Многочлены Чебышева и их основные свойства
МИНистерство ОБРазования и НАУКИ РОССИи
Федеральное
государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего
профессионального образования
«БРЯНСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АКАДЕМИКА И.Г. ПЕТРОВСКОГО»
Физико-математический
факультет
Кафедра алгебры
и геометрии
Курсовая
работа
«Многочлены
Чебышева и их основные свойства»
Выполнила:
студентка
3 курса ОЗО ФМФ
направления
«Педагогическое
образование»
профиля
«Математика»
Ю.М.
Симонаева
Научный
руководитель:
Кандидат
физико-математических наук
М.М.
Сорокина
Брянск 2014
Содержание
Введение
Глава 1. Обозначения, определения и
известные результаты, используемые в работе
Глава 2. Основы теории многочленов
от одной переменной
Глава 3. Многочлены Чебышева и их
основные свойства
3.1 Определение и простейшие
свойства многочленов Чебышева
3.2 Основные теоремы о многочленах
Чебышева
Заключение
Список используемой литературы
Введение
Теория многочленов представляет один из
центральных разделов современной алгебры. Понятие многочлена от одной переменной
возникло в связи с задачей решения алгебраических уравнений от одной
переменной, которой занимались уже в глубокой древности. В XVI веке
итальянскими математиками были найдены формулы для решения уравнений третьей и
четвертой степени. Позднее Н.Абель и П.Руффини доказали, что, начиная с пятой
степени, общей формулы, использующей, кроме сложения и умножения, лишь
извлечение корней, не существует, а Э.Галуа открыл закономерности поведения
корней, приложимые к каждому конкретному уравнению.
Параллельно с этим К.Гаусс доказал основную
теорему алгебры, утверждающую, что всякий многочлен (коэффициенты многочлена
могут быть не только вещественными, но и комплексными числами) имеет хотя бы
один корень (возможно, являющийся не вещественным, а комплексным числом). В
дальнейшем многие ученые занимались изучением многочленов. Я.Бернулли, Э.Безу,
У.Горнер, Ж.Лагранж, П.Чебышев, С.Эйзенштейн, Д.Гильберт и многие другие
известные математики открыли немало нового и удивительного о многочленах,
ставшего впоследствии привычным и обыкновенным.
В XX веке роль многочленов стала меняться.
Буквы, входящие в многочлен, стали играть роль символов, не связанную с их
конкретными значениями. Современная математика изучает и использует в общем
случае многочлены от одной переменной, у которых коэффициенты а0, а1,
…, аn являются объектами произвольной природы, а не только числами.
Самые разные области математики и ее приложений стали использовать символьное
исчисление многочленов, не зависящее от теории функций (математическая логика,
топология, теория информации, дискретная и компьютерная математика и т.д.).
С изучением многочленов связан целый
ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля
<#"882806.files/image001.gif"> называется
правило или закон, по которому любым двум элементам из 
,
необязательно различным, взятым в указанном порядке, ставится в соответствие
единственный элемент из .
Определение бинарной алгебраической операции
можно сформулировать также следующим образом.
Определение 1′. Бинарной алгебраической
операцией на множестве называется
отображение 
. Вместо 
пишут
.
Бинарные алгебраические операции в общем виде обозначают символами 
и
другими.
Определение 2. Непустое множество 
с
определённой на нём бинарной алгебраической операцией 
называется
группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):
) операция ассоциативна на ,
т.е.
;
) в существует
нейтральный элемент относительно операции , т.е.
;
) для каждого элемента из в
существует
симметричный ему элемент относительно операции ,
т. е. 
.
Определение 3. Группа относительно
операции называется
абелевой, если операция коммутативна на ,
т. е. 
.
Определение 4. Группа относительно операции
сложения называется аддитивной.
Определение 5. Группа относительно операции
умножения называется мультипликативной.
Определение 6. Непустое множество 
с
определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения
называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы кольца):
. -
аддитивная абелева группа, т.е.
а) ассоциативность сложения на 
;
б) 
;
в) 
;
г) коммутативность сложения на
.
. В выполняются
дистрибутивные законы, т.е. 
а) 
-
правый дистрибутивный закон,
б) 
-
левый дистрибутивный закон.
Определение 7. Кольцо называется
ассоциативным, если операция умножения ассоциативна на ,
т.е. 
.
Определение 8. Кольцо называется
коммутативным, если операция умножения коммутативна на ,
т.е. 
.
Определение 9. Кольцо называется
ассоциативно-коммутатитвным, если -
ассоциативное кольцо и коммутативное кольцо.
Определение 10. Кольцо называется
кольцом с единицей, если в существует
единичный элемент, т.е. 
.
Определение 11. Элементы 
и
кольца
называются
делителями нуля, если 
, но 
.
Определение 12. Ассоциативно-коммутативное
кольцо с единицей без делителей нуля называется областью целостности.
Определение 13. Пусть -
ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Элементы и
кольца
называются
ассоциированными в и обозначаются 
,
если 
и
.
Определение 14. Пусть -
ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Элемент 
называется
обратимым в кольце , если в кольце найдется
обратный к нему элемент, т.е. такой элемент 
,
что 
.
Иначе, элемент называется
необратимым элементом .
Определение 15. Полем называется
ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, в котором любой ненулевой элемент
обратим.
Определение 15'. Непустое множество 
с
определёнными на нём бинарными алгебраическими операциями 
и
называется
полем, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы поля):
. -
аддитивная абелева группа, т.е.
а) ассоциативность операции ,
т.е.
;
б) 
;
в) 
;
г) коммутативность операции ,
т.е. 
.
а) 
-
правый дистрибутивный закон;
б) 
-
левый дистрибутивный закон.
. 
-
мультипликативная абелева группа, т.е.
а) ассоциативность операции ,
т.е.
;
б) 
;
в) 
;
г) коммутативность операции ,
т.е. 
.
Определение 16. Множество называется
числовым, если 
.
Определение 17. Поле 
называется
числовым, если оно является числовым множеством, т.е. 
.
Глава 2. Основы теории многочленов от одной переменной
Определение 1. Пусть и
-
ассоциативно-коммутативные кольца с единицами. Кольцо называется
простым расширением кольца с помощью элемента
,
если выполняются следующие условия:
) -
подкольцо кольца ;
) 
,
и записывают 
.
Определение 2. Простое расширение 
называется
простым трансцендентным расширением кольца ,
если выполняется следующее условие: 
из
равенства 
следует, что 
.
Элемент 
в
этом случае называется трансцендентным элементом над (относительно
).
Лемма 1. Пусть -
простое трансцендентное расширение ассоциативно-коммутативного кольца с
единицей,
.
Если
и
,
то 
и
.
Лемма 2. Пусть и
-
простые трансцендентные расширения ассоциативно-коммутативных колец и
с
единицами. Если 
и 
-
изоморфизм на ,
то 
,
причем существует единственный изоморфизм 
кольца
на
,
который переводит элемент в элемент 
(т.е.
)
и продолжает изоморфизм .
Следствие 2.1. Пусть 
и
-
простое трансцендентное расширение ассоциативно-коммутативного кольца с
единицей. Тогда 
.
Лемма 3. Пусть -
ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, 
и
лишь конечное число 
. Тогда множество является
ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей 
относительно
операций, заданных по правилу:
1) 
2) 
где
и т.д.,
Теорема 1. Пусть -
ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Тогда для существуют
простые трансцендентные расширения, причём любые 2 из них изоморфны.
Замечание. Кольцо ,
построенное в лемме 3, и являющееся простым трансцендентным расширением кольца согласно
теореме 1, называется кольцом многочленов (полиномов) от одной переменной
(неизвестной) 
над кольцом и
обозначается . Элементы кольца называются
многочленами (полиномами) над кольцом от
переменной .
Пусть, например, 
,
причём 
(ввиду
теоремы 1). Тогда 
- свободный или
постоянный член многочлена 
, 
-
старший коэффициент многочлена .
Определение 3. Пусть -
ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, 
Число
называется
степенью многочлена 
и обозначается 
,
т.е. 
(степень
многочлена - это степень переменной при старшем коэффициенте).
Определение 4. Нулевым многочленом называется
многочлен, все коэффициенты которого равны 0, и обозначается 0. По определению
полагают, что степень нулевого многочлена равна 
,
т.е. 
.
Таким образом, если 
, то 
(
.
Теорема 2. Пусть -
ненулевое ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, 
.
Тогда:
) 
;
) 
.
Следствие 2.1. Пусть -
область целостности. Тогда 
.
Теорема 3. Если -
область целостности, то - область
целостности.
Теорема 4. Пусть -
область целостности. Тогда для существует поле
частных.
Определение 5. Пусть -
ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Говорят, что многочлен 
делится
на многочлен 
, если 
и
обозначается 
или 
.
Простейшие свойства отношения делимости в :
1) рефлексивность 
; 
) транзитивность 
и 
;
)
и 
;
) 
;
)
.
Определение 6. Пусть -
ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, 
(т.е. 
), 
. Элемент 
называется
значением многочлена в точке 
(на
элементе 
) и обозначается
, то есть 
.
Теорема 5 (теорема Безу). Пусть -
ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, 
, . Тогда существует 
такой, что 
.
Доказательство. Пусть 
. Тогда 
.
Таким образом, 
, где 
. Теорема
доказана.
Определение 7. Пусть -
ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, . Элемент называется
корнем многочлена , если 
.
Следствие 5.1. Пусть -
ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, , . Тогда - корень 
делится на 
.
Следствие 5.2. При делении
многочлена на получается
остаток 
, равный 
.
Теорема 6. Пусть - область
целостности, , . Тогда
многочлен имеет не
более попарно
различных корней. Другими словами, любой ненулевой многочлен -й степени над
областью целостности имеет не более попарно различных корней.
Доказательство. Доказательство
проведём методом математической индукции по параметру .
) Пусть 
не имеет
корней, т.е. имеет нуль
корней и значит 
- верно.
) Пусть 
.
Предположим, что утверждение верно при 
.
) Докажем, что утверждение верно при
: 
. Если не имеет
корней, то число корней равно 
и 
- верно. Пусть имеет хотя
бы один корень и 
- корень такой, что 
. Тогда по
теореме Безу 
, где 
, причём 
по пункту
2) 
имеет не
более 
попарно
различных корней.
Покажем, что все корни многочлена , отличные
от , являются
также корнями многочлена . Пусть 
- корень , 
, т.е. 
так как - область
целостности) 
- корень . Таким
образом, многочлен имеет
корень , а все
остальные корни многочлена являются также корнями многочлена 
. Так как имеет не
более попарно
различных корней, то многочлен имеет не более, чем 
попарно
различных корней.
Из 1)-3) по методу математической
индукции следует, что утверждение верно для любого 
. Теорема
доказана.
Следствие 6.1. Пусть - область
целостности, 
. Если
многочлен имеет более
попарно
различных корней, то является
нулевым многочленом.
Определение 8. Пусть 
, 
, где -
ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Многочлены и 
называются
алгебраически равными, если 
, 
.
Определение 9. Многочлены и из 
называются
функционально равными, если 
, 
, т.е. значения многочленов и в любой
точке кольца совпадают.
Теорема 7. Пусть -
бесконечная область целостности,
. Многочлены и алгебраически
равны 
и равны
функционально.
Теорема 8. Пусть - поле, 
. Тогда
существуют единственные многочлены 
такие, что 
, причем 
.
Определение 10. Пусть - поле, 
. Многочлен 
называется
наибольшим общим делителем многочленов и 
(или коротко, НОД и ) и
обозначается 
, если
выполняются два условия:
) 
- общий делитель многочленов и , т.е. 
и 
;
) делится на любой общий делитель
многочленов и , т.е. если 
и 
, то 
.
Лемма 4. Пусть - поле, 
, 
и 
. Тогда НОД
многочленов и и НОД
многочленов и ассоциированы,
т.е. 
.
Лемма 5. НОД двух многочленов
определяется однозначно с точностью до ассоциированности.
Определение 11. Пусть - поле, . Многочлен 
называется
наименьшим общим кратным многочленов и (или коротко, НОК и ) и
обозначается 
, если
выполняются два условия:
) 
- общее кратное многочленов и 
, т.е. 
и 
;
Лемма 6. НОК двух многочленов
определяется однозначно с точностью до ассоциированности.
Пусть - поле, . Для
нахождения НОК многочленов и применяется следующая формула: 
.
Теорема 9 (теорема о линейном
представлении НОД). Пусть - поле, , , 
. Тогда 
.
Определение 12. Пусть - поле, 
, 
. Многочлен
вида 
называется
формальной производной многочлена и обозначается 
.
Нетрудно проверить, что формальная
производная многочлена удовлетворяет следующим свойствам:
) 
;
) 
;
) 
;
) 
.
Определение 13. Многочлен положительной
степени над полем называется
неприводимым над
, если он не
допускает представления в виде произведения двух многочленов над полем меньшей
степени.
Определение 14. Многочлен положительной
степени над полем называется
приводимым над , если он
допускает представление в виде произведения двух многочленов над полем меньшей
степени.
Лемма 7. Многочлен первой степени
неприводим над любым полем.
Лемма 8. Пусть - поле, 
-
неприводимые над многочлены.
Если 
, то 
.
Замечание 1. Пусть - поле.
Тогда - область
целостности 
- область
целостности 
все
элементы области целостности 
подразделяются на 4 вида:
= 
Замечание 2. Поскольку НОД и НОК
многочленов определяются однозначно с точностью до ассоциированности, то
многочлены и являются
взаимно простыми 
.
Замечание 3. Пусть 
-
неприводимый над многочлен.
Если 
, то либо 
, либо 
.
Лемма 9. Пусть - поле, 
, -
неприводимый над многочлен. f 
p 
и 
взаимно
просты.
Лемма 10. Пусть - поле, 
, -
неприводимый над многочлен.
Если 
, то хотя бы
из
множителей 
делится на 
, то есть 
.
Теорема 10. (Основная теорема о
многочленах). Любой многочлен положительной степени над полем допускает
представление в виде произведения неприводимых над многочленов,
причем такое представление единственно с точностью до порядка следования
множителей и ассоциированности.
Доказательство. 1) Существование. Пусть
и 
.
Доказательство проведем методом математической индукции по параметру .
. Пусть 
неприводим
над 
- искомое
представление.
. Допустим, что утверждение верно
для любого многочлена положительной степени 
над полем .
. Докажем утверждение для многочлена
. Если неприводим
над , то 
- искомое
представление. Пусть приводим
над
, где 
и 
и 
- представление 
и 
в виде
произведения неприводимых над многочленов 
- искомое
представление.
Из 1-3 по методу математической
индукции утверждение
верно для любого 
.
) Единственность. Пусть 
и 
- требуемые
представления 
. Так как 
, то либо 
, либо 
. Пусть,
например, . Так как
левая часть 
делится на 
, то 
по лемме 4
хотя бы один из множителей делится на . Так как множители можем менять
местами, то будем считать, что 
по лемме 8 
и по
замечанию 3 
, где 
, 
. Так как
левая часть 
делится на 
, то, как и
выше, получим 
и 
, где 
, причем 
и т.д.,
через конечное число шагов получим 
. Допустим, что 
противоречие
. Таким
образом, представление многочлена в виде требуемого произведения
определяется однозначно с точностью до порядка следования множителей и
ассоциированности. Теорема доказана.
Определение 15. Пусть - поле.
Многочлен называется
нормированным или приведенным, если 
.
Следствие 10.1. Любой многочлен положительной
степени над полем допускает
представление в виде: 
, где 
, 
-
неприводимые над нормированные
многочлены.
Определение 16. Пусть , - поле, 
.
Представление многочлена в виде 
, где ,
- попарно
различные неприводимые над полем нормированные многочлены, 
, называется
каноническим представлением многочлена , число 
называется
кратностью множителя 
. Если 
, то 
называется
простым неприводимым множителем многочлена .
Определение 17. Пусть , -
ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, - корень . Число 
называется
кратностью корня многочлена , если 
, но 
.
В этом случае пишут 
- данная
запись означает, что 
- это
наибольшая степень 
, которая
делит 
.
Теорема 11. Пусть 
-
несократимая рациональная дробь. Если 
- корень , то 
.
Доказательство. Так как 
- корень , то 
, то есть:
. Так как 
, то 
. Так как 
, то 
.
Теорема доказана.
Следствие 11.1. Рациональные корни
нормированного многочлена с целыми коэффициентами являются его целыми корнями.
Следствие 11.2. Целые корни
многочлена с целыми коэффициентами являются делителями свободного числа.
Теорема 12. Пусть 
, 
, -
несократимая рациональная дробь. Если - корень , то 
, 
.
Следствие 12.1. Пусть 
, -
несократимая рациональная дробь. Если - корень , то 
, 
.
Глава 3. Многочлены
Чебышева и их основные свойства
3.1 Определение
и простейшие свойства многочленов Чебышева
многочлен чебышев корень переменная
Определение 1. Многочлены 
,
где 
,
определенные рекуррентным соотношением 
и
начальными условиями 
и 
называют
многочленами Чебышева.
Определение многочленов Чебышева основано на
том, что 
полиномиально
выражается через 
, т.е. существует
такой многочлен , что 
при
.
Формула 
показывает,
что многочлены , определенные
рекуррентным соотношением и начальными
условиями и ,
обладают нужным свойством.
Непосредственно из того, что при
,
следует, что 
при 
.
А из рекуррентного соотношения следует, что 
,
где 
-
целые числа.
Теорема 1. Пусть 
-
многочлен степени со старшим
коэффициентом 1, причем 
при 
.
Тогда 
.
Другими словами, многочлен 
- наименее
уклоняющийся от нуля на интервале 
многочлен
степени со
старшим коэффициентом 1.
Доказательство. Воспользуемся свойством
многочлена 
, а именно тем, что
при
.
Рассмотрим многочлен 
. Его степень не
превосходит 
, поскольку старшие
члены многочленов 
и 
равны.
Из того, что при ,
следует, что в точке
знак числа 
cовпадает
со знаком числа 
. Таким образом, в
концах каждого отрезка 
многочлен 
принимает
значения разного знака. Поэтому у многочлена на
этом отрезке есть корень. В случае, когда 
,
либо 
-
двукратный корень, либо внутри одного из отрезков и
есть
еще один корень. Это следует из того, что в точках 
и
мнгочлен
принимает
значения одного знака (рис.1).
Рис.1
Количество отрезков равно
,
поэтому многочлен имеет по крайней
мере корней.
Для многочлена степени не более это означает, что
он тождественно равен нулю, т.е. .
Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть 
.
Тогда
Доказательство. Поскольку 
,
то 
и
.
Следовательно, 
.
Пусть 
и
.
Тогда 
и
Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть -
нечетное простое число. Тогда
.
Доказательство. Запишем в
виде 
.
Тогда
Если 
,
то 
делится
на .
Поэтому
. Следствие
доказано.
Определение 2. Композиция многочленов и
определяется
равенством 
.
Определение 3. Многочлены и
называются
коммутирующими, если 
, т.е. 
.
Доказательство. Пусть .
Тогда 
и
.
Поэтому 
.
Аналогично 
. Таким образом,
равенство 
выполняется при 
,
а значит, это равенство выполняется при всех .
Теорема доказана.
Определение 4. Пусть 
,
где 
и
.
Говорят, что пара многочленов 
и 
эквивалентна
паре многочленов 
и .
Теорема 4 (Ритт). Пусть
и
-
коммутирующие многочлены. Тогда пара многочленов и
эквивалентна
одной из следующих пар:
(1) 
и
где
(2) 
и
где
и
- многочлены Чебышева;
(3) 
и
где
Теорема 4 была доказана в 1922 году американским
математиком Риттом; все известные ее доказательства весьма сложные. Современное
изложение доказательства теоремы Ритта приведено в книге Прасолова В.В.,
Шварцмана О.В. [13].
В некоторых случаях вместо многочлена 
рассматривают
многочлен 
со старшим
коэффициентом 1. Многочлены 
удовлетворяют
рекуррентному соотношению 
. Поэтому -
многочлен с целыми коэффициентами.
Если 
,
то и
.
Следовательно, 
, т.е. многочлен соответствует
полиномиальному выражению величины 
через
.
С помощью многочленов 
можно
доказать следующее утверждение.
Теорема 5. Если оба числа
и 
рациональны,
то число 
целое,
т.е.
.
Доказательство. Пусть 
-
несократимая дробь и 
, где 
.
Тогда 
.
Поэтому 
-
корень многочлена 
с целыми
коэффициентами. Пусть 
- несократимая
дробь. Тогда 
, и значит, 
делится
на .
Однако числа 
взаимно простые.
Поэтому 
,
т.е. 
-
целое число. Теорема доказана.
3.2 Основные
теоремы о многочленах Чебышева
Определение 5. Многочлены 
называют
ортогональными многочленами на отрезке 
с
весовой функцией 
, если 
и
при
.
В пространстве 
многочленов
степени не более задают скалярное
произведение формулой 
.
Ортогональные многочлены 
образуют
ортогональный базис в пространстве с
таким скалярным произведением.
Если задан отрезок и весовая функция, то
ортогональные многочлены определены однозначно с точность до
пропорциональности. В самом деле, они получаются в результате ортогонализации
базиса 
Наиболее известны следующие ортогональные
многочлены:
|
|
|
|
Название
|
|
-1
|
1
|
1
|
многочлены
Лежандра
|
|
-1
|
1
|
|
многочлены
Гегенбауэра
|
|
-1
|
1
|
|
многочлены
Якоби
|
|
|
|
|
многочлены
Эрмита
|
|
0
|
|
|
многочлены
Лагерра
|
Теорема 6.
Многочлены Чебышева образуют ортогональную систему многочленов на отрезке 
с
весовой функцией 
.
Доказательство. Сделаем замену .
Получим
при 
.
Теорема доказана.
Следствие 2. Если -
многочлен степени и
при 
,
то 
,
где 
-
некоторое число.
Доказательство. В пространстве со
скалярным произведением
ортогональное дополнение к подпространству,
порожденному многочленами 
, порождено
многочленом Чебышева . Следствие
доказано.
Теорема 7. Многочлены Чебышева можно вычислять
по формуле
.
Доказательство. Индукцией по 
доказывается,
что при 
,
где 
-
многочлен степени , причем 
,
и
при 
.
Следовательно, 
-
многочлен степени .
Проверим, что 
,
т.е.
при .
Интегрируя по частям получаем
Первое слагаемое равно нулю, так как 
при
.
Затем интегрируем по частям второе слагаемое и т.д. Чтобы в конце концов
получить нуль, необходимо проинтегрировать по частям 
раз.
При этом на последнем шаге возникнет дифференциал 
.
Это означает, что число 
должно быть
неотрицательно, т.е. 
.
Остается проверить, что 
.
Для этого вычисляют 
. Действительно,
что при 
рекуррентное
соотношение 
принимает вид 
.
Таким образом,
. Кроме того, 
.
Теорема доказана.
Теорема 8. Пусть многочлен 
,
где 
,
таков, что 
при 
.
Тогда 
при
.
Доказательство. Воспользуемся тем, что 
при
,
.
Многочлен полностью
определяется значениями 
.
Где
Дифференцируя раз
соотношение (1), получим
Так как ,
то
Многочлен в
точке 
принимает
значение 
.
Поэтому
Кроме того, 
.
Далее, при 
знак числа 
не
зависит от 
. Действительно,
все корни многочлена 
принадлежат
отрезку .
Поэтому все корни многочлена также принадлежат
этому отрезку. Следовательно, 
при 
и
при
.
В итоге при получаем
В этом случае из неравенства (2) следует, что 
Теорема
доказана.
Теорема 9. Пусть многочлен ,
где ,
таков, что при .
Тогда 
.
Доказательство. Так как 
,
где 
,
то по теореме 8 при 
получим 
.
Теорема доказана.
Теорема 10. При 
и
при выполняется
неравенство 
.
Доказательство. Для многочлена 
выполняется
условие теоремы 8. Поэтому 
. Теорема доказана.
Теорема 11. При 
выполняется
неравенство
.
Доказательство. Пусть 
.
Рассмотрим многочлен 
. Проверим, что
многочлен удовлетворяет
условию теоремы 8, т.е. что 
при .
При вещественном 
функция 
зависит
только от 
, причем если 
,
то монотонно
возрастает с возрастанием . Кроме того,
при 
.
Следовательно, если 
и ,
то 
.
Согласно теореме 8 при выполняется
неравенство 
, т.е. .
Теорема доказана.
Определение 6. Для
последовательности функций 
рассматривают ряд 
.
Если радиус сходимости данного ряда положителен, то функцию 
называют
производящей функцией последовательности 
.
Теорема 12. При 
и
выполняются
следующие равенства:
(а) 
(б)
.
Доказательство.
а) Пусть .
Тогда 
.
Поэтому 
.
Кроме того,
при .
Следовательно,
Теорема доказана.
б) Продифференцировав по 
обе
части равенства (а), получим
Следовательно,
Теорема доказана.
Теорема 13. Пусть 
и
.
Тогда
Доказательство. Согласно теореме 12 (а),
Поэтому
Суммирование ведется до тех пор, пока 
.
Поэтому 
.
Теорема доказана.
Для многочлена 
:
где 
При 
выполняется
равенство
а при 
выполняется
равенство
Таким образом, если ,
а при многочлены
задаются
формулой (1), то выполняется соотношение
где
Соотношения (1) и (2) можно записать следующим
образом. Пусть 
и 
,
где -
некоторое фиксированное число. Тогда
(при 
второе
соотношение принимает вид 
). Покажем, что
соотношения (3) эквивалентны не только для указанных последовательностей, но и
для произвольных последовательностей. Заметим, что первое соотношение имеет вид
,
а второе соотношение имеет вид 
. Поэтому каждое
соотношение однозначно определяет как последовательность по
последовательности 
, так и
последовательность по
последовательности . Для
последовательностей 
, 
,
где 
и
-
фиксированные наборы чисел, соотношения (3) эквивалентны, поскольку они
эквивалентны для последовательностей 
,
.
Проверим, что для любой последовательности 
можно
подобрать такие числа 
и 
,
что
при 
.
Выберем произвольные попарно различные числа .
Тогда для чисел получим систему
линейных уравнений с определителем
Эта система уравнений имеет решение при любых 
.
Соотношение (3) позволяют получать нетривиальные
тождества с биномиальными коэффициентами. Пусть, например, 
при
всех .
Тогда
Данные тождества получаются из разложений 
и
по
биному Ньютона. В таком случае соотношение 
принимает вид
Заключение
В курсовой работе
¾ изучены основные понятия теории
многочленов от одной переменной (многочлен, степень многочлена, нулевой
многочлен, неприводимый (приводимый) над полем многочлен, наибольший общий
делитель и наименьшее общее кратное многочленов над полем, каноническое
представление многочлена, корень многочлена, кратность корня многочлена и др.),
приведены примеры многочленов (многочлены над числовыми полями), рассмотрены
основные свойства многочленов от одной переменной (свойства кольца многочленов
над областью целостности, свойства степени многочлена, свойства неприводимых
многочленов над полем и др.);
Список используемой литературы
1. Прасолов
В.В. Многочлены. - М.: МЦНМО, 2001.
2. Винберг
Э.Б. Курс алгебры. - М.: МЦНМО, 2011.
. Куликов
Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Оникс, 2012.
. Кострикин
А.И. Введение в алгебру. В 3-х частях. Часть 1: Основы алгебры: учебник. - М.:
МЦНМО, 2009.
. Кострикин
А.И. Введение в алгебру. В 3-х частях. Часть 2: Линейная алгебра: учебник. -
М.: МЦНМО, 2012.
. Кострикин
А.И. Введение в алгебру. В 3-х частях. Часть 3: Основные структуры алгебры:
учебник. - М.: МЦНМО, 2009.
. Курош
А.Г. Основы высшей алгебры. - СПб.: Лань, 2011.
. Курош
А.Г. Лекции по общей алгебре. - СПб.: Лань, 2007.
. Родина
М.А., Солодовников А. С. Задачник-практикум по алгебре. - М.: Просвещение,
1986.
. Фаддеев
Д.К. Лекции по алгебре. - СПб.: Лань, 2007.
. Фаддеев
Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. - СПб.: Лань, 2008.
. Окунев
Л.Я. Высшая алгебра. - СПб.: Лань, 2009.
. Прасолов
В.В., Шварцман О.В. Азбука римановых поверхностей. - М.: Фазис, 1999.