Временные и частотные характеристики линейных электрических цепей
1. ЗАДАНИЕ
Схема исследуемой цепи [рис. 1] №22, в
соответствии с вариантом задания 22 - 13 - 5 - 4. Параметры элементов цепи: L
= 2 мГн, R = 2кОм, C
= 0,5 нФ.
Внешнее воздействие задано
функцией: 
, где а
вычисляется по формуле (1) и равно 
.
(1)
Рисунок 1. Электрическая схема
заданной цепи
Необходимо определить:
а) выражение для первичных параметров
заданного четырехполюсника в виде функции частоты;
б) комплексный коэффициент
передачи по напряжению 
четырехполюсника
в режиме холостого хода на зажимах 
;
в) амплитудно-частотную 
и
фазочастотную 
характеристики
коэффициента передачи по напряжению;
г) операторный коэффициент
передачи по напряжению 
четырехполюсника
в режиме холостого хода на зажимах ;
д) переходную характеристику
цепи 
;
е) импульсную характеристику
цепи 
;
ж) отклик цепи 
на заданное
входное воздействие 
при
отключенной нагрузке.
2. РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ
.1 Определение
первичных параметров четырехполюсника
Для определения Z
- параметров четырехполюсника составим уравнения электрического равновесия цепи
по методу контурных токов используя комплексную схему замещения цепи [рис. 2]:
Рисунок 2. Комплексная схема
замещения заданной электрической цепи
Выбирая направление обхода контуров, как указано
на [рис. 2], и учитывая, что
,
запишем контурные уравнения цепи:
Подставим в полученные уравнения
значения 
и 
:
(2)
Полученные уравнения (2) содержат
только токи и напряжения на входных и выходных зажимах четырехполюсника и могут
быть преобразованы к стандартному виду записи основных уравнений
четырехполюсника в форме Z:
(3)
Преобразуя уравнения (2) к виду (3),
получим:
Сравнивая полученные уравнения с
уравнениями (3), получаем:
четырехполюсник напряжение холостой амплитудный
2.2 Определение коэффициента
передачи по напряжению в режиме холостого хода на выходе
Комплексный коэффициент передачи по
напряжению от зажимов 
к зажимам в режиме
холостого хода (
) на выходе
найдем, используя полученные в пункте 2.1 выражения для первичных
параметров:
(4)
2.3 Определение амплитудно-частотной
и
фазочастотной характеристик
коэффициента передачи по напряжению
Рассмотрим полученное выражение для 
как
отношение двух комплексных чисел, находим выражение для АЧХ и ФЧХ.
АЧХ будет иметь вид:
Из формулы (4) следует, что ФЧХ
будет иметь вид:
Где, 
рад/с находится из уравнения 
Графики АЧХ и ФЧХ приведены на
следующей странице. [рис.3, рис.4]
Рисунок 3.
Амплитудно-частотная характеристика 
Рисунок 4. Фазочастотная
характеристика 
Предельные значения 
и 
при 
для
контроля вычислений полезно определить, не прибегая к расчетным формулам:
· учитывая, что сопротивление индуктивности при
постоянном токе равно нулю, а сопротивление емкости бесконечно велико, в схеме
[см. рис1] можно разорвать ветвь, содержащую емкость, и заменить индуктивность
перемычкой. В полученной схеме 
и 
, т.к входное напряжение совпадает
по фазе с напряжением на зажимах ;
· на бесконечно большой частоте ветвь, содержащую
индуктивность, можно разорвать, т.к. сопротивление индуктивности стремится к
бесконечности. Не смотря на то, что сопротивление емкости стремится к нулю, ее
нельзя заменить перемычкой, так как напряжение на емкости является откликом. В
полученной схеме [см. рис.5], при 
, 
, входной ток опережает по фазе
входное напряжение на 
, а напряжение
выходе совпадает по фазе с напряжением на входе, поэтому 
.
Рисунок 5. Электрическая схема
заданной цепи при 
.
2.4 Определение операторный
коэффициент передачи по напряжению четырехполюсника в режиме холостого
хода на зажимах
Операторная схема замещения цепи по
внешнему виду не отличается от комплексной схемы замещения [рис.2], так как
анализ электрической цепи проводится при нулевых начальных условиях. В этом
случае для получения операторного коэффициента передачи по напряжению
достаточно в выражении для комплексного коэффициента передачи заменить 
оператором 
:
Преобразуем последнее выражение так,
чтобы коэффициенты при старших степенях в числителе и знаменателе были
равны единице:
Функция 
имеет два
комплексно-сопряженных полюса: 
; и один вещественный нуль: 
.
Рисунок 6. Полюсно-нулевая диаграмма
функции 
Полюсно-нулевая диаграмма функции приведена
на рис.6. Переходные процессы в цепи имеют колебательный затухающий характер.
2.5 Определение переходной и
импульсной характеристик
цепи
Операторное выражение позволяет
получить изображения переходной и импульсной характеристик. Переходную
характеристику удобно определять, используя связь между изображением по Лапласу
переходной характеристики и
операторным коэффициентом передачи:
(5)
Импульсная характеристика цепи может быть
получена из соотношений:
(6)
(7)
Используя формулы (5) и (6), запишем
выражения изображений импульсной и переходной характеристик:
Преобразуем изображения переходной и
импульсной характеристик к виду, удобному для определения оригиналов временных
характеристик с помощью таблиц преобразований Лапласа:
(8)
(9)
Таким образом, все изображения
сведены к следующим операторным функциям, оригиналы которых приведены в
таблицах преобразований Лапласа:
(11)
(12)
Учитывая, что для данного
рассматриваемого случая 
, 
, 
, найдем значения
постоянных 
для
выражения (11) и значения постоянных 
для выражения (12).
Для выражения (11):
И для выражения (12):
Подставляя полученные значения в
выражения (11) и (12), получим:
После преобразований получаем
окончательные выражения для временных характеристик:
(13)
(14)
Переходной процесс в данной цепи заканчивается
после коммутации за время 
, где 
-
определяется как обратная величина к абсолютной минимальной величине
вещественной части полюса . Так как 
, то время
затухания равно (6 - 10) мкс. Соответственно, выбираем интервал расчета
численных значений временных характеристик 
. Графики переходной и импульсной
характеристик приведены на рис.7 и 8.
Для качественного объяснения вида
переходной и импульсной характеристик цепи к входным зажимам независимый
источник напряжения 
. Переходная
характеристика цепи численно совпадает с напряжением на выходных зажимах при
воздействии на цепь единичного скачка напряжения 
при нулевых начальных условиях. В
первоначальный момент времени после коммутации напряжение на емкости равно
нулю, так как по законам коммутации при конечном значении амплитуды скачка
напряжение на емкости скачком измениться не может. Следовательно, 
, то есть 
. При 
напряжение
на входе можно считать постоянным и равным 1В , то есть 
. В цепи,
соответственно, могут протекать только постоянные токи, поэтому емкость можно
заменить разрывом, а индуктивность перемычкой, следовательно в преобразованной
таким образом цепи 
, то есть 
. Переход от
начального состояния к установившемуся происходит в колебательном режиме, что
объясняется процессом периодического обмена энергией между индуктивностью и
емкостью. Затухание колебаний происходит из-за потерь энергии на сопротивлении
R.
Рисунок 7. Переходная характеристика
.
Рисунок 8. Импульсная характеристика
.
Импульсная характеристика цепи численно
совпадает с выходным напряжением при подаче на вход единичного импульса
напряжения 
. В течении
действия единичного импульса емкость заряжается до своего максимального
значения, а напряжение на емкости становится равным
.
При 
источник напряжения может быть
заменен короткозамкнутой перемычкой, а в цепи возникает затухающий
колебательный процесс обмена энергией между индуктивностью и емкостью. На
начальном этапе емкость разряжается, ток емкости плавно уменьшается до 0, а ток
индуктивности растет до своего максимального значения при 
. Затем ток
индуктивности, плавно уменьшаясь, перезаряжает емкость в противоположном
направлении и т.д. При вследствие
рассеяния энергии в сопротивлении все токи и напряжения цепи стремятся к нулю.
Таким образом, затухающий с течением времени колебательный характер напряжения
на емкости и объясняет вид импульсной характеристики, причем 
и 
.
Корректность расчета импульсной
характеристики подтверждается качественно тем, что график на рис.8
переходит через 0 в те моменты времени, когда график на рис.7
имеет локальные экстремумы, а максимумы совпадают по времени с точками
перегиба графика . А также
корректность расчетов подтверждается тем, что графики и 
, в
соответствии с формулой (7), совпадают. Для проверки правильности нахождения
переходной характеристики цепи найдем эту характеристику при воздействии на
цепь единичного скачка напряжения классическим методом:
. Найдем независимые
начальные условия (
):
. Найдем зависимые начальные
условия (
):
Для этого обратимся к рис.9, на
котором изображена схема цепи в момент времени , тогда получим:
Рисунок 9. Схема цепи в момент
времени 
. Найдем принужденную составляющую
отклика:
Для этого обратимся к рис.10, на
котором изображена схема цепи при после коммутации. Тогда получаем,
что 
Рисунок 10. Схема цепи при 
.
. Составим дифференциальное уравнение:
Для этого сначала запишем уравнение баланса
токов в узле по первому закону Кирхгофа и запишем некоторые уравнения на
основании второго законов Кирхгоффа:
Используя компонентные уравнения
преобразуем первое уравнение:
Выразим все неизвестные напряжения
через 
:
Теперь дифференцируя и преобразуя
получаем дифференциальное уравнение второго порядка:
Подставим известные константы и
получим:
5. Запишем характеристическое уравнение и
найдем его корни:
Отсюда мы найдем коэффициент
затухания и частоту свободных колебаний: 
Таким образом, так как корни
характеристического уравнения комплексно - сопряженные, то свободную
составляющую отклика цепи можно найти в таком виде:
. Найдем постоянные 
и 
: Для этого
запишем систему уравнений, используя зависимые начальные условия и зная, что
отклик представляет собой сумму свободной и принужденной составляющей:
Представим 
, тогда
7. Теперь запишем уравнение отклика цепи и
построим его график (рис.11):
На рисунке 11 изображены два графика
переходных характеристик, найденных разными методами: операторным и классическим.
Так как они полностью совпадают можно сделать вывод, что переходная
характеристика найдена верно.
Рисунок 11. Графики переходной
характеристики g(t)
Рассмотрим расчет отклика в заданной
цепи при напряжении на входе
.
Отклик можно найти с помощью
классического или операторного методов анализа переходных процессов. Поскольку
начальные условия нулевые и известна операторная характеристика цепи,
воспользуемся операторным методом анализа переходных процессов.
Операторный отклик на
воздействие равен
произведению операторного коэффициента передачи цепи и изображения синусоиды по
Лапласу:
(15)
Преобразуем выражение (15) к виду,
удобному для применения обратного преобразования Лапласа:
(16)
Выражение (16) соответствует в
таблице преобразований Лапласа следующему соотношению:
(17)
Учитывая, что:
Получим оригинал отклика:
В итоге:
Графики воздействия на цепь и
отклика приведены на рис.12 и 13. Интервал расчета численных значений цепи на
заданное воздействие 
определяется
практическим окончанием переходных процессов после коммутации. В нашем случае 
.
Рисунок 12. График воздействия 
Рисунок 13. Отклик цепи на заданное
воздействие
Выводы
Полученные результаты позволяют сделать
следующие выводы:
· Первичные параметры четырехполюсника
удовлетворяют условию взаимности: 
; Не монотонность АЧХ и не
монотонность крутизны ФЧХ 
указывают
на возможность возникновения в цепи резонансных явлений. Частота резонанса
амплитуд по графику рис.3 составляет 
;
· Комплексно - сопряженные полюсы операторного
коэффициента передачи указывают на колебательный характер переходных процессов
в цепи. Частота свободных колебаний 
превышает частоту резонанса
амплитуд 
, постоянная
цепи;
· Переходная характеристика является
квазигармонической функцией, соотношения для изображения и оригинала выполнены:
· Импульсная характеристика также является
квазигармонической функцией, стремящейся при к нулю. Постоянная времени и
квазипериод колебания временных характеристик совпадают с результатами,
полученными из анализа операторного коэффициента передачи; АЧХ рассматриваемой
цепи близка к АЧХ идеального фильтра нижних частот с граничной частотой 
.
Список
использованной литературы
1. Попов
В.П. Основы теории цепей: Учебник для вузов - 4-ое изд., испр. - М.: Высш. шк.,
2003. - 575с.: ил.
. Корн
Г., Корн Т., Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. М.:
Наука, 1973, 832 с.