Математический анализ

  • Вид работы:
    Контрольная работа
  • Предмет:
    Математика
  • Язык:
    Русский
    ,
    Формат файла:
    MS Word
    453,93 Кб
  • Опубликовано:
    2015-09-06
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!

Математический анализ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Уральский государственный экономический университет»

Центр дистанционного образования









Контрольная работа

Математический анализ


Выполнил:

Власова А.В.

Задание 1. Пределы функции

Вычислить пределы:

 

Решение:

a)

b)

)

=

Задание 2. Исследование функции

Используя дифференциальное исчисление, провести полное исследование функции и построить ее график:

Решение:

) Область определения функции D(y):

) Множество значений функции E(y):  

) Проверим, является ли функция четной или нечетной: Так как , то функция не является ни четной ни нечетной.

) Найдем координаты точек пересечения графика функции с осями координат:

а) с осью ОУ: х=0; График пересекает ось ординат в точке  

б) с осью ОХ: у=0;

График функции пересекает ось абсцисс в точках:

5)      Найдем промежутки возрастания и убывания функции, а так же точки экстремума:

Так как на промежутке, то на этом промежутке функция убывает. Так как на промежутке, то на этом промежутке функция возрастает. Так как при переходе через точку  производная меняет свой знак с - на + то в этой точке функция имеет минимум: 6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции:  Так как , на всей области определения, то график функции направлен выпуклостью вниз. Так как  то график функции не имеет точек перегиба

) Так как точек разрыва функция не имеет, то она не имеет вертикальных асимптот. Проверим, имеет ли данная функция наклонные асимптоты:

б) Наклонные асимптоты вида

 следовательно наклонных асимптот функция не имеет

) Построим график данной функции:

Рисунок 1

Задание 3. Неопределенный интеграл

Вычислить неопределенные интегралы, используя методы интегрирования:

а) - непосредственное интегрирование;

б) - замены переменной;

в) - интегрирования по частям.

 

Решение:

а)

б)

)


Задание 4. Определенный интеграл

.1 Вычислить определенный интеграл:

Решение:

4.2 Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж.

Решение:

Выполним чертеж:

Рисунок 2


Задание 5. Несобственный интеграл

Вычислить интеграл или установить его расходимость:

Решение:

а)

Тогда получаем:

б)

интеграл функция дифференциальный уравнение

6.1 Числовые ряды. Исследовать ряд на сходимость:

Решение

Воспользуемся интегральным признаком сходимости

 

Следовательно, ряд сходится

.2 Степенные ряды. Определить область сходимости степенного ряда:

Решение: Воспользуемся

Радиус сходимости ряда равен:

Область сходимости ряда есть промежуток (-3; 3), внутри промежутка ряд сходится, проверим сходимость ряда на концах этого промежутка:

а) при х=3 получаем ряд:

Ряд расходится

б)

получили знакопеременный ряд, который не удовлетворяет признакам сходимости знакопеременного ряда, следовательно он расходится

Итак, область сходимости (-3; 3)

Задание 7. Функции нескольких переменных

Исследовать функцию двух переменных на экстремум:

Решение:

Найдем стационарные точки, решив систему:  

 Получили одну стационарную точку М(0; 0), проверим выполняется ли для этой точки достаточное условие экстремума.

Найдем частные производные второго порядка:

Тогда  Вопрос о наличии экстремума остается открытым. Проведем дополнительные исследования:

а) при х=0, получаем функцию , которая в точке у=0 имеет минимум

б) при у=0, получаем функцию , которая в точке x=0 не имеет экстремума

Следовательно, функция  в точке М(0; 0) не имеет экстремума

Задание 8. Решение дифференциальных уравнений

.1 Найти общее и частное решения дифференциального уравнения:

Решение:

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

Итак, частное решение имеет вид:

.2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям :

Решение: Найдем корни характеристического уравнения:

Так как корни характеристического уравнения мнимые числа, то общее уравнение имеет вид:

Найдем частное решение удовлетворяющее начальным условиям, для этого решим систему:

Тогда частное решение имеет вид:

Похожие работы на - Математический анализ

 

Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу
Без плагиата!