Сходимость ряда на концах интервала. Дифференциальные уравнения. Задачи на неопределённый интеграл
Контрольная
работа по высшей математике
1. Ситуационная
(практическая) задача № 1
Написать три первых
члена степенного ряда по заданному общему члену 
, найти интервал
сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах этого интервала.
Решение.
Подставив
последовательно 
,
запишем данный ряд в виде:
Так как среди
коэффициентов ряда нет коэффициентов равных нулю, находим радиус сходимости
ряда по формуле:
,
где
,
,
.
Следовательно, ряд
сходится при:
Исследуем сходимость
ряда на концах полученного интервала.
При 
данный
ряд принимает вид:
Сравним ряд 
с
гармоническим рядом 
.
Применим второй признак
сравнения:
Так как полученный
предел конечен и не равен нулю, а гармонический ряд 
расходится,
то ряд также
расходится по второму признаку сравнения положительных рядов.
При 
данный
ряд принимает вид:
.
Последний ряд является
знакочередующим рядом.
По признаку Лейбница
знакопеременный ряд сходится, если выполняются два условия:
. 
. 
,
т.е. 
Выполняются два условия
сходимости знакочередующего ряда, т.е. по признаку Лейбница ряд 
сходится.
Но знакопеременный ряд сходится
условно, так как расходится ряд, составленный из абсолютных величин этого ряда .
Ответ. Область
сходимости данного ряда 
2. Ситуационная
(практическая) задача № 2
Найти общее решение
дифференциального уравнения 
и частное решение,
удовлетворяющее начальному условию 
Решение.
Дано дифференциальное уравнение 1
порядка. Решаем его по методу Бернулли.
Заменим функцию 
произведением
двух неизвестных функций 
и
,
положим 
.
Тогда:
Подстановка и
в
уравнение дает
.
Преобразуем это
уравнение:
Положим 
,
и тогда:
при любом значении 
.
Из уравнения находим:
При найденном значении 
линейное
уравнение принимает вид: 
.
Подставляем значение 
в
уравнение ,
получим
Зная, что 
и
,
находим:
Проверка.
, 
Подставим значения и
в
заданное уравнение
Получили тождество,
следовательно, найденное решение уравнения правильно.
Находим частное решение
при .
- частное решение при
Ответ: 
-
общее решение уравнения.
- частное решение при
3. Тестовые задания
ряд сходимость лейбниц
дифференциальный уравнение интеграл
1. Применяя таблицу интегралов и
метод замены переменных, найти неопределённый интеграл:
А. 
,
В. 
,
Г. 
Ответ. А.
. Применяя метод
интегрирования по частям, найти неопределённый интеграл:
А.
,
Б. 
,
В. 
,
Г. 
Ответ. А.
3. Применяя метод
интегрирования рациональных алгебраических функций, найти неопределённый
интеграл:
А. 
,
Б. 
В. 
Г. 
Ответ. Г.
. Вычислить площадь
фигуры, ограниченной графиками функций
, 
А. 3/2;
Б. 125/6;
В. 9/2;
Г. 9
Ответ. В. 9/2
5. Вычислить:
А. 
,
Б. 
,
В. 
,
Г. 
Ответ. В.
. Выберите сходящийся ряд:
А. 
,
Б. 
,
В. 
,
Г. 
Ответ. А.
7. Выберите абсолютно сходящийся
ряд:
А. 
,
Б. 
,
В. 
,
Г. 
Ответ. Г.
. В точке 
ряд
А. расходится,
Б. сходится абсолютно,
В. сходится условно,
Г. может, как сходиться,
так и расходиться.
Ответ. А.
расходится
. При каком значении
параметра 
функция
является
решением уравнения 
А. 
,
Б.
,
В. 
,
Г. 
Ответ. А.
.
10. Найти общее решение уравнения:
А. 
,
Б. 
,
В.
,
Г. 
Ответ. А.