Сингулярные интегралы
Федеральное агентство по
образованию
Государственное муниципальное
образовательное учреждение
высшего профессионального
образования
Вятский государственный
гуманитарный университет
(ВятГГУ)
Математический факультет
Кафедра математического
анализа и методики преподавания математики
Выпускная квалификационная
работа
Сингулярные интегралы.
Выполнила:
студентка V курса
математического факультета
Сколова Ирина Юрьевна
____________________
Научный руководитель:
старший преподаватель кафедры
математического анализа и МПМ
Гукасов Артур Константинович
____________________
Рецензент:
кандидат физико-математических наук,
доцент
Подгорная Ирина Иссаковна
____________________
Допущена к защите в ГАК
Зав. кафедрой ___________________ Крутихина М.
В.
« » _______________
Декан факультета ___________________ Варанкина В. И.
« » _______________
Киров 2005
Оглавление
Введение………………………………………………………………………...с.
3
§1. Понятие сингулярного интеграла…………………………………………с. 6
§2. Представление функции сингулярным интегралом в
заданной точке…с. 11
§3. Приложения в теории рядов
Фурье.............................................................с. 18
§4. Сингулярный интеграл
Пуассона................................................................с. 23
Литература……………………………………………………………………...с. 27
Введение
Цель работы –
познакомиться с понятием сингулярного интеграла, рассмотреть представление
функции сингулярным интегралом в заданной точке и приложения в теории рядов
Фурье.
Основной вопрос
теории сингулярных интегралов состоит в установлении связи предельных значений
интеграла при со значением функции f (t) в точке x. Важным также является вопрос о
представлении суммируемой функции сингулярным интегралом в точках, где эта
функция служит производной своего неопределенного интеграла, или в точках
Лебега. Теория сингулярных интегралов имеет многочисленные приложения. Например,
вопрос о сходимости ряда Фурье разрешается с помощью сингулярного интеграла.
Во всем
дальнейшем интеграл будем понимать в смысле интеграла Лебега. Напомним, что функция
называется суммируемой, если существует конечный интеграл от этой
функции.
В работе нам
будут необходимы следующие определения и теоремы.
Определение. Если в точке x будет и , то точка x называется точкой Лебега функции f (t).
Теорема (Н.
Н. Лузин). Пусть f (x) измеримая и почти везде конечная функция, заданная на [a, b]. Каково бы ни было δ>0, существует такая
непрерывная функция ,
что .
Если, в
частности, , то и
.
Теорему Н. Н.
Лузина можно сформулировать и так: измеримая и почти везде конечная функция
становится непрерывной, если пренебречь множеством сколь угодно малой меры.
Определение.
Пусть
дано измеримое множество E.
Взяв произвольную точку x и
число h>0, положим E(, h)=E∙[-h, +h]. Это тоже измеримое множество.
Предел отношения при h→0 называется плотностью
множества E в точке и обозначается через .
Определение.
Пусть
функция f (x) задана на сегменте [a, b] и . Если существует такое измеримое
множество E, лежащее на [a, b] и имеющее точку точкой плотности, что f (x) вдоль E
непрерывна в точке ,
то говорят, что f (x) аппроксимативно непрерывна в точке .
Определение. Измеримая функция f (x) называется функцией с суммируемым квадратом, или функцией,
суммируемой с квадратом, если
.
Множество всех
функций с суммируемым квадратом обозначается символом .
Определение. Пусть на сегменте [a, b] задана конечная функция f (x). Если всякому ε>0
отвечает такое δ>0, что для любой конечной системы взаимно не
пересекающихся интервалов , для которой оказывается
, (3)
то говорят, что функция f (x) абсолютно непрерывна.
Не изменяя смысла
определения, можно условие (3) заменить более тяжелым условием .
Определение. Две функции f (x) и g(x), заданные на сегменте [a, b], называются взаимно ортогональными, если .
Определение. Функция f (x), заданная на [a, b], называется нормальной,
если .
Определение. Система функций , , , …, заданных на сегменте [a, b], называется ортонормальной системой, если каждая
функция системы нормирована, а любые две функции системы взаимно ортогональны.
Определение. Пусть есть ортонормальная система и f (x) некоторая функция из . Числа называются коэффициентами Фурье функции
f (x) в системе .
Ряд называется рядом Фурье
функции f (x) в системе .
§1.
Понятие сингулярного интеграла
Чтобы
познакомиться с идеей, лежащей в основе понятия сингулярного интеграла, начнем
с примера.
Рассмотрим
функцию
. (1)
Если n и x фиксированы, а t меняется от 0 до 1, то эта функция есть непрерывная функция от t. Значит, для всякой суммируемой f (t) () можно образовать величину
. (2)
Докажем, что во всякой точке
x (0<x<1), в которой функция f(t) непрерывна, будет
. (3)
Для этого прежде всего
отметим, что при
. (4)
Поэтому, чтобы установить
(3), достаточно показать, что при стремится к нулю разность
.
Возьмем произвольное и найдем такое , что при будет . Считая, что , представим в форме
.
.
В интеграле будет , поэтому
,
где не зависит от n. Аналогично и, следовательно, ,
так что при достаточно больших n будет , т. е. стремится к 0 с возрастанием n, что и требовалось доказать.
Соотношение (3) обеспечивают
следующие свойства функции : при больших значениях n те значения , которые отвечают сколько-нибудь
заметно удаленным от x значениям t, очень малы, так что величина
интеграла (2) определяется в основном значениями подынтегральной функции в
непосредственной близости точки x. Но около точки x
функция f (t) почти равна f (x) (т. к. она непрерывна при t=x). Значит, если n велико, то интеграл (2) мало
изменяется при замене f (t) на f (x), т. е. он почти равен интегралу
и, в силу (4), почти равен f (x).
Функция , обладающая подобными свойствами,
носит название ядра.
Определение. Пусть функция (n=1, 2, …), заданная в квадрате (, ), суммируема по t при каждом фиксированном x. Она называется ядром, если при условии, что .
Определение.
Интеграл
вида , где есть ядро, называется сингулярным
интегралом.
В теории сингулярных
интегралов очень важен вопрос установления связи предельных значений интеграла при со значением функции
f (t) в точке x. Так
как изменение значения функции f (t) в одной точке никак не отражается
на величине , то
необходимо потребовать, чтобы значение f (x) функции f (t) в точке x было
как-то связано с ее значениями в близких точках. Простейшая форма такой связи
есть непрерывность функции f (t) в точке t=x. Другими формами связи могут служить
аппроксимативная непрерывность, требование, чтобы x была точкой Лебега функции f (t), и т. п.
Теорема 1 (А. Лебег).
Пусть на [a, b] задана последовательность измеримых
функций , , , … Если существует такая постоянная
K, что при всех n и t будет
, (5)
и если при всяком c () будет
, (6)
то, какова бы ни была
суммируемая на [a, b] функция f (t), справедливо равенство
. (7)
Доказательство. Если есть сегмент, содержащийся в [a, b], то из (6) следует, что
. (8)
Рассмотрим непрерывную
функцию f (t), и для наперед заданного разложим [a, b] точками на столь малые части, чтобы в
каждой из них колебание f (t) было меньше, чем ε.
Тогда . (9)
Но , так что первая сумма из (9) не больше, чем Kε(b-a). Вторая же сумма (9), в силу (8),
стремится к нулю с возрастанием n и для окажется
меньшей, чем ε. Для этих n будет
,
так что (7) доказано для непрерывной
функции f(t).
Пусть f (t) измеримая ограниченная функция .
Возьмем ε>0
и, пользуясь теоремой Н. Н. Лузина, найдем такую непрерывную функцию g(t), что , .
Тогда .
Но .
Интеграл по уже доказанному стремится к нулю
и для достаточно больших n
становится меньше ε. Значит, для этих n будет
,
что доказывает (7) для случая
ограниченной измеримой функции.
Пусть f (t) произвольная суммируемая функция.
Возьмем ε>0
и, пользуясь абсолютной непрерывностью интеграла, найдем такое δ>0, чтобы для любого
измеримого множества с
мерой me<δ было .
Сделав это, найдем такую
измеримую ограниченную функцию g(t), чтобы было . Это возможно по
Теореме. Пусть на множестве Е задана
измеримая, почти везде конечная функция f (x). Каково бы ни было
ε>0, существует измеримая ограниченная функция g(x) такая, что .
Можно считать,
что на множестве функция
g(t) равна нулю.
Тогда .
Но .
Интеграл же при достаточно больших n будет меньше ε, и при
этих n окажется , что и доказывает
теорему.
Пример. Пусть . Тогда и . Следовательно выполнены оба условия теоремы
Лебега. Аналогично рассматривается случай . Таким образом доказана
Теорема 2
(Риман-Лебег). Для любой суммируемой на [a, b] функции
f (t) будет .
В частности, коэффициенты Фурье , произвольной суммируемой функции
стремятся к нулю при .
Если соотношение (7) имеет
место для всякой суммируемой на [a, b] функции f (t), то мы будем говорить, что последовательность слабо сходится к нулю.
§2.
Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке
Во всем дальнейшем будем
считать, что ядро при
фиксированных n и x ограничено. Тогда сингулярный
интеграл имеет
смысл при любой суммируемой функции f (t).
Теорема 1 (А. Лебег).
Если при фиксированном x(a<x<b) и любом δ>0 ядро слабо сходится к нулю в каждом из
промежутков [a, x-δ],
[x+δ, b] и , где H(x) не зависит от n, то, какова бы ни была суммируемая
функция f (t), непрерывная в точке x, справедливо равенство
.
Доказательство. Так как есть ядро, то ,
и достаточно обнаружить, что
.
С этой целью, взяв ε>0,
найдем такое δ>0, что при будет
.
Это возможно в силу непрерывности
функции f в точке x.
Тогда при любом n .
Но каждый из интегралов , при стремится к нулю, т. к. слабо сходится к нулю в каждом из промежутков
[a, x-δ], [x+δ, b]. Поэтому для каждый из них будет по абсолютной
величине меньше ε/3.
И для этих n окажется , что и требовалось доказать.
Эта теорема относится к
представлению суммируемой функции в точках непрерывности, но суммируемая
функция, вообще говоря, не имеет ни одной точки непрерывности, что понижает
интерес этой теоремы.
Больший интерес представляет
вопрос о представлении суммируемой функции в тех точках, где эта функция служит
производной своего неопределенного интеграла, или в точках Лебега, так как и те
и другие точки заполняют почти весь сегмент задания функции. Перейдем к
рассмотрению этого вопроса.
Лемма (И. П.
Натансон). Пусть на сегменте [a, b]
дана суммируемая функция f (t), обладающая тем свойством, что
. (1)
Какова бы ни была
неотрицательная убывающая функция g(t), заданная и суммируемая
на [a, b], интеграл
(2)
существует (может быть как
несобственный при t=a) и справедливо неравенство
. (3)
В пояснение условий леммы
заметим, что не исключается случай, когда . Если же , то функция g(t) ограничена, и интеграл (2)
существует как обычный интеграл Лебега.
g(t), если ,
g*(t)=
0,
если t=b.
Доказав теорему для g*(t), мы затем смогли бы всюду заменить g*(t) на g(t), т. к. такая замена не отражается
на величине интересующих нас интегралов. Итак, считаем, что g(b)=0.
Пусть a<α<b. На сегменте [α, b] функция g(t) ограничена, и интеграл
(4)
заведомо существует. Если положить , то интеграл (4) можно
записать в форме интеграла Стилтьеса
,
откуда, после интегрирования по частям,
находим
.
Но, в силу (1), мы имеем,
что для любого h из интервала [0, t-a] выполняется неравенство и следовательно
, (5)
а так как g(t) убывает, то
. (6)
Значит . С другой стороны,
функция –g(t) возрастает. Отсюда и из (5) следует,
что
.
Преобразуем
стоящий справа интеграл по формуле интегрирования по частям:
.
Отсюда, учитывая (6), следует, что
.
Сопоставляя все сказанное,
получаем:
. (7)
Хотя это неравенство
установлено при предположении, что g(b)=0, но оно останется
верным и без этого предположения. Значит, можно заменить здесь предел b на β, где α<β<b. Но тогда, устремляя α и
β к a, получим ,
чем доказывается существование интеграла
(2). Если в (7) перейти к пределу при , то получим (3). Лемма доказана. (В оценке
(3) множителя M уменьшить нельзя, так как
при f (t)=1 в (3) достигается равенство.)
Теорема 2 (П. И. Романовский).
Пусть ядро положительно
и обладает следующим свойством: при фиксированных n и x ядро , как функция одного лишь t, возрастает в сегменте [a, x] и убывает в сегменте
[x, b].
Тогда для любой
суммируемой функции f (t), которая в точке x является производной своего
неопределенного интеграла, будет .
Доказательство. Так
как есть ядро,
то и достаточно
проверить, что .
Разбивая последний интеграл
на два, распространенные на сегменте
[a, x] и [x, b], рассмотрим второй из них, так как
первый изучается аналогично.
Возьмем ε>0 и
найдем такое δ>0, что при будет
,
что возможно, так как f (t) в точке t=x есть производная своего
неопределенного интеграла. То есть и .
Тогда по предыдущей лемме
.
Так как есть ядро, то .
Величина, имеющая конечный
предел, ограничена. Значит, существует постоянная K(x) такая, что .
Таким образом,
.
С другой стороны, если , то
.
Значит функции на сегменте [x+δ, b] равномерно ограничены и выполнено
условие (5) теоремы Лебега из §1. Но второе ее условие, т. е. условие (6), также
выполнено для этих функций, т. к. является ядром. Следовательно на сегменте [x+δ, b] слабо сходится к нулю, и для
достаточно больших n будет .
При этих n окажется
,
так что
.
Теорема доказана.
В качестве примера ее
приложения рассмотрим интеграл Вейерштрасса .
Функция есть ядро, т. к. при α<x<β
.
Эта функция положительна, и
она возрастает при и
убывает при .
Значит, для всякой будет
в каждой точке x, где f (t) есть производная своего неопределенного интеграла.
Определение. Функция
Ψ(t, x) называется горбатой мажорантой
функции , если и если Ψ(t, x) при фиксированном x возрастает на сегменте [a, x] и убывает на сегменте [x, b].
Теорема 3 (Д. К.
Фаддеев). Если ядро при каждом n имеет такую горбатую мажоранту , что
,
где K(x) зависит лишь от x, то для любой ,
имеющей точку t=x точкой Лебега, будет справедливо
равенство
.
Доказательство. Достаточно доказать, что
.
Возьмем ε>0 и найдем такое δ>0,
что при будет
.
По лемме имеем
.
С другой стороны, в сегменте
[x+δ, b] последовательность слабо сходится к нулю, т.
к. при будет
.
Следовательно для
достаточно больших n будет
.
При этих n окажется ,
так что . Теорема доказана.
§3.
Приложения в теории рядов Фурье
Во введении мы уже
определили понятие ряда Фурье функции f (x) по любой ортонормальной системе . В частности, если речь
идет о тригонометрической системе
, (1)
, (2)
где
, . (3)
Во введении предполагали,
что . Это
предположение обеспечило существование коэффициентов Фурье функции f (x) в любой ортонормальной системе. Но функции системы (1)
ограничены. Поэтому коэффициенты (3), а с ними и ряд (2), можно образовать для
любой суммируемой функции.
Вопрос о сходимости ряда (2)
приводится к исследованию некоторого сингулярного интеграла. Если , то, в силу (3), .
Выведем формулу
для упрощения выражения в скобках. Для этого сложим равенства
(k=0, 1, …, n-1),
.
Это дает , откуда следует равенство
, (4)
Пользуясь этой формулой, придадим
сумме вид
. (5)
Этот интеграл есть
сингулярный интеграл Дирихле.
Рассмотрим вопрос о
суммировании ряда (2) по способу Чезаро. Этот способ состоит в отыскании
предела среднего арифметического первых n сумм :
. (6)
В случае сходимости ряда (2)
в точке x последовательность сходится к сумме ряда, но
эта последовательность может сходиться и тогда, когда ряд (2) расходится.
Для исследования преобразуем ее с помощью
формулы (5)
.
Но . (7)
Действительно, складывая
равенства
(k=0, 1, …, n-1),
находим , откуда и следует (7).
С помощью (7) получаем . (8)
Интеграл (8) есть
сингулярный интеграл Фейера. Покажем, что для него выполнены условия
теоремы Фаддеева.
Для этого
рассмотрим функцию f (t)=1. Вычисляя ее коэффициенты Фурье по формулам (3), получим (k=1, 2, …).
Значит, для этой
функции (n=0, 1, 2, …), а следовательно и .
Но выражая интегралом Фейера,
получим, что
. (9)
Заметив это, рассмотрим
точку . Пусть . Если , то , и, следовательно, , где A(x, α) не зависит от n.
Отсюда следует, что .
Аналогично убедимся, что
интеграл стремится к нулю по промежутку [β, π]. Сопоставляя это с (9), находим,
что
,
так что функция есть ядро.
Для этого ядра можно
построить горбатую мажоранту. Заметим, что . Отсюда . Но .
Следовательно и
. (10)
С другой стороны, когда , то , так что
. (11)
Так как , , то может оказаться и больше, чем . Но это несущественно. Если
положим , , то разность между
интегралом Фейера (8) и интегралом
при возрастании n стремится к нулю (т. к., например,
при будет ), поэтому все рассуждения
можно вести для интеграла .
Из (10) и (11) следует, что
.
Функция есть горбатая мажоранта ядра Фейера.
Но , т. е. интегралы от
мажоранты ограничены числом, не зависящим от n.
Итак, интеграл Фейера
удовлетворяет условиям теоремы
Д. К. Фаддеева. Отсюда следует
Теорема 1 (Л. Фейер –
А. Лебег). Почти везде на [-π, +π] будет
. (12)
Это соотношение
выполняется во всех точках Лебега и тем более во всех точках непрерывности
функции f (t), лежащих внутри [-π, +π].
Тригонометрическая система
полна. Это означает, что всякая функция , у которой все коэффициенты Фурье (3) равны
нулю, эквивалентна нулю. Избавимся от ограничения, что f (x) суммируема с квадратом. Справедлива
следующая
Теорема 2.
Если все коэффициенты Фурье (3) суммируемой функции
f (x) равны нулю, то f (x) эквивалентна нулю.
В самом деле, в этом случае и, следовательно, f (x)=0 во всех точках, где имеет место (12), т. е. почти везде.
Теорема 1 позволяет делать
некоторые высказывания и о поведении сумм . Для этого заметим, что
,
так что .
Отсюда .
§4.
Сингулярный интеграл Пуассона
Пусть точка x есть точка d суммируемой функции f (t), если в этой точке производная неопределенного интеграла
функции f (t) равна f (x) (причем ).
Интеграл (0<r<1) есть сингулярный интеграл
Пуассона. Если x (-π<x<π) есть точка d суммируемой функции f (t), то (П. Фату).
1) Докажем, что - ядро. Т. к. ядро
является 2π-периодической функцией, то интеграл от этой функции,
рассматриваемый на периоде, не зависит от x. Рассмотрим при x=0.
.
Для вычисления интеграла используем
универсальную тригонометрическую подстановку и получим
. (1)
Обозначим , тогда , а .
Выражение (1) будет равно
при 0<r<1.
2) Докажем, что .
, .
Тогда . Следовательно достаточно
проверить, что .
Найдем такое, что на интервале [x-, x] ядро возрастает,
а на [x, x+] убывает. Это возможно, т. к. производная
функции меняет
знак с плюса на минус при переходе через точку x: .
Возьмем ε>0
и найдем такое δ (0<δ<),
что при будет , что возможно, так как x есть точка d, т.е. f (t) в точке t=x есть производная своего
неопределенного интеграла.
Тогда по лемме И.
П. Натансона
, т. к. есть ядро, и .
Таким образом, на интервале [x, x+δ]
справедливо неравенство .
На [x-δ, x] интеграл рассматривается аналогично в силу симметричности
ядра на интервале [x-δ, x+δ] относительно точки x.
Рассмотрим за пределами [x-δ, x+δ], т.е. на
[-π, x-δ,] и на [x+δ, π].
В этих случаях выполняются
неравенства
, .
Тогда и .
Следовательно , т. к. , и знаменатель дроби не равен нулю.
Аналогично .
То есть на интервалах [-π,
x-δ,] и [x+δ, π].
При r, достаточно близких к 1, получим
и .
При этих r окажется ,
так что и .
Таким образом, доказано, что
(0<r<1) есть сингулярный интеграл.
Литература
1.
Натансон И. П. Теория
функций вещественной переменной. – М.: Наука, 1974.
2.
Кашин Б. С., Саакян А. А.
Ортогональные ряды. –
3.
Колмогоров А. Н., Фомин С.
В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1968.