Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы
Министерство
образования РФ
Томский
политехнический университет
Факультет АВТ
Индивидуальное
домашнее задание
«Теория вероятностей, математическая
статистика и случайные процессы»
Вариант № 1
Выполнил
Студент группы 8В22
Аксенова НГ
Проверил
Преподаватель
Шалаев Ю.Н.
Томск 2004г.
Задание № 1
1. Привести пример пространства
элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их вероятности.
2
Доказать, что
если независимы события А и U, то независимы события А и Ū.
3. По плотности распределения
вероятностей системы двух случайных величин ξ и η найти:
-коэффициент А;
функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
функции распределения и плотности распределения отдельных составляющих
системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
числовые характеристики системы: математическое ожидание Mξ и Mη и дисперсию системы Dξ и Dη
3. По выборке Х оценить закон
генеральной совокупности и оценить его параметры:
X =
{2.4, 2.2, 2.0, 1.6, 1.8, 2.2, 2.2, 2.0 , 2.0, 1.4, 1.6, 2.0, 1.8, 2.6, 2.4 }.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a” - математическое ожидание при
уровне значимости α = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5 Задана случайная функция
Y = X (t2 +
1)
где
Х случайная величина с МХ = 3, DX = 1.2. Найти числовые характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V = dY/dt
6.
Задан случайный процесс
Z = X SIN(t) + Y e-2t
c MX = 1.2, DX = 3.4, MY = 4, DY = 3, r xy = 0.6.
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
.
Монету подбрасывают один раз.
Элементарными
несовместными событиями в данном случае будут
ω1- выпадение цифры;
ω2- выпадение герба.
Ω={ ω1,ω2}
где
Ω-
пространство элементарных событий.
Вероятности
того, что выпадет цифра или герб равны
P(ω1)=
P(ω2)=0.5
1. Условие независимости двух событий:
если А и В независимы, то
P(A/B)=P(A).
В данном
случае P(A/Ǔ)=P(A)
Доказательство
P(A/Ǔ)=P(A∩ Ǔ)/P(Ǔ)=P(A(1-U))/P(Ǔ)=P(A-A*U)/
P(Ǔ)=P(A)P(1-U)/ P(Ǔ)=P(A)* P(Ǔ)/ P(Ǔ)=P(A)
2. Найдем коэффициент А
=1=1/8(x,y)=(x,y)=(x/y)=(y/x)= (x)=(x)=(x)=(x)=
Mξ=
Mη=
Dξ=
Dη=
1.
Вариационный ряд
состоит из семи различных чисел.
Так как X- дискретная случайная величина, то
составляем таблицу ряда
x
|
1.4
|
1.6
|
1.8
|
2.0
|
2.2
|
2.4
|
2.6
|
ni
|
1
|
2
|
2
|
4
|
3
|
2
|
Строим эмпирическую функцию
-∞<x≤1.4 Fn(x)=1/15
.4<x≤1.6 Fn(x)=2/15
.6<x≤1.8 Fn(x)=2/15
.8<x≤2.0 Fn(x)=4/15
.0<x≤2.2 Fn(x)=3/15
.2<x≤2.4 Fn(x)=2/15
.4<x≤2.6 Fn(x)=1/15
.6<x<∞ Fn(x)=0
событие вероятность величина распределение
Fn(x)=
В
качестве оценки для математического ожидания принимают эмпирическое среднее,
т.е. среднее арифметическое всех полученных значений величины X.
xср=1/n*å xi
xср=1/15(1.4+2*1.6+2*1.8+4*2.0+3*2.2+2*2.4+2.6)=2.013
Выборочная
дисперсия находится по формуле
ξ2 =1/n*å(xi-xср)2
-это смещенная оценка дисперсии генеральной совокупности.
ξ2
=1/15*((1.4-2.013)2+2*(1.6-2.013)2+2*(1.8-2.013)2+4*(2-2.013)2+
*(2.2-2.013)2+2*(2.4-2.013)2+(2.6-2.013)2)=0.10382=1/(n-1)*å(xi-xср)2
-это несмещенная оценка дисперсии
S2=0.1112
Среднеквадратичное
отклонение
ξ =√1/n*å(xi-xср)2=0,3222 S=√1/(n-1)*å(xi-xср)2=0,3335
Для
построения доверительного интервала определяем его границы по формулам
Aн=xср-ερ*S/√n
Aв=xср+ερ*S/√n
xср- выборочное
среднее
S- выборочное
среднеквадратичное отклонение несмещенной оценки
ερ- определяется по таблицам распределения Стьюдента, по
уровню значимости α и числу степеней свободы
p=1- α
Из
таблицы находим ερ=1,76
Тогда
ερ*S/√n=1,76*0,335/3,74=0,158
Искомый
доверительный интервал
m€(2,013-0,158;2,013+0,158)
m€(1.855;2.171)
3.
Найдем V=dY/dt=2Xt
MV=M(2Xt)=2tMX=2t*3=6t=D(2Xt)=4t2DX=4t2*1.2=4.8t2(t1,t2)=M[(2X
t1-6 t1)*(2X t2-6 t2)]=2 t1*2 t2*M[(X-3)*(X-3)]= 4 t1 t2*M(X-3)2=
t1 t2*M(X-MX)2=4 t1 t2*DX=4 t1 t2*1.2=4.8 t1 t2
т.к. M(X-MX)2= DX
Корреляционная функция Kv(t1,t2) характеризует степень тесноты линейной зависимости между
двумя сечениями и разброс этих сечений относительно математического ожидания
находится по формуле
Kv(t1,t2)=M[(V(t1)-Mv(t1))*( V(t2)-Mv(t2))]
.
MX(t)=M[Xsint+Ye-2t]=sintMX+e-2tMY=1.2*sint+4e-2t=D[Xsint+Ye-2t]=sin2tDX+
e-4tDY=3.4*in2t+3e-4t(t1,t2)=MŻ(t1)*Ż(t2)
Ż(t1)=Xsin t1+Ye-2 t1-1.2 sin
t1-4e-2 t1= sin t1 (X-1.2)+ e-2 t1 (Y-4)= sin t1X+ e-2 t1 Y
Аналогично
Ż(t2)= sin t2X+ e-2 t2
Y(t1,t2)=M[(sin t1X+ e-2 t1 Y)*( sin t2X+ e-2 t2 Y)]=M[sin t1 sin t2 X2+ e-2 t1
sin t2X Y+
+ e-2 t2 sin t1X Y+ e-2(t1+t2) Y2]= sin t1 sin t2 MX2+ e-2 t1
sin t2MX Y+ e-2 t2 sin t1MX Y+ +e-2(t1+t2) MY2= sin t1 sin t2 DX+ e-2 t1 sin
t2KXY+ e-2 t2 sin t1KXY+ e-2(t1+t2) DY=
=3.4 sin t1 sin t2 +1.92 e-2 t1 sin t2+1.92 e-2 t2 sin t1+3
e-2(t1+t2)
с учетом того, что
rxy= KXY /√DX*DY → KXY = rxy*√DX*DY=1.92