Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы
ФЕДЕРАЛЬНОЕ
АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное
образовательное учреждение
«ТОМСКИЙ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Факультет
автоматики и вычислительной техники
Кафедра
информатики и проектирование систем
Индивидуальное
домашнее задание по дисциплине
«Теория
вероятностей, математическая статистика и случайные процессы»
Вариант
№ 4
Исполнитель
Студент, группы 8В31 _____________________
Л.М.Бодров
Руководитель доцент _____________________
Ю.Н.Шалаев
Томск - 2005
Задание №4
. Привести два примера пространства элементарных
событий.
Записать совместные и несовместные события.
. Показать, что для условной вероятности
выполняется свойства:
P(AÈC/B)
= P(A/B) + P(C/B),
вероятность
математическое ожидание дисперсия
если А и С несовместные случайные события.
. По плотности распределения вероятностей
системы двух случайных величин ξ и
η
найти:
коэффициент А,
функцию распределения F(x,y)
системы случайных величин;
функции распределения и плотности распределения
отдельных составляющих системы случайных величин: F1(x),
F2(y),
f1(x),
f2(y);
условные плотности распределения f(x/y),
f(y/x);
числовые характеристики системы: математическое
ожидание Mξ и Mη
и дисперсию системы Dξ
и Dη:
. По выборке Х оценить закон
генеральной совокупности и оценить его параметры:
X = {4.4, 4.2, 4.0,
3.6, 3.8, 4.2, 4.2, 4.0 , 4.0, 3.4, 3.6, 4.0, 3.8, 3.6, 4.4 }.
По выборке Х построить доверительный интервал
для параметра “a” -
математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию
распределения.
. Задана случайная функция
Y = X
SIN(t),
где Х случайная величина с МХ = 3, DX
= 1.5. Найти числовые характеристики MV,
DV, K
V (t
1, t 2 ) случайной
функции
V = dY/dt.
. Задан случайный процесс
Z = X
SIN (2t)
+ Y e-t
с MX = 1.3, DX =
3.5, MY = 4, DY = 3, r xy = 0.4.
Найти MZ, DZ, K Z
(t1 , t2).
1. Привести два примера пространства
элементарных событий. Записать совместные и несовместные события.
Монету подбрасывают один раз.
Элементарными несовместными событиями в данном
случае будут
ω1- выпадение цифры;
ω2- выпадение герба.
Ω={
ω1,ω2} , где Ω- пространство
элементарных событий.
Вероятности того, что выпадет цифра или герб
равны
P(ω1)= P(ω2)=0.5
. Показать, что для условной вероятности
выполняется свойства:
P(AÈC/B)
= P(A/B)
+ P(C/B),
если А и С несовместные случайные события
Вероятность появления одного из двух
несовместных события, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих
событий: P(Е1+Е2) = P(Е1)
+ P(Е2) (*)
Введем замену Е1=A/B,
Е2=C/B;
Т.е. уравнение (*) примет вид: P(A/B
+ C/B)
= P(A/B)
+ P(C/B);
(**)
Ну а так, как А,С - несовместные события то: A/B
+ C/B
= АÈC/B,
сделав замену в формуле (**) получим тождественно равную формулу.
Подтвердим доказательство диаграммами
Эйлера-Венна:
Возможны и другие случаи, когда хотя бы одно
(или сразу оба) события А,С совместны с В:
. По плотности распределения вероятностей
системы двух случайных величин ξ и
η
найти:
коэффициент А;
функцию распределения F(x,y)
системы случайных величин;
функции распределения и плотности распределения
отдельных составляющих системы случайных величин: F1(x),
F2(y),
f1(x),
f2(y);
условные плотности распределения f(x/y),
f(y/x);
числовые характеристики системы: математическое
ожидание Mξ и Mη
и дисперсию системы Dξ
и Dη:
Найдем А: => ,
, отсюда .
Функция распределения:
F(x,y) =
Функция распределения отдельных составляющих
системы определяется как:
Плотность вероятностей отдельных составляющих
системы находится по соотношениям:
Условная плотность вероятности
системы случайных непрерывных величин находится по соотношениям:
Математическое ожидание системы
определится:
Дисперсия системы :
;
4. По выборке Х оценить закон
генеральной совокупности и оценить его параметры:
X = {4.4, 4.2, 4.0,
3.6, 3.8, 4.2, 4.2, 4.0 , 4.0, 3.4, 3.6, 4.0, 3.8, 3.6, 4.4 }.
По выборке Х построить доверительный интервал
для параметра “a” -
математическое ожидание при уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию
распределения.
Строим вариационный ряд:
x
|
3.4
|
3.6
|
3.8
|
4.0
|
4.2
|
4.4
|
ni
|
1
|
3
|
2
|
4
|
3
|
2
|
Строим эмпирическую функцию распределения:
, Fn(x) = ;
, Fn(x) =
, Fn(x) =
, Fn(x) =
, Fn(x) =
, Fn(x) =
, Fn(x) = 1.
Fn(x) =
|
0,
|
|
1/15,
|
|
4/15,
|
|
6/15,
|
|
10/15,
|
13/15,
1,
|
Построим полигон частот:
Построим эмпирическую функцию распределения:
Выборочное среднее определяется по соотношению:
Выборочная дисперсия:
1.318
- смещенная оценка
- несмещенная оценка
Доверительный интервал для параметра
«a»:
при и n = 15(по
таблице).
5. Задана случайная функция
Y = X SIN(t),
где Х случайная величина с МХ = 3, DX = 1.5.
Найти числовые характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 )
случайной функции
MV=M(-Xcos(t))=-cos(t)MX=-3cos(t)=D(-Xcos(t))=
-cos(2t)DX=-1.5cos(2t)
6. Задан случайный процесс
Z = X
SIN (2t)
+ Y e-t
с MX = 1.3, DX =
3.5, MY = 4, DY = 3, r xy = 0.4.
Найти MZ, DZ, K Z
(t1 , t2).