Переходные токи и напряжения на элементах цепи

Переходные токи и напряжения на элементах цепи

Содержание

1.Введение

. Постановка задачи

. Уравнения переходного процесса

. Расчет режима цепи до коммутации

. Начальные условия

. Расчет установившегося режима

. Определение корней характеристического уравнения

.1 Вывод характеристического уравнения

.2 Корни характеристического уравнения

. Начальные условия для тока в индуктивности

. Раcчет постоянных интегрирования для тока в индуктивности L3

. Переходные токи и напряжения на элементах цепи

. Проверка уравнений Кирхгофа

. Проверка начальных условий

. Оценка продолжительности переходного процесса

14. Графики токов в электрической цепи

. Графики тока и напряжения на ёмкости

. Графики тока и напряжения на индуктивности

Литература

1. Введение

Расчет переходных процессов выполняется в ходе анализа и проектирования различных электроэнергетических, электротехнических, радиотехнических и электронных устройств и систем. Это позволяет избежать возникновения аварийных ситуаций при переходе от одного установившегося режима к другому, а также обеспечить своевременное отключение оборудования в аварийном состоянии.

Уравнения переходных процессов составляют по законам теории электрических цепей, возможно с учетом условий и предположений практического характера. В линейных цепях, параметры которых не зависят от токов и напряжений на отдельных элементах, переходные процессы описываются системами линейных, алгебраических и обыкновенно дифференцируемых уравнений. Их решение складывается из функций, описывающих установившейся режим и экспоненциальных функций, которые являются собственными функциями системами однородных дифференциальных уравнений, соответствующих данной системе уравнений.

Каждая экспоненциальная функция имеет два параметра: коэффициент и показатель (в общем случае комплексный). Показателями являются характеристические числа однородной системы уравнений (корни алгебраического уравнения с теми же коэффициентами, что и у дифференциального уравнения, полученного из системы однородных дифференциальных уравнений). Остается определить коэффициенты экспоненциальных функций; их количество обычно равно числу реактивных элементов в цепи, в которой происходит переходный процесс. Таким образом, уравнения, описывающие переходный процесс в линейной цепи поддаются алгебраизации (могут быть сведены к выводу и решению системы линейных алгебраических уравнений).

Наиболее распространенные методы алгебраизации дифференциальных уравнений объединяются под названием «метод переменных состояния». Различают два варианта метода переменных состояния: классический и современный (матричный).

В классическом варианте выбирается одна переменная состояния, например электрический ток в одной из ветвей цепи. Для определения коэффициентов требуется найти начальные значения этой переменной и (n-1) её производной, где n - число реактивных элементов в цепи, обычно равное порядку системы дифференциальных уравнений. Это позволяет составить систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов в выражении искомого тока, после ее решения можно определить этот ток, а затем и остальные переходные токи.

С увеличением количества переменных состояния аналитические выкладки становятся все более громоздкие, расчеты с большим трудом поддаются программированию, применение классического метода становится нерациональным.

В матричном методе в качестве переменных состояния используются переходные токи в индуктивностях и напряжения на емкостях. Переменная состояния становится вектором, его начальное значение определяется по законам коммутации. Расчеты легко программируются с использованием матричной алгебры.

Курсовая работа выполняется либо классическим методом (аналитические преобразования несложны, для вычисления достаточно калькулятора), либо матричным методом переменных состояния (матричные вычисления легко программируются в системе MathCAD или MathLab). В отчете используется классический метод.

2. Постановка задачи

Задана схема коммутации в электрической цепи и параметры ее элементов.

Рис.1. Схема коммутации электрической цепи

= 10 Ом;= 106 мкФ

е1 = 10 В; е2 = 20 В;= 63,8 мГн

цепь коммутация ток индуктивность

Определить переходные токи в ветвях электрической цепи до коммутации и после коммутации.

3. Уравнения переходного процесса

Рис.2. Схема электрической цепи после коммутации

Система уравнений Кирхгофа

4. Расчёт режима цепи до коммутации

Рис.3. Эквивалентная схема электрической цепи в установившемся режиме до коммутации

Первая и третья ветви разомкнуты

.

По первому закону Кирхгофа

.

По второму закону Кирхгофа для контура

.

5. Начальные условия

По первому закону коммутации

(0) = i2ДК= 0

По второму закону коммутации

(0) = UC1ДК = -10B

6. Расчет установившегося режима после коммутации

Рис.4. Эквивалентная схема электрической цепи в установившемся режиме после коммутации

По первому закону Кирхгофа

у = 0; i2у = i3у.

По второму закону Кирхгофа для контура II

следовательно,

=

7. Определение корней характеристического уравнения

.1 Вывод характеристического уравнения

Определитель системы уравнений Кирхгофа:

.000068·p2 +0.064 ·p +10= 0.

.2 Корни характеристического уравнения

;

.

8. Начальные условия для тока в индуктивности

Независимые начальные условия:

по первому закону коммутации

(0)= =0

по второму закону коммутации

=(0)= -10

Найдём зависимое начальное условие:

Второе уравнение системы уравнений Кирхгофа при t=0

где   

 =

следовательно

9. Расчет постоянных интегрирования для тока в индуктивности

Решение ищем в виде:

(t)=+=0

+                 

Получим систему уравнений

Проверка постоянных интегрирования

  (0)=

Получили переходный ток на индуктивности

(t)=

10. Переходные токи и напряжения на элементах цепи

Система уравнений Кирхгофа

Напряжение на индуктивности

=  =

 = 0 В

Напряжение на конденсаторе найдем из второго уравнения п.2

=

Найдем ток  из третьего уравнения п.2

Найдем ток  из первого уравнения п.2

Найдем напряжение на резисторе из третьего уравнения п.2

 =

 = 20 В.

11. Проверка уравнений Кирхгофа

Проверка первого уравнения

Проверка второго уравнения

;

Проверка третьего уравнения

12. Проверка начальных условий

(0)= А

 В 

13. Оценка продолжительности переходного процесса

 = = с,

Тпер =5

14. Графики токов в электрической цепи

Рис.5. Графики токов в электрической цепи

15. Графики тока и напряжения на ёмкости

Рис.6. Графики тока и напряжения на ёмкости

16. Графики тока и напряжения на индуктивности

Рис.7. Графики тока и напряжения на индуктивности

 Список литературы

Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: учебник для бакалавров/- 11-е изд., перераб. и доп. - М: Юрайт, 2012. - 701с.

Электротехника и электроника. Часть 1. Электрические и магнитные цепи: электронное мультимедийное учебное пособие. Авторы Волков Ю.С., Белов Н.В., Щедрин О.П. Издательство: МГОУ, 2010г. Доступ: knigafund.ru

Теоретические основы электротехники. Справочник по теории электрических цепей: учебное пособие для вузов./Ю.А. Бычков [ и др.]; под ред. Ю.А. Бычкова, В.М. Золотницкого, Э.П. Чернышева.- СПБ: Питер, 2008. - 342с.