Передаточная функция разомкнутой системы
Балтийский
Государственный Технический Университет им. Д.Ф. Устинова
«ВОЕНМЕХ»
Кафедра
Н1
Курсовая
работа
по
теории автоматического управления
Вариант
№ 11
Студент:
Мавропуло И.Н.
Группа:
Н172
Преподаватель:
Коробова И.Л.
Оценка:
Подпись:
Санкт-Петербург
2009г.
Техническое задание
1. Определить передаточную
функцию разомкнутой системы рис.1, представить её в канонической .форме.
Построить её логарифмические частотные характеристики.
2. Оценить показатели
качества замкнутой системы, определив нули и полюса передаточной функции.
3. Построить графики
переходной функции и импульсной переходной функции, определить показатели
качества переходного процесса (для оценки времени регулирования принять Δ=3%).
4. Найти аналитическое
выражение переходной функции. Выделить составляющую найденной функции,
соответствующую доминирующим полюсам, сравнить графики функции и указанной её
составляющей.
5. Используя критерий
Найквиста, дать заключение об устойчивости замкнутой системы, определить запасы
устойчивости.
, 
.
, 
, 
, 
, 
, 
6. Построить логарифмическую
амплитудно-частотную характеристику замкнутой системы, определить полосу
пропускания системы, резонансную частоту, показатель колебательности.
. Найти уравнения состояния и
выхода в форме Фробениуса замкнутой системы (2 варианта). Проверить свойства
управляемости и наблюдаемости этих вариантов.
1. Определение передаточной функции разомкнутой
системы рис.1, представление её в канонической форме. Построение её
логарифмической частотной характеристики
Передаточная функция разомкнутой системы
Приведем к каноническрму виду,
используя >>Wz=zpk(W)
Находим ЛАЧХ и ФЧХ системы, используя пакет MATLAB:
>> num=[
0.4688 23.1 250];
>> den=[ 1.563e-006 0.0002188
0.1301 4.069 1 0];
>> w=logspace(-1,3);
>> [gam,fi]=bode(num,den,w);
>> semilogx(w,20*log10(gam));
>> grid
>> title('L(w)')
2. Оценка показателей качества
замкнутой системы, определение нулей и полюсов передаточной функции
Передаточная функция имеет вид
Нулями передаточной функции
называются корни полинома числителя, а полюсами называются корни полинома
знаменателя. Вычислим нули и полюса с помощью пакета Matlab.
>> zero(ui)
ans =
-3.333333333333334e+001
.600000000000000e+001
>>pole(ui)
ans =
.224758999602469e+001
+2.846065103522168e+002i
.224758999602469e+001
-2.846065103522168e+002i
.150315083377950e+001
.000834587085519e+000
+7.636564740604480e+000i
-2.000834587085519e+000
-7.636564740604480e+000i
Система устойчива, т.к. все полюса
находятся в левой полуплоскости.
Показатели качества:
1. Степень устойчивости
Она характеризует быстродействие
системы и равна абсолютному значению вещественной части ближайшего полюса, т.е.
.
2. Время регулирования
с.
3. Степень колебательности
Колебательность связана с корневым
показателем запаса устойчивости с так называемым затуханием. Комплексно
сопряженные корни дают в выражении для переходного процесса вида
Найдем затухание амплитуды
синусоидального колебания за один период. При некотором времени 
эта
амплитуда равна
Через один период 
Затуханием за период называют
величину
3. Построение графиков переходной функции и
импульсной переходной функции, определение показателей качества переходного
процесса (для оценки времени регулирования принять ∆=3%)
Построим графики переходных функций во временных
осях, используя пакет Matlab
и команды step(sys)
и impulse(sys).
>>t=0:0.02:7
>>s=tf('s');
>>W=K*(Tn*s+1)/(s*(Ta*s+1)*(Tm^2*s^2+2*E*Tm*s+1))
>>H=Kh*s^2/(T*s+1)
>>U=W/(1+W*H)
>>UI=1/((1/W)+H+1)
>>step(UI,t)
>>impulse(UI,t)
Импульсная переходная функция
Переходная функция
Апериодическая функция - т.к. 1 максимум.
Показатели качества переходного процесса:
- время, когда впервые достигается 
-время достижения максимума.
3%
Перерегулирование:
Частота колебаний:
n - число
колебаний за время регулирования =2.
4. Нахождение аналитическое выражения импульсной
переходной функции. Выделение составляющей найденной функции, соответствующей
доминирующим полюсам, сравнение графиков функции и указанной её составляющей
С помощью программы MathLab найдем
аналитическое выражение импульсной функции системы. При использовании команды:
>>[R,P,K]=residue(num,den),
где результатом выполнения этой
команды будут векторы-столбцы вычетов R и полюсов
Р.
Так как у нас комплексно-сопряженные
полюса и вычеты, то такую пару слагаемых объединим:
Общая формула:
R =
.830107623872943e+000
+2.329754097485704e-001i
.830107623872943e+000
-2.329754097485704e-001i
.141755548076448e-001
.887195401276764e+000
-3.611595606213505e+000i
.887195401276764e+000
+3.611595606213505e+000i=
.223584984572268e+001
+2.845621915179571e+002i
.223584984572268e+001
-2.845621915179571e+002i
.149957154695964e+001
.001568475487227e+000
+7.636819883138676e+000i
.001568475487227e+000
-7.636819883138676e+000i=
1) 
Где оригинал:
) 
Оригинал: 
) 
Где оригинал:
Импульсная переходная функция:
Выделим составляющую найденной
функции, соответствующую доминирующим полюсам:
И определим ее график:
частотный система полюс канонический
Код программы:
>>T=0:0.001:3
>>
y1=3.78*exp(-2*T).*cos(7.63*T)-7.22*exp(-2*T).*sin(7.63*T)
>>
ys=3.66*exp(-22.4*T).*cos(284.56*T)-0.48*exp(-22.4*T).*sin(284.56*T)+0.228*exp(-31.49*T)+3.78*exp(-2*T).*cos(7.63*T)-7.22*exp(-2*T).*sin(7.63*T)
>>plot(T,y1,T,ys),grid
По критерию Найквиста, для
асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы
ЛФЧХ разомкнутой системы в области частот, где ЛАЧХ положительна, принимала
значение -180˚ четное число раз или не принимала этого значения,
следовательно, данная система устойчива, т.к. ЛФЧХ не принимала значение 
ни разу в
области частот, где ЛАЧХ положительна.
Используя функцию
>>u=w/(1+wh)
>>[g f
wg wf]=margin(u)
в пакете Matlab определим:
-запас устойчивости по фазе f
и соответствующая частота wf:
= 2.823307323792499e+001, wf
= 8.346297244453146e+000
запас устойчивости по амплитуде g
и соответствующая частота wg:
= 1.297454986821580e+001
20*lg(g)
=20*lg(1.297454986821580e+001)=22,2688, wg = 2.843965094048663e+002
Запас устойчивости по фазе определяется на
частоте, при которой ЛАЧХ принимает значение 0.
Запас устойчивости по амплитуде определяется на
частоте, при которой ФЧХ принимает значение -180˚.
Построим ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы,
используя Матлаб bode(u):
. Построение логарифмической
амплитудно-частотную характеристики замкнутой системы, определение полосы
пропускания системы, резонансной частоты, показателя колебательности
Используя программу Матлаб:
>>s=tf('s');
>>w=(250*(0.1*s+1))/(s*(0.75*s+1)*(0.000441*s^2+0.0105*s+1))
>>h=(0.14*s^2)/(0.26*s+1)
>>u=w/(1+w*h)
>>ui=1/((1/w)+h+1)
>>bode(ui)
Показатель колебательности:
Резонансная частота:
.
-
Полоса пропускания:
.
.
Частота среза:
.
.
Время регулирования:
7. Найти уравнения состояния и выхода замкнутой
системы. Проверить свойства управляемости и наблюдаемости этих вариантов
Код программы:
>>A=[159948816.4 15438259.76
2902751.12 83237 79.97 1;
.76 2902751.12 83237 79.97 1 0;
.12 83237 79.97 1 0 0;
79.97 1 0 0 0;
.97 1 0 0 0 0;
0 0 0 0 0]
>>B=[159948816.4;
14798464.49; 299936.02;0;0;0]
>>C=inv(A)*B
Составим систему для нахождения
коэффициентов 
= 1.848625916748493e-012
.690774005112822e-012
.690658141686619e-009
.999360199997667e+005
.187419029849567e+006
.407110778052028e+010
или
d=1.848625916748493e-012;
b1=-2.690774005112822e-012;=5.690658141686619e-009;
b3=2.999360199997667e+005;=-9.187419029849567e+006; b5=-2.407110778052028e+010;
Уравнение состояния и выхода имеют вид:
или для нашей системы:
Наблюдаемость и управляемость:
Код программы:
>>K=[B,
A*B, A^2*B, A^3*B, A^4*B]
>>rank(K)= 2
>>G=[C;A*C;A^2*C;A^3*C;A^4*C]
>>rank(G)
ans = 5
Если ранг K=n , то
система вполне управляемая;
В нашем случае эти условия не
выполняются, следовательно наша система наблюдаемая и неуправляемая.