Сходимость положительных рядов

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕСПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

ТАШКЕНТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НИЗАМИ

КУРСОВАЯ РАБОТА

по предмету

«Математический анализ»

на тему:

СХОДИМОСТЬ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ

Работу выполнила: студентка группы 305

физико-математического факультета

направления образования «5110100- Методика преподавания математики»

Давулова Сетора

Проверила: старший преподаватель кафедры «Математический анализ»

Латыпова А.Р.

Ташкент - 2015 год

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

Введение

. Условие сходимости положительного ряда

. Обобщенные гармонические ряды или ряды Дирихле

. Ряд, составленный из элементов геометрической прогрессии

. Теоремы сравнения рядов

. Признак Даламбера

. Признак Раабе

. Схема Куммера

. Вывод признаков сравнения из схемы Куммера

. Признак Бертрана

Заключение

Список литературы

Введение

 

Исследования Исаака Ньютона в области математики дали толчок к исследованиям рядов. В частности, открытие им бинома Ньютона. Он дал формулу без доказательства в 1676 году в первом своем письме к Ольденбургу, секретарю Лондонского королевского общества. Формула бинома для натуральных степеней была известна китайскими математиками еще в XIV веке, но Ньютон первым догадался применить ее для дробных и отрицательных степеней, в результате чего у него получились бесконечные ряды. Со времен Ньютона бесконечные ряды активно исследовались, но вплоть до XVIII века понятие сходимости ряда еще не было точно установлено. Например, Эйлер в статье «О расходящихся рядах» (1754-1755 гг.) называет ряд «сходящимся», если его члены стремятся к нулю, и «расходящимся» в противном случае, при этом он допускал, что такой ряд не всегда сходится к своей «сумме», которую он вычислял через преобразование ряда к функции. Некоторые видные математики того времени недооценивали значение расходящихся рядов. Так Даламбер в 1768 году высказал сомнение в отношении употребления расходящихся рядов. Это кончилось тем, что в течение первой половины XIX века расходящиеся ряды не употреблялись, главным образом из-за критических трудов Абеля и Коши, пока математика не развилась до того уровня, чтобы их принять.

Цели данной курсовой работы состоят в том, чтобы научится определять, является ли ряд положительным, определять его сходимость или расходимость, в некоторых случаях научиться находить его сумму.

А задачи курсовой работы состоят в изучении определения положительного ряда, рассмотрении рядов Дирихле, рассмотрении схемы Куммера для вывода из нее признаков сравнения ряда, изучении признаков Даламбера, Раабе и Бертрана.

теорема признак сравнение гармонический ряд

1. Условие сходимости положительного ряда

 

Определение 1. Числовой ряд называется положительным, если все его элементы не отрицательны.

Теорема 1. Последовательность частичных сумм положительного ряда монотонно возрастает.

Доказательство. Пусть дан положительный числовой ряд

 , где  . (А)

Рассматривается n-ная частичная сумма

, тогда

,

это значит, что последовательность частичных сумм монотонно возрастает.

Рассматривается основная в теории положительных рядов теорема.

Теорема 2. Необходимое и достаточное условие сходимости положительного ряда. Для того чтобы положительный ряд сходился, необходимо и достаточно чтобы последовательность частичных сумм была ограничена сверху.

Доказательство. Пусть дан положительный ряд

 , где  . (А)

1) 
Необходимость. Пусть ряд (А) сходится, тогда

.

Значит, данная последовательность частичных сумм ограничена сверху.

) Достаточность. Пусть последовательность частичных сумм S_n ограничена сверху, значит, на основании теоремы Вейерштрасса, такая последовательность имеет конечный предел. Отсюда ряд (А) сходится.

Все признаки сходимости (и расходимости), в конечном счете, основаны на этой простой теореме. Но непосредственное ее применение лишь в редких случаях позволяет судить о характере ряда. В качестве примера применения данной теоремы могут служить ряды Дирихле.

 

2. Обобщенные гармонические ряды или ряды Дирихле

Определение 2. Числовой ряд  называется гармоническим рядом, а числовые ряды , где , называются обобщенными гармоническими или рядами Дирихле.

Замечание 1. Название гармонического ряда связано с тем, что каждый его член, начиная со второго, является средним гармоническим для двух соседних. (Число c называется средним гармоническим чисел a и b, если ).

1) Рассматривается гармонический ряд .

Имеет место очевидное неравенство:

.(1)

Если, отбросив первые два члена, остальные члены гармонического ряда разбить на группы по 2, 4, 8,…, 2^k-1,… членов в каждой

то каждая из этих сумм в отдельности будет больше ; в этом легко убедиться, полагая в (1) поочередно n = 2, 4, 8, …, 2^k-1, … Обозначили n-ную частичную сумму гармонического ряда через H_n; тогда, очевидно,

.

Отсюда следует, что частичные суммы не могут быть ограничены сверху: ряд имеет бесконечную сумму.

2) Рассматривается ряд Дирихле .

Он содержит в себе, как частный случай (при s=1), предыдущий ряд.

Так как при s<1 члены рассматриваемого ряда больше соответствующих членов ряда в примере 1, то, в этом предположении, частичные суммы и подавно не ограничены сверху, так что ряд расходится.

Остался случай, когда s>1; положили для удобства , где .

Аналогично (1), получается неравенство:

.(2)

Выделив, как и выше, последовательные группы членов:

с помощью (2) легко показать, что эти суммы соответственно меньше членов геометрической прогрессии

.

В таком случае ясно, что какую бы частичную сумму рассматриваемого ряда ни взять, она будет меньше постоянного числа

следовательно ряд сходится.

Примеры. Исследовать на сходимость ряды:

1) .

Этот ряд является рядом Дирихле с s>1, а, значит, ряд сходится.

2) .

Этот ряд также является рядом Дирихле с s<1, а потому расходится.

 

3. Ряд, составленный из элементов геометрической прогрессии

 

Рассматривается ряд:

.(3)

Его членами являются элементы геометрической прогрессии. Записав частичную сумму ряда: , по известной формуле:

, свернули : .

Устанавливается сходимость ряда при различных q:

2)  - ряд расходится.

)  или не существует.

Вывод. Ряд, составленный из элементов геометрической прогрессии, сходится при  и расходится при .

Примеры. Исследовать на сходимость ряды и в случае сходимости найти их суммы:

3) .

Данный ряд составлен из элементов геометрической прогрессии, ее знаменатель равен 2>1, поэтому ряд расходится.

4) .

Это опять же геометрический ряд, его знаменатель равен , а, значит, ряд сходится. Ищется его сумма:

.

4. Теоремы сравнения рядов

 

Пусть даны два положительных ряда

 , где  , (А)

 , где  . (B)

Теорема 3. Признак сходимости положительных рядов. Если для  , то из сходимости ряда (А) следует сходимость ряда (В), а из расходимости ряда (В) следует расходимость ряда (А).

Доказательство. 1) Пусть ряд (А) сходится, доказывается, что сходится и ряд (В).

Обозначили  последовательность частичных сумм ряда (А), а  - ряда (В). Так как ряд (В) сходится, то . Из условия  следует, что , отсюда следует, что ограничено сверху, а, значит, подпоследовательность частичных сумм имеет конечный предел, т. е. ряд (В) сходится.

) Пусть ряд (В) расходится, доказывается, что расходится и ряд (А).

Из расходимости ряда (В) следует, что монотонно возрастающая последовательность частичных сумм , т. е. . И так как , то из предельного перехода в неравенстве получается, что , т. е. ряд (А) так же расходится.

Замечание 2. Если условия  выполняется, начиная с некоторого номера, то признак сходимости остается в силе.

Замечание 3. Теорема 3 носит название «признак сравнения I».

Теорема 4. Если, хотя бы начиная с некоторого места (например, для ), выполняется неравенство:

, где,(4)

то из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А), а из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В).

Доказательство. Не умаляя общности, можно считать, что неравенство (4) справедливо для всех значений  В таком случае имеет место:

Перемножив почленно эти неравенства, получится:

Пусть ряд (В) сходится; вместе с ним сходится ряд , полученный умножением его членов на постоянный множитель , а тогда, по признаку сравнения I, сходится и ряд (А), и т. д.

Примеры. Исследовать на сходимость ряды:

5)         .

Данный ряд сравнивается с рядом , который сходится, как геометрический ряд со знаменателем меньше 1. Поскольку , то, по признаку сравнения I, сходится и данный ряд.

6)  .

Данный ряд сравнивается с гармоническим рядом , который расходится. Так как , то, по признаку сравнения I, сходится и данный ряд.

7) .

Его сравнивали с рядом , который, очевидно, расходится. Обозначив , составили для них выражения:

Поскольку  и ряд  расходится, то, по теореме 4, расходится и данный ряд.

 

5. Признак Даламбера

 

Пусть дан положительный ряд:

 , где  . (А)

Теорема 5. Если существует предел:

, (5)

то: 1) при  ряд (А) сходится, 2) при  ряд расходится.

Доказательство. Из равенства (5) на основании определения предела числовой последовательности следует, что для любого сколь угодно малого  существует , такой что для  выполняется неравенство:

. (6)

1) Пусть , тогда . Обозначили , тогда, начиная с номера , из неравенства (6) следует, что выполняются следующие неравенства:

(7)

Перемножили неравенства (7):

.(8)

Рассматриваются следующие числовые ряды:

,(9)

.(10)

Ряд (10) сходится как ряд, состоящий из элементов геометрической прогрессии, со знаменателем . Тогда из неравенства (8) следует, что, по признаку сравнения I, сходится и ряд (9).

Ряд (9) является N-ным остатком ряда (А), значит, сходится и ряд (А).

)Пусть , тогда ряд (А) расходится, так как  и, начиная с некоторого номера, , т. е. последовательность  монотонно возрастает, а, значит, . Отсюда следует, что ряд (A) расходится.

Замечание 4. При  признак Даламбера ответа на поставленный вопрос не дает, и ряд нужно исследовать с помощью других признаков.

Примеры. Пользуясь признаком Даламбера, исследовать сходимость рядов:

8) .

Отсюда, по признаку Даламбера, следует, что данный ряд сходится.

9) .

Отсюда, по признаку Даламбера, следует, что данный ряд сходится.

10) .

Отсюда, по признаку Даламбера, следует, что данный ряд расходится.

 

6. Признак Раабе

 

Теорема 6. Если существует предел:

, (11)

то: 1) при  ряд (А) сходится, 2) при  ряд расходится.

Утверждение 1. (12)

Доказательство. Рассматривается выражение :

.

Прологарифмировали обе части равенства:

Возвратились к пределу:

Из равенства (11), на основании определения предела числовой последовательности, следует, что для любого сколь угодно малого  существует , такой что для  выполняется неравенство:

,(13)

1) Пусть , тогда . Обозначили , тогда, начиная с номера , из неравенства (13) следует, что выполняется следующее неравенство:

.(14)

взяли любое число  . По (12), для достаточно больших  будет выполняться:

Отсюда, по (14), следует:

.

Справа - отношение двух последовательных членов ряда Дирихле при ; после применения теоремы 4 становится очевидной сходимость ряда (А).

) Пусть , тогда, аналогично пункту (1), из (13) следует неравенство:

Отсюда сразу нашли:

после применения к ряду (А) и ряду Дирихле теоремы 4 становится видна расходимость ряда (А).

Замечание 5. Признак Раабе значительно сильнее признака Даламбера

Замечание 6. При  признак Раабе ответа на поставленный вопрос не дает.

Примеры.

) Исследовать ряд с помощью признаков Даламбера и Раабе:

Признак Даламбера на вопрос о сходимости данного ряда ответа не дает. Исследуется ряд с помощью признака Раабе:

Получилась неопределенность типа , поэтому применили 1-е правило Лопиталя-Бернулли:

Рад расходится при , сходится при , а при  признак Раабе на вопрос о сходимости ответа не дает.

) Исследовать ряд с помощью признака Раабе:

.

Получилась неопределенность типа , но, прежде чем применить 1-е правило Лопиталя-Бернулли, находится производная от выражения , для этого оно логарифмируется и ищется производная от логарифма:

Теперь можно найти производную от выражения :

.

Возвратились к пределу. Применяется 1-е правило Лопиталя-Бернулли:

Рассматривается выражение . После применения к нему 1-го правила Лопиталя-Бернулли:

Отсюда следует, что:

Подставили это равенство в выражение:

Отсюда, по признаку Раабе, следует, что данный ряд расходится при , сходится при , а при  признак Раабе ответа на вопрос о сходимости ряда не дает.

 

7. Схема Куммера

Теорема 7. Пусть  будет произвольная последовательность положительных чисел, такая, что ряд  расходится.

Если существует предел:

,(15)

то: 1) при  ряд (А) сходится, 2) при  - расходится.

Доказательство. Из равенства (15), на основании определения предела числовой последовательности, следует, что для любого сколь угодно малого  существует , такой что для  выполняется неравенство:

 (16)

1) Пусть , тогда . Обозначили , тогда, начиная с номера , из неравенства (16) следует, что выполняется следующее неравенство:

Умножая обе части этого неравенства на , получается:

,(17)

значит, .

Отсюда следует, что последовательность  монотонно убывает и, следовательно, стремится к конечному пределу (так как ограничена снизу нулем).

Итак, ряд  сходится, ибо его частичная сумма: , имеет конечный предел. Но тогда из неравенства (17), по признаку сравнения I, следует, что сходится ряд , а с ним и данный ряд (А).

)   

Так как ряд  предположен расходящимся, то, по теореме 4, расходится и испытуемый ряд (А).

Замечание 7. Условие расходимости ряда  используется только для вывода признака расходимости, признак сходимости в этом условии не нуждается.

Замечание 8. Схема Куммера является общей схемой для получения конкретных признаков.

 

8. Вывод признаков сравнения из схемы Куммера

1) Положили, что . Условие расходимости ряда  соблюдено. Получается

Перешли к пределам:

1) При ряд сходится.

2) При ряд

расходится.

Таким образом, был выведен признак Даламбера.

2) Положили, далее, . Ряд  расходится как гармонический. Отсюда следует:

Перешли к пределам:

1) При ряд сходится.

2) Приряд расходится.

Здесь получился признак Раабе.

 

9. Признак Бертрана

Теорема 6. Если существует предел:

(18)

то: 1) при  ряд (А) сходится, 2) при  - расходится.

Доказательство. Доказывается с помощью схемы Куммера. Пусть .

Рассматривается ряд

Сопоставим его с рядом , который расходится, так как его частичная сумма  не имеет конечного предела. После применения формулы конечных приращений к функции  в промежутке  получается:

Отсюда, по признаку сравнения I, следует, что расходится и ряд

.

Тогда

) При

 

 

ряд сходится.

2) При

 

 

ряд расходится, ч и тр. д.

Замечание 9. Признак Бертрана чувствительнее признака Раабе. Эта цепь все более и более чувствительных (но и более сложных!) признаков может быть неограниченно продолжена.

Примеры. Исследовать на сходимость ряды.

13)

Отсюда следует:

Рассматриваются пределы:

Отсюда, по признаку Бертрана, следует, что данный ряд расходится.

Заключение

Значения положительных рядов на практике очень велико. С их помощью можно находить приближенные значения функций, значения которых очень трудно или невозможно посчитать. Так, например, число e определяется пределом функции . Найти точное значение этого выражения невозможно, а искать приближенное значение неудобно, поэтому этот предел преобразуется в положительный сходящийся ряд . Искать приближенное значение этого ряда значительно проще, при этом значительно легче оценивать степень точности.

В данной курсовой работе были рассмотрены положительные ряды. Были рассмотрены и решены примеры, которые помогли закрепить материал и научится применять его на практике.

Список литературы

 

1.Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: «Наука», 1969. - 440 с.

.Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - М.: «Наука», 1990. - 624 с.

.Маркушевич А. И. Ряды: Элементарный очерк. - М.: Физматгиз, 1961. - 188 с.

.Фихтенгольц Г. Н. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. - М.: Физматгиз, 1959. - 808 с.