдем такую функцию ,
что
.
Равенство имеет вид
.
Найдем функцию 
,
преобразование Фурье которой есть 
.
Используем формулу обращения преобразования
Фурье
.
Равенство примет вид:
Применим к обеим частям равенства оператор
обращения преобразования Фурье (показать, что
, также свертка из 
)
Получим:
интеграл Пуассона для решения уравнения
теплопроводности стержня.
Задача 2. Многие физические приборы - это операторы
(преобразователи). На вход приборов подаются сигналы функции 
,
,
… - они входят в область определения оператора. На выходе получаем
соответственно функции 
, 
,
…. Например, усилители можно рассматривать как операторы, преобразующие
напряжение переменного тока , подаваемого на
вход, в напряжение 
переменного тока,
получаемого на выходе. Преобразователь называется линейным, если он
удовлетворяет следующим условиям:
если преобразуется
в ,
то 
(
- любая действительная константа, 
)
преобразуется в 
;
если преобразуется
в ,
а -
в ,
то 
преобразуется
в 
.
Если для преобразователя выполняются указанные
выше условия, то говорят, что для преобразователя выполняется принцип
суперпозиции. Дополнительно предполагаем, что функция 
преобразуется
в функцию 
, то есть, что
установившееся гармоническое колебание с частотой 
преобразуется
в установившееся гармоническое колебание с той же частотой .
Причем, 
,
где 
,
-
главное значение аргумента 
(
).
называется
спектральной характеристикой преобразователя, которая означает, что
гармонические колебания с различными частотами прибор преобразует по-разному.
Гармоническое колебание преобразуется в
гармоническое колебание
Модуль спектральной характеристики ,
то есть называется
частотной характеристикой преобразователя. Она показывает, во сколько раз
изменяется амплитуда гармонического колебания с данной частотой .
А называется
фазовой характеристикой преобразователя. Она показывает изменение фазы. Имеем прямую
задачу.
Дано: 1) физприбор - линейный преобразователь,
- его спектральная
характеристика;
- функция на выходе
(абсолютно интегрируемая на числовой прямой и кусочно-гладкая на любом отрезке
числовой прямой).
Найти:
- преобразованную функцию на выходе.
Находим преобразование Фурье функции .
По формуле обращения преобразования Фурье
находим
Интеграл правой части равенства можно
рассматривать как «сумму» бесконечно большого числа бесконечно малых
гармонических колебаний
Преобразователем гармонические колебания
преобразуются в гармонические колебания
.
«Сумма» колебаний преобразуется в «сумму»
колебаний. Тогда функция , определяемая
соотношением, преобразуется в функцию ,
определяемую соотношением
Задача решена.
Заключение
В данной работе были рассмотрены такие понятия
как, интеграл и преобразование Фурье, а так же применение их на практике.
Изучение данной темы раскрыло ряд вопросов связанных с решением сложных
уравнений физики, в частности описывающих динамические процессы, которые
возникают под воздействием электрической, тепловой или световой энергии.
Благодаря отдельным рассмотренным задачам в данной курсовой работе, мы имеем
четкое представление о применении интегралов и преобразования Фурье в физике.
Следовательно ясна полезность применения их на практике в других научных
областях таких как, медицина, астрономия, океанология, оптика, акустика, теория
вероятностей, геометрия и многих других.
Список использованных источников
1.
Семенчук Н.П., Сендер Н.Н. Ряды Фурье. Интегралы Фурье. Преобразование Фурье:
учебно-методическое пособие. Брест. Гос. Ун-т имени А.С. Пушкина. - Брест:
БрГУ, 2011. 42 с.
.
Колмогоров А.Н., С.В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа.
Москва: Наука, 1981. 544 с.
.
Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. Москва: ГФМЛ 1963. 600 с.