Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика

Министерство образования и науки Российской федерации

Филиал ГОУ ВПО БГУЭП «Байкальский государственный университет экономики и права» в г.Усть-Илимске

Контрольная работа по курсу

«Теория вероятностей и математическая статистика»

Вариант 7

Выполнил студент гр._______

Семенова Е.С.

Усть-Илимск

Задача 1

Крупная торговая компания занимается оптовой продажей материалов для строительства и ремонта жилья и, имея список покупателей в 3 регионах, рассылает им по почте каталог товаров. Менеджер компании полагает, что вероятность того, что компания не получит откликов на разосланные предложения ни из одного региона, равна 0,25. Чему в этом случае равна вероятность того, что компания получит ответ хотя бы из одного региона?

Решение. Введем следующие событие А={компания не получит откликов на разосланные предложения ни из одного региона}, тогда событие, что компания получит ответ хотя бы из одного региона ему противоположное. Вероятность противоположного события равна и составляет 0,75.

Ответ: 0,75

Задача 2

В лотерее разыгрывается автомобиль стоимостью 5000 д.е., 4 телевизора стоимостью 250 д.е., 5 видеомагнитофонов стоимостью 200 д.е. Всего продается 1000 билетов по 7 д.е. Составить закон распределения чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет. Найти дисперсию этой случайной величины.

Решение. Пусть дискретная случайная величина Х соответствует чистому выигрышу лотереи. Значения, которые может принимать данная величина:

Количество выигрышных билетов составляет 1 + 4 + 5 = 10 шт. Тогда проигрышных билетов 1000 - 10 = 990 шт.

Определим вероятности событий лотереи:

Р(Х = -7) = 990/1000 = 0,99

Р(Х = 4993) = 1/1000 = 0,001

Р(Х = 243) = 4/1000 = 0,004

Р(Х = 193) = 5/1000 = 0,005

Составим ряд распределения:

Математическое ожидание случайной величины Х найдем по формуле , то есть вся полученная выручка от продажи билетов идет на приобретение призов.

Для определения дисперсии воспользуемся формулой . Для дискретной случайной величины имеем

Ответ: 25401

Задача 3

Случайная величина Х распределена по закону с плотностью , зависящей от постоянного параметра С:

.

Найти: 1) значение постоянной С; 2) функцию распределения ; 3) математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х; 4) вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала (0, 2); 5) построить графики функций , .

Решение. 1) Для определения постоянной С воспользуемся основным свойством функции плотности вероятности  (пределы интегрирования соответствуют спектру случайной величины или ее возможным значениям). В нашем случае имеем

 = откуда

) Используя формулу  найдем функцию распределения

 Если  то  

Для   

Если  то  

Таким образом,

) Математическое ожидание и дисперсию величины Х найдем по формулам   (пределы интегрирования также соответствуют спектру случайной величины Х). В нашем случае

) Вероятность реализации значений случайной величины Х в интервале  можно определить по формуле . С использованием функции распределения  имеем  

) Графики функций  и  изображены на рис.1 и рис.2.

Задача 4

Цена некой ценной бумаги нормально распределена. В течение последнего года на протяжении 20% рабочих дней цена была ниже 20. В 75% случаев цена была выше 25. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение цены.

Решение. Случайная величина Х - цена некой ценной бумаги распределена по нормальному закону. Для решения задачи используем формулу

,

где ,  - функция Лапласа.

По условию задачи:

Р(Х<20) = 0.2

Р(Х>25) = 0.75

Вероятность

Вероятность

,

Ответ: МХ=45,

Задача 5

Имеются следующие данные о стоимости основных фондов у 50 предприятий (млн. руб.): 9,4; 8; 6,3; 10; 15; 8,2; 7,3; 9,2; 5,8; 8,7; 5,2; 13,2; 8,1; 7,5; 11,8; 14,6; 8,5; 7,8; 10,5; 6; 5,1; 6,8; 8,3; 7,7; 7,9; 9; 10,1; 8; 12; 14; 8,2; 9,8; 13,5; 12,4; 5,5; 7,9; 9,2; 10,8; 12,1; 12,4; 12,9; 12,6; 6,7; 9,7; 8,3; 10,8; 15; 7; 13; 9,5.

Задание:

1. По данным выборки построить точечный вариационный ряд, распределив значения  по частотам  (ряд 1).

2. От ряда 1 перейти к интервальному ряду (ряд 2).

. От ряда 2 перейти к точечному ряду, распределив значения по частотам (ряд 3) и относительным частотам в виде доли и в виде процента (ряд 4).

. Построить: а) гистограмму относительных частот для ряда 2; б) полигон частот для ряда 3; в) кумулятивную кривую для ряда 3.

. Найти эмпирическую функцию распределения случайной величины Х, используя ряд 3, и построить ее график.

6.Определить выборочное среднее , выборочную дисперсию D_В, выборочное среднее квадратическое отклонение , коэффициент вариации V, моду  и медиану по точечному ряду 1 и интервальному ряду 2.

. Указать несмещенные оценки неизвестного математического ожидания и неизвестной дисперсии случайной величины Х - производительности труда.

. В предположении, что выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности, построить доверительные интервалы для неизвестных математического ожидания и дисперсии (принять ).

Решение.

. Для того чтобы построить точечный вариационный ряд, расположим наблюдаемые значения  в порядке их возрастания и относительно каждого  укажем частоту , т.е. количество повторений  в выборке; при этом сумма всех частот равна объему выборки n.

Ряд 1:

Объем выборки , а число различных значений r =42.

. Так как объем выборки велик и число различных значений исследуемого случайного признака также велико, то перейдем от точечного ряда 1 к интервальному. Наименьшее значение в выборке  и наибольшее  Обследуемый диапазон [5,1;15,0] разбиваем на число интервалов k, где ≈7.Определяем величину шага группирования h:

Ряд 2:

3. Перейдем от интервального ряда 2 к точечному. Для этого вычислим середины интервалов  и сопоставим им частоты  или относительные частоты . Распределение по частотам запишем в виде ряда 3, а распределение по относительным частотам в виде ряда 4:

Ряд 3:

5,87,28,610,011,412,814,2

Ряд 4:

4. Гистограмма относительных частот изображена на рисунке 3.

Рисунок 3 - Гистограмма относительных частот

Полигон частот показан на рисунке 4.

Рисунок 4 - Полигон частот

Для построения кумуляты представим ряд 3 по накопленным частотам

Тогда кумулятой будет плавная кривая, изображенная на рисунке 5.

Рисунок 5 - Кумулятивная кривая

. Эмпирическая функция распределения для ряда 3 запишется в виде:

График  изображен на рисунке 6.

Рисунок 6 - Функция распределения

. Для упрощения вычислений расчет характеристик выборки произведем по ряду 3.

Найдем выборочное среднее

Выборочную дисперсию  определим по формуле:

.

Выборочное среднее квадратическое отклонение =3,05;

Коэффициент вариации .

Определим моду и медиану. Мода  исследуемой случайной величины Х есть такое ее возможное значение, которое наиболее часто встречается в ряду наблюдений. В случае интервального ряда 2 вначале определим интервал, содержащий моду, как наибольшей по частоте или относительной частоте. Вычислим моду по формуле:

Для данной выборки интервал, содержащий моду - [7,9-9,3] (ему соответствует наибольшая частота , равная 12).

Здесь  = 7,9; h = 1,4;  = 12,  = 9,  = 7,

тогда  

Медиана  определяется как средний (серединный) член в упорядоченной последовательности значений случайной величины.

п = 50, поэтому в качестве медианы возьмем любое значение между 25-м и 26-м членами ряда 1:  = 9,0.

В случае интервального ряда вначале определим интервал, содержащий медиану, по накопленным частотам: медианному интервалу соответствует первая из накопленных частот, превышающая половину объема выборки. Затем медиану определим по формуле

.

Медианному интервалу заданного эмпирического распределения в виде ряда 2 соответствует накопленная частота 71, отсюда =7,9; h=1,4; = 15; =12. Используя формулу, получим

=

Таким образом, средняя стоимость основных фондов изученных предприятий составила  (тыс. руб.), абсолютный разброс значений показателя Х равен =3,05 (тыс. руб.), относительный разброс . Наибольшее число предприятий имеют стоимость основных фондов, равную 8,425 (тыс. руб.), а половина - более 9,07 (тыс. руб.)

Построенные вариационные ряды 1-3, их графические изображения (рис. 3-6) представляют данные в компактном виде. Кроме этого имеется возможность получить сведения о законе распределения вероятностей исследуемой случайной величины. Здесь внешний контур гистограммы (рис. 3), графики кумулятивной кривой (рис. 5) и эмпирической функции распределения (рис. 6) свидетельствуют о близости эмпирического распределения к нормальному закону. К этому же выводу можно прийти, сравнивая значения выборочного среднего, моды, медианы. Так как ,  и  незначительно отличаются друг от друга (»»»9,00), есть основание предполагать, что теоретическое распределение симметрично относительно своего среднего значения, что является еще одним доводом в пользу выбора модели нормального закона.

. Если считать, что случайная величина Х - стоимость основных фондов - нормально распределена с математическим ожиданием  и дисперсией , то несмещенными оценками этих параметров, найденными по выборке объема , будут  и . В нашем случае  (тыс. руб.), ,  (тыс. руб.).

.        Интервальные оценки для неизвестных параметров или доверительные интервалы, покрывающие истинные (неизвестные) значения параметров с заданной доверительной вероятностью (надежностью) , найдем по формулам

где  находится из таблицы квантилей распределения Стьюдента при числе степеней свободы, равном , и уровне ;   - квантили распределения .

Для  и  имеем   и  Следовательно,

,

То есть мы на 95% уверены в том, что средняя стоимость основных фондов для предприятий данной отрасли будет от 8,9 до 9,8 (т.руб.).

Для неизвестной дисперсии можно записать

,

Задача 6

Страховая компания изучает вероятность ДТП для подростков, имеющих мотоциклы. За прошедший год проведена случайная выборка 2000 страховых полисов подростков-мотоциклистов и выявлено, что 15 из них попадали в ДТП и предъявили компании требование о компенсации за ущерб. Может ли аналитик компании отклонить гипотезу о том, что менее 1% всех подростков-мотоциклистов, имеющих страховые полисы, попали в ДТП в прошлом году ()?

Решение. Предположим, что случайная величина Х - количество подростков-мотоциклистов, имеющих страховые полисы, которые попали в ДТП в прошлом году - биноминально распределена с параметрами

N=2000,

p=15/2000 = 0.0075

X~B(N,p).

Следуя общей схеме проверки гипотез, имеем:

этап - формулировка гипотезы:

H₀ : p < 0.01, H₁ : p ≥ 0.01

Необходимо проверить основную гипотезу Н₀ - вероятность, того что подростки-мотоциклисты, имеющие страховые полисы, попавшие в ДТП в прошлом году, не превосходит 0,01 (1%). Конкурирующая гипотеза  определяется как обратное условие.

этап - выбор уровня значимости , который равен вероятности отвергнуть Н₀, при условии, что она верна (ошибка первого рода).

α=0,05.

этап - выбор критерия. Статистика критерия

является случайной величиной, распределенной по стандартному биноминальному закону.

этап - выбор критической точки. Так как критическая область  или область отклонения гипотезы Н₀ определяется неравенством U > u_кр, то есть является правосторонней. Тогда u_кр можно найти по таблице значений функции Лапласа из условия:

Ф(u_кр) = 0,45 u_кр = 1,65

этап - расчет наблюдаемого или экспериментального значения критерия. В статистику критерия подставляем данные выборки

Так как , то гипотеза  принимается, т.е. следует считать, что количество подростков-мотоциклистов, попавших в ДТП меньше 1% из всех имеющих страховые полисы.

Задача 7

При уровне  установить значимость влияния фактора  по следующим данным

Дать экономическую интерпретацию фактору , его уровнем , а также результату .

Решение.

SS_общ ,

SS_А =

SS_R )² = SS_общ - SS_А.

;

;

;

.

статистическая математическая задача дисперсия

Проверка значимости влияния фактора А соответствует проверке основной гипотезы : , где α_i - средний эффект -го уровня фактора А, ,4 т. е. гипотеза  состоит в том, что все уровни фактора, исследуемые в эксперименте, не оказывают существенного влияния. Проверку этой гипотезы осуществляем на 5% уровне значимости. Расчеты сведем в таблицу дисперсионного анализа:

Однофакторный дисперсионный анализ

Источник изменчивости              Число степеней свободы Сумма квадратов               Средний квадрат                Критерий Фишера Критическая точка

Так как  (3<3,49), гипотезу  на уровне значимости 0,05 следует принять, т. е. отклонить значимость фактор А.