Электрическая сеть

Электрическая сеть

Содержание

Введение

. Теоретическое описание метода

. Расчет режимов электрической сети

.1 Исходные данные

.2 Схема замещения сети

.3 Определение узловых напряжений сети

. Текст программы

Список литературы

Введение

Методы линейных уравнений установившегося режима можно разделить на две группы: точные (или прямые) и итерационные (или приближенные).

Точными или прямыми методами называются такие, которые в предположении, что все вычисления ведутся точно (без округлений) позволяют получить точные значения неизвестных в результате конечного числа операций. Практически все вычисления ведутся с округлениями, поэтому и значения неизвестных, полученных точным методом, будут содержать погрешности. Точными методами являются метод Гаусса и решение линейных уравнений установившегося режима с помощью обратной матрицы.

Итерационными или приближенными методами называют такие, которые даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить решение системы уравнений лишь с заданной точностью. Точное решение системы в случае применения итерационных методов может быть получено теоретически как результат бесконечного итерационного процесса. Эти методы не всегда сходятся при решении линейных уравнений установившегося режима.

1. Теоретическое описание метода

Простая итерация и метод Зейделя - простейшие из итерационных методов. Рассмотрение простой итерации важно для понимания сути применения итерационных методов расчета установившихся режимов электрических систем.

Для определенности вначале ограничимся системой уравнений третьего порядка.

 (1.1)

где  - задающий ток -го узла, =1,2,3;

 - неизвестное узловое напряжение, т.е. напряжение между -м узлом и балансирующим, совпадающим с базисным по ;

 - (при ) - взаимная проводимость узлов  и ;

 - собственная проводимость узла . Взаимная проводимость узлов  и  равна взятой с обратным знаком сумме проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы.

Предполагая, что диагональные элементы , , разрешим первое уравнение системы (1.1) относительно , второе - относительно , а третье - относительно . Тогда получим систему, эквивалентную (1.1):

(1.2)

(1.3)

Зададим начальные приближения неизвестных . Подставляя их в первые части системы (1.2), получаем первые приближения . Вычисление первого приближения неизвестных соответствует первому шагу итерационного процесса. Полученные первые приближения могут быть таким же образом использованы для получения вторых, третьих и последующих приближений. Используя значения переменных, полученных на предыдущем, -м шаге, можно получить -е приближение неизвестных:

(1.4)

Введем матрицу и вектор-столбцы:

, , .

Диагональные элементы матрицы  равны нулю, т.е. , а недиагональные элементы (т.е.  при ) совпадают с коэффициентами систем (1.2) и (1.4). Учитывая правило умножения и сложения матриц, систему (1.2) можно записать в матричной форме:

(1.5)

Аналогично итерационное выражение (1.4) можно записать в матричном виде:

(1.6)

Элементы матрицы - безразмерные величины, а элементы вектора  имеют размерность напряжений.

Итерационный процесс, определяемый выражениями (1.4) и (1.6), называется простой итерацией.

Метод Зейделя представляет собой незначительную модификацию простой итерации. Основная его идея в отличие от простой итерации заключается в том, что найденное (i+1)-е приближение (k-1)-го напряжения сразу же используется для вычисления следующего, k-го напряжения. Т.е. полученное (i+1)-е значение напряжения сразу же используется для вычисления (i+1)-го значения напряжений.

Для сети переменного тока комплексные уравнения узловых напряжений представляются в виде системы действительных уравнений. Затем к полученной системе действительных уравнений применяется метод Зейделя.

(1.7)

По методу простой итерации -е приближение -го напряжения  для системы n-го порядка вычисляется по следующему выражению:

(1.8)

По методу Зейделя -е приближение k-го напряжения  вычисляется так:

(1.9)

2. Расчет режимов электрической сети

.1 Исходные данные

Дана схема электрической сети (вариант 2), состоящей из четырех узлов (рис.2.1). Данные проводов представлены в табл.2.1. Нужно найти узловые напряжения методом Зейделя.

Рисунок 2.1- Схема электрической сети

Таблица 2.1 - Данные проводов

.2 Схема замещения сети

Рис.2.2 Схема замещения

Составим уравнения узловых напряжений в виде (2.1) и (2.2) для электрической сети, схема замещения которой приведена на рис.2.2.

где  и  - вектор-столбцы, имеющие вид, аналогичный (2.4);  - активная и реактивная взаимные проводимости узлов -го и балансирующего.

При задании нагрузки постоянной мощностью, ток вычисляется по формуле:

(2.4)

В схеме на рисунке 2.2 - четыре линии электропередачи, узел 1 - генераторный, 2, 3 и 4 - нагрузочные узлы. Сопротивления линий следующие:

 Ом;

 Ом;

 Ом;

Узел 1 принят в качестве балансирующего и базисного, напряжение кВ. В узлах 2, 3 и 4 мощности задаются вводом с клавиатуры, в данном случае они приняты равными 10Вт и -10ВАр для Р и Q соответственно.

По заданным сопротивлениям ветвей вычисляем их проводимости, Ом^-1, по формулам:

(2.5)

Матрица для четырехузловой сети:

(2.6)

Для схемы на рисунке 2.2 матрица проводимостей:

Вектор узловых напряжений:

 (2.7)

Запишем систему уравнений установившегося режима, сформировав матрицу коэффициентов следующим образом:

 (2.8)

Такое формирование матрицы удобно с точки зрения решения полученных уравнений итерационными методами, сходимость которых улучшается, если диагональные элементы доминируют, т.е. по абсолютной величине больше всех остальных элементов в строке.

В этом случае уравнение запишется в виде:

 (2.9)

Запишем систему узловых напряжений в виде:

 (2.10)

Перемножаем матрицы:

  (2.11)

Если подставить значения активных и реактивных составляющих проводимостей, узловых токов и базисного напряжения, то получим в матричном виде:

Принимаем начальное приближение узловых напряжений:

Первые приближения  и определим решая систему уравнений.

Расчет произведен на ЭВМ. Расчет произведен с заданной точностью по напряжениям  кВ.

Результат 1-й итерации:

Ответ получен на 16-й итерации:

3. Текст программы

электрический сеть напряжение матрица

Список литературы

1.       Мельников Н.А. Электроэнергетические системы и сети. Учеб. Пособие для электроэнергетических специальностей вузов. Изд. 2-е. М.: Энергия, 1975.

2.      Электротехнический сравочник: в 3 т. Под общей редакцией И.Н. Орлова (гл. ред.) и др. 7-е изд., испр. и доп. - М.: Энергоатомиздат, 1985.

. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учеб. Пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989.

. Идельчик В.И. Электрические системы и сети: Учебник для вузов, М. Энергоиздат, 1989.