Рассмотрим
основные методы интегрирования.
1) Использование свойств неопределенного интеграла.
Пример 1.
.
Здесь мы воспользовались свойствами неопределённого
интеграла:
, , где - константа,
табличными интегралами , .
2) Подведение под знак дифференциала.
Пример 2.
3) Метод замены переменной:
а) замена в интеграле :
,
где - функция, интегрируемая легче, чем
исходная; - функция, обратная функции ; - первообразная функции .
Пример 3.
б) замена в интеграле вида:
;
Пример 4.
Вычислим . Сделаем замену переменной: .
Тогда , откуда .
Подставляя в интеграл, получаем:
.
Пример 5.
Вычислим . Сделаем замену переменной: .
Тогда
,
откуда .
Подставляя в интеграл, получаем:
.
Здесь мы воспользовались свойством , (С - константа) неопределённого интеграла, а также табличным
интегралом и независимостью вида формулы
интегрирования от переменной.
4) Метод интегрирования по частям:
Пример 6.
Вычислим . Воспользуемся формулой интегрирования по частям, взяв , .
Тогда ,
.
.
Здесь мы применили свойство ( - константа) неопределённого интеграла, а
также табличные интегралы , и независимость вида формулы интегрирования от переменной.
Введём понятие определенного интеграла и рассмотрим его свойства.
Пусть на некотором интервале задана непрерывная функция . Построим ее график.
Фигура, ограниченная сверху кривой , слева и справа прямыми и снизу отрезком оси абсцисс между точками a и b, называется
криволинейной трапецией.- область - криволинейная трапеция.
Разделим интервал точками и получим:
Интегральная сумма: ,
Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что и произвольном выборе точек ei интегральная сумма стремится к пределу S, такой предел называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b] и
обозначается При этом а - нижний предел, b - верхний предел, х - переменная интегрирования, [a, b] - отрезок
интегрирования.
Если для функции f(x) существует предел то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].
Кроме того,
Свойства определенного интеграла:
1. Постоянный множитель можно выносить за знак
интеграла:
2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен
алгебраической сумме интегралов этих функций:
3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл
на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при
любых a, b, c :
. Если на отрезке , то и
. Пределы интегрирования можно менять местами, при этом
меняется знак интеграла:
. Интеграл в точке равен 0:
7. Пусть y = f(x) - функция, интегрируемая на [a, b]. Тогда , где , f(c) - среднее значение f(x) на [a, b]: (Теорема о среднем).
. Если m и M - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:
9. Формула Ньютона-Лейбница
, где F(x) - первообразная для f(x).
Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то
они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были
рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов. Особенностью
является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование
не только на подынтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя
переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы
интегрирования.
2. Вычисление интегралов от тригонометрических
функций
Таблица 2. Интегралы от тригонометрических функций
Интегралов от тригонометрических функций может быть
бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить
аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые
могут быть проинтегрированы всегда.
Интеграл вида вычисляются с помощью подстановки (универсальной тригонометрической подстановки). Эта подстановка
позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.
,
Таким образом:
Здесь R - обозначение некоторой рациональной
функции от переменных sinx и cosx.
3. Интегралы, зависящие от параметра
Список использованной литературы
1. Демидович,
Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - М.: Наука, 1972.
2. Зорич,
В.А. Математический анализ: в 2 т./ В.А. Зорич. - М.: Наука, 1984.
. Ильин,
В.А., Позняк Э.Г. Математический анализ. М.: Наука, 1999.
. Ковальчук
В.Е., Чалов П.А. Лекции по математическому анализу: Несобственные интегралы и
интегралы, зависящие от параметров. - Ростов-на-Дону, Южный федеральный ун-т,
2007. - 63 с.
. Кудрявцев,
Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 2000.
. Ляшко,
И.И. Боярчук, А.К. Гай, Я.Г. Головач, Г.П. Математический анализ: в 3 т. Т. 3.
Кратные и криволинейные интегралы/ И.И Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П.
Головач. - М.: Едиториал УРСС, 2001.
. Сборник
задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа
(под редекцией А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича). - Т.2. М.: Наука, 2004.
. Мышкис,
А.Д. Лекции по высшей математике. М.: Наука, 2003.
. Шерстнев,
А.Н. Конспект лекций по математическому анализу/ А.Н. Шерстнев. - М., 2003.