Методы нахождения неопределенных интегралов

Методы нахождения неопределенных интегралов

Контрольная работа по высшей математике

Ситуационная (практическая) задача № 1

Написать три первых члена степенного ряда по заданному общему члену , найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах этого интервала.

Решение.

Подставив последовательно , запишем данный ряд в виде:

Так как среди коэффициентов ряда нет коэффициентов равных нулю, находим радиус сходимости ряда по формуле

, где ,

Следовательно, ряд сходится при

Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала.

При  данный ряд принимает вид . Сравним ряд  с гармоническим рядом . Применим второй признак сравнения.

Так как полученный предел конечен и не равен нулю, а гармонический ряд  расходится, то ряд  также расходится по второму признаку сравнения положительных рядов.

При  данный ряд принимает вид .

Последний ряд является знакочередующим рядом. По признаку Лейбница знакопеременный ряд сходится, если выполняются два условия:

.  2.

, т.е.

Выполняются два условия сходимости знакочередующего ряда, т.е. по признаку Лейбница ряд  сходится. Но знакопеременный ряд  сходится условно, так как расходится ряд, составленный из абсолютных величин этого ряда .

Ситуационная (практическая) задача № 2

Найти общее решение дифференциального уравнения  и частное решение, удовлетворяющее начальному условию

Решение.

Дано дифференциальное уравнение 1 порядка. Решаем его по методу Бернулли.

Заменим функцию  произведением двух неизвестных функций  и , положим . Тогда . Подстановка  и  в уравнение дает .

Преобразуем это уравнение:

Положим , и тогда  при любом значении . Из уравнения  находим:

При найденном значении  линейное уравнение принимает вид: . Подставляем значение  в уравнение , получим

Зная, что  и , находим

Проверка.

,

Подставим значения  и  в заданное уравнение

Получили тождество, следовательно, найденное решение уравнения правильно.

- частное решение при

Ответ:  - общее решение уравнения.

 - частное решение при

Тестовые задания

1. Применяя таблицу интегралов и метод замены переменных, найти неопределённый интеграл  

А. , Б. , В. , Г. .

Ответ. А.  

. Применяя метод интегрирования по частям, найти неопределённый интеграл

А., Б. ,

В.  Г.

Ответ. А.

. Применяя метод интегрирования рациональных алгебраических функций, найти неопределённый интеграл

А. , Б.

В.  Г.

неопределенный интеграл дифференциальный

Ответ. Г.

. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

, .

А. 3/2; Б. 125/6; В. 9/2; Г. 9

. Вычислить

А. , Б. , В. , Г.

Ответ. В.

6. Выберите сходящийся ряд

А. , Б. , В. , Г.

Ответ. А. ,

7. Выберите абсолютно сходящийся ряд.

А. , Б. , В. , Г.

Ответ. Г.

. В точке  ряд

А. расходится, Б. сходится абсолютно, В. сходится условно, Г. может, как сходиться, так и расходиться.

Ответ. А. расходится

. При каком значении параметра  функция  является решением уравнения

А. , Б., В. , Г.

Ответ. А.

. Найти общее решение уравнения

А. , Б. , В., Г. .

Ответ. А.