Математический анализ

Математический анализ

107. Найти область определения функции

 y = lg(64 - x2) +  

Решение:

Воспользуемся свойствами элементарных функций.

Составим систему неравенств:

Решим последовательно:

х2  64

- 8  х  8

)

 =   7

)

x  R

)

x  0

в итоге получаем х  (0; 7)  (7; 8)

. Найти области определения, области значений и построить графики функций с помощью преобразований кривых

а) у = х2; б) y = sinx.

Для периодических функций найти период и амплитуду.

а) у = 7х - 20,5 -  ;

б) у = 2 -

Решение

а) у = 7х - 20,5 -  ;

Область определения функции - множество всех действительных чисел R

Область значений функции :

у = 7х - 20,5 -  = - х2/2 + 7х - 20,5

у = - х2 + 14х - 41 = -(х2 - 14х + 49) + 8

у = 4 -  

координаты вершины параболы: (7; 4), следовательно, область значений:

у  (- ; 4)

Составим цепочку:

х - 20,5 -   - 20,5 -   -   - х2

И строим последовательно графики:

у = - х2

у = - х2/2 - график расширяется в 2 раза

у = -20,5 - х2/2 - вершина опускается по оси У вниз на 20,5 единиц

у = 7х - 20,5 - х2/2 - окончательный график

б) у = 2 -

Область определения: множество всех действительных чисел

Область значений: (-1+3/2; 1+3/2) = (0,5; 2,5)

Составим цепочку:

 у = 2 -  -  -   -   -

Строим последовательно:

 - период Т = 2π= - sin(x/2) - график растягивается в 2 раза, период Т = 4π= - sin(πx/2) - график сжимается в π = 3,1415927 раз, во столько же раз уменьшается период функции: Т = 4π/3,1415927 = 1,2732π= - sin(πx/2+3π/8) - произошло смещение графика на 3π/8 вправо

y = 2 - sin(πx/2+3π/8) - график поднялся вверх по оси У на 2

амплитуда: А = 1

период Т = 1,2732π

. Построить графики функций

 y =  + 1

Решение:

Составим расчетную таблицу, с учетом того, что функция - линейная и область значений функции - все положительные действительные числа

137. Вычислить пределы не используя правило Лопиталя

а)  

б)

в)

г)

д)

решение:

а)

При  числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности. В этом случае теорема о пределе частного неприменима. Говорят, что имеется неопределенность вида «бесконечность на бесконечность» . Чтобы ее раскрыть, нужно числитель и знаменатель дроби разделить почленно на бесконечно-большую величину, в данном случае на наивысшую степень , то есть на , от чего величина дроби не изменится.

В результате получим:

,

так как ; ;

б)  =   =

Здесь теорема о пределе частного не применима, имеется неопределенность вида «ноль на ноль» .

Неопределенность нужно «раскрыть», то есть выполнить такие тождественные преобразования над функцией , после которых теоремы о пределах станут применимы.

Неопределенность вида  раскрывается сокращением дроби на бесконечно-малую, которая обращает числитель и знаменатель в нуль. В данном примере это функция , которая стремится к нулю при .

Предварительно разложим на множители числитель и знаменатель данной функции . Для этого используем формулу разложения на множители квадратного трехчлена:

,

где  и  - корни квадратного трехчлена: ,

 - дискриминант трехчлена.

Разложим на множители числитель данной функции , предварительно найдя его корни:

;

.

Следовательно: .

Аналогично раскладываем на множители знаменатель функции :

;

.

Следовательно: .

Тогда искомый предел равен

Теорема о пределе частного стала применимой после сокращения дроби на множитель (х - 7)

в)

Здесь теорема о пределе частного не применима, имеется неопределенность вида «ноль на ноль» .

Неопределенность нужно «раскрыть», то есть выполнить такие тождественные преобразования над функцией , после которых теоремы о пределах станут применимы.

Во-первых, сделаем разложение:

(х2 - 4) = (х - 2)(х + 2)

Во- вторых, умножим числитель и знаменатель на , тогда

=  =  =

 =  =  =

 = = 6

г)

при х  0:

tg(x) = x + o(x)  tg(x2) = x2 + o(x)(x) = x + o(x)(2x) = 2x + o(x), таким образом

=  =  = Ѕ = 0,5

Или через замечательный предел:

=  =  = *= *1=0.5

д)

Воспользуемся замечательным пределом:

функция график предел непрерывность

= =

= =

= =

Найдем предел в степени экспоненты:

 = -2  =

= - 2* = -2* =

В итоге получаем:

= е- 2

. Исследовать функцию у = f(х) на непрерывность. Если имеются точки разрыва - определить их тип. Сделать чертеж

а) у =  

б) у =

Решение:

а) у =  

найдем область определения данной функции:

х - 2  0 ⇒ х  2

В этой точку функция f(х) имеет разрыв

Исследуем на непрерывность точку х = 2, где функция  неопределена. Найдем в этой точке односторонние пределы функции.

При х = 2:

Так как односторонние пределы бесконечны, то в точке х = 2 разрыв второго рода.

б) у =

Функция  определена при x.

При x.  - непрерывная, как экспотенциальная функция.

При  y = 1 - x - непрерывная, как линейная функция.

При x. у = (х - 2)2 - непрерывна, как квадратичная функция.

Исследуем на непрерывность точки х = 0 и х = 2, где происходит смена аналитических выражений для функции . Найдем в этих точках односторонние пределы функции.

При х = 0 :         

Так как в точке  односторонние пределы равны и они равны значению функции в этой точке , то выполняется определение непрерывности и функция  непрерывна в точке .

При х = 2:

Так как односторонние пределы существуют, но не равны, то в точке х = 2 имеется разрыв первого рода, неустранимый.

Строим график функции

Ответ: а) Функция  непрерывна во всех точках, кроме точки х = 2, где имеется разрыв первого рода;

1.