Математические основы финансов

Математические основы финансов

Математические основы финансов

План

I. Понятие временной стоимости денег

II. Базовые понятия финансовой математики

2.1 Антисипативный и декурсивный методы начисления процентных ставок

2.2 Эквивалентность процентных ставок

2.3 Учет инфляционного обесценения денег

2.4 Аннуитеты

2.5 Дивиденды и проценты по ценным бумагам. Доходность по операциям с ценными бумагами

Литература

I. Понятие временной стоимости денег

стоимость процентный ставка доходность

Временная стоимость денег (англ. time value of money) - одно из самых важнейших понятий в финансах. Отцом понятия является Леонардо Фибоначчи; разработал он его в 1202 году. Временная стоимость денег гласит, что деньги должны приносить прибыль; таким образом сумма сейчас стоит больше, чем эта же сумма потом, т.к. вложенная сейчас сумма принесет прибыль потом.

Для того чтобы лучше понять временную стоимость проведем несложные расчеты:

Возьмем к примеру два человека: Серик и Берик. Исходная сумма (англ. present value) составит 5 000 $. Серик решил взять эти деньги потом, через пять лет, А Берик сейчас и положил их допустим на депозит под 12% годовых, допустим, под простую ставку. Посчитаем реальную стоимость денег Серика на данный момент с учетом того, что он решил взять деньги через пять лет. Конечно, в нашем примере, мы можем посчитать лишь виртуальную исходную сумму Серика, т.к. сейчас он ничего не получал. Но вычисление исходной суммы (пусть и виртуальной) позволит нам понять, сколько Серик получил бы сейчас, если бы он был мудрым, как Берик, чтобы получить в конце периода наращенную сумму в 5000. Иными словами, сколько надо иметь сейчас, чтобы вложить и через пять лет получить 5000? Годовая процентная ставка в нашем примере неизменна и составляет 12%.

= 5000/(1+0,12·5) = 5000/1,6 = 3125

Таким образом, получается, что выбор второго варианта (сумма потом) просто равен получению 3125 сейчас. Теперь главный вопрос: что лучше, 3125 сейчас или 5000 потом? То есть взять 5000 потом, это то же самое, что взять 3125 сейчас. И это даже с учетом того, что мы не учитываем инфляцию.. Базовые понятия финансовой математики

Проценты - доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты), либо от инвестиций производственного или финансового характера.

Процентная ставка - величина, характеризующая интенсивность начисления процентов.

Наращение первоначальной суммы долга - это увеличение суммы долга за счет присоединения начисленных процентов (дохода).

Множитель (коэффициент) наращения - величина, показывающая, во сколько раз вырос первоначальный капитал.

Период начисления - промежуток времени, за который начисляют проценты (получается доход).

Интервал начисления - минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.

Декурсивный метод начисления (ссудный процент) - проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Ссудный процент представляет собой отношение начисленной суммы за определенный интервал к сумме, имеющейся на начало данного интервала.

Антисипативный способ начисления (учетная ставка) - проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Учетная ставка представляет собой отношение суммы дохода, выплачиваемого за определенный интервал начисления к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала.

Простая процентная ставка - процентная ставка применяется к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления.

Сложная процентная ставка - по прошествии каждого интервала начисления в следующем интервале проценты начисляются к сумме долга и начисленных за предыдущие интервалы процентов.

Возьмем для понимания декурсивный метод начисления по простой ставке. Допустим, взят кредит на сумму 10 000 $, на срок 36 месяцев, при простой годовой ссудной ставке 10%.

То есть S= 10000*(1+3*0,1) = 10000* 1,3=13000

Проценты это разница между вложенным капиталом и наращенной суммой - 3000

Процентная ставка - 10%

Наращение первоначальной суммы 13 000

Коэффициент наращения 1,3

Период - 36 месяцев

Интервал начисления - 1 год

2.1 Антисипативный и декурсивный методы начисления процентных ставок

ДЕКУРСИВНАЯ              

В случае если на разных интервалах начисления применяются различные процентные ставки, то используется следующая формула:

В конце первого интервала:

В конце первого интервала:

 и т.д.,

следовательно, общая сумма процентного дохода будет равна:

И наращенная сумма будет составлять:

При начислении сложной ссудной ставки используется принцип начисления на сумму долга+проценты начисленные в предыдущих интервалах, или иными словами начисления «процентов на проценты»:

 (в первый год)

(во второй год)

(в третий год)

и т.д.

В конце периода начисления наращенная сумма составит:

Или при интервале начисления отличным от года(квартал, месяц, день):

При непрерывном наращивании процентов, то есть когда m стремится к бесконечности (срок неограничен), а продолжительность интервала начисления стремится к нулю, т.е. интервал начисления неограничен:

В случае если процентные ставки разные в различные интервалы начисления, то:

на первом интервале начисления;

 на втором интервале; и т.д.

тогда наращенная сумма на конец периода составит::

  Операция дисконтирования

Коэффициент наращения

Определение срока (периода )

Для нахождения неизвестной данной находящейся в степени находим натуральные логарифмы:

или в случае сложной ставки с интервалом начисления отличным от года:

в случае сложной ставки с интервалом начисления отличным от года:

  ;

где «» фактически получаемая сумма, а «» дисконт взимаемый в самом начале интервала, тогда:

При начислении сложной учетной ставки так же используется принцип начисления на сумму долга+проценты, начисленные в предыдущих интервалах, или иными словами, начисления «процентов на проценты»:

по прошествии первого интервала;

по прошествии второго интервала;

и т.д.

аналогично случаю сложных ссудных процентов наращенная сумма на конец периода составит:

И в случае интервала начисления отличного от года:

  Коэффициент наращения

-коэффициент дисконтирования;

в случае если число интервалов начисления не представляет собой точное число:

Для нахождения неизвестной данной находящейся в степени находим натуральные логарифмы:

В случае интервала начисления отличным от года:

Избавляемся от степени путем возведения обеих частей в  ;

Или в случае интервала начисления отличным от года аналогично:

        - относительная величина ссудной ставки %

      - относительная величина учетной ставки %

       - период начисления

      - интервал начисления

  - общая сумма процентных денег на период начисления

      - первоначальный капитал/денежная сумма

      - наращенная сумма

      - коэффициент наращения

   - номинальная годовая ставка

.2 Эквивалентность процентных ставок

Эквивалентные процентные ставки - это такие процентные ставки разного вида, использование которых дают одинаковые финансовые результаты при одинаковых начальных условиях.

) Эквивалентность простых учетных и ссудных ставок

При условии одинаковых условий, т.е. срока, первоначальной суммы, эквивалентная процентная ставка определяется:

В случае определения эквивалентной учетной ставки:

) Эквивалентность простых и сложных ссудных ставок

В случае если дана простая ссудная ставка, а необходимо определить эквивалентную ей сложную учетную ставку, то:

В том случае, если интервал начисления по сложной ссудной ставке отличен от года, то простая ссудная ставка определяется следующим образом:

В случае противоположном этому, когда дана простая ссудная ставка процентов, а необходимо определить эквивалентную ей сложную ссудную ставку с интервалом начисления отличным от года, то используется следующее уравнение эквивалентности:

3) Если необходимо определить сложную ссудную ставка с интервалом начисления в 1 год, эквивалентную сложной ссудной ставке, но с иным интервалом начисления, отличным от года, то используется следующее уравнение эквивалентности:

Данная ставка именуется эффективной ставкой сложных процентов.

) Эквивалентность сложных учетной и ссудной ставки

При определении данной сложной учетной ставки эквивалентная сложная ссудная ставка будет определяться как:

Возводим обе части уравнения в :

В ином случае, когда дана сложная ссудная ставка процентов, а необходимо определить эквивалентную ей сложную учетную ставку процентов, то используется следующая формула:

5) Уравнивающая ставка. Рассмотрим случай, когда нам нужно определить что выгодней заплатить большую сумму, но позже, или меньшую сумму, но раньше. Т.е. при условии, что  и , необходимо узнать что выгодней нам, заплатить  через , или заплатить меньшую сумму , но раньше, через  . Т.е. для принятия такого решения, нужно определить современные величины этих значений. И в таких случаях определяется уравнивающая ставка, которая выражает тот случай, когда современные величины обоих значений совпадут т.е. :

;

Тогда определим уравнивающую ставку, удовлетворяющую условию :

т.е. при всех , или сложной ставке меньшей, чем уравнивающая, будет выгодней взять меньшую сумму на меньший срок, а в случае  следует использовать вариант с большей суммой и на больший срок.

2.3 Учет инфляционного обесценения денег

Темп инфляции

Наращенная сумма с учетом инфляции будет равна:

Индекс инфляции

 в случае, если период начисления нецелое число;

 в случае, если задан уровень инфляции за интервал меньше года.

Формула Фишера:

Значение  является величиной, которую необходимо прибавить к реальной ставке доходности для компенсации инфляционных потерь.

Ссудные ставки с учетом инфляции

Простая ссудная ставка с учетом инфляции:

Сложная ссудная ставка процентов с погодичным интервалом начисления с учетом инфляции:

Сложная ссудная ставка процентов с интервалом начисления, отличным от года, с учетом инфляции:

Учетные ставки с учетом инфляции

Простая учетная ставка с учетом инфляции:

Сложная учетная ставка процентов с погодичным интервалом начисления с учетом инфляции:

Сложная учетная ставка процентов с интервалом начисления, отличным от года, с учетом инфляции:

.4 Аннуитеты

Аннуитет (финансовая рента) - поток однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течение определенного количества лет.

Аннуитет постнумерандо (обыкновенный) - платежи осуществляются в конце интервалов

Наращенная сумма всего аннуитета:

Сумма первого платежа, на который будут начисляться проценты, составит:

;

Для второго платежа проценты будут начисляться на один год меньше:

; и т.д.

На последний платеж, произведенный в конце n-го года, проценты уже не начисляются:

; тогда общая наращенная сумма будет составлять сумму всех платежей :

 т.е.:

Используем математическую формулу для суммы членов геометрической прогрессии:

Где  сумма членов геометрической прогрессии или общее количество платежей, первый член прогрессии , а , тогда:

Т.е. коэффициент наращения для аннуитета постнумерандо составляет:

Современное значение каждого платежа

Следовательно, современная величина всего аннуитета:

Снова используем формулу определения суммы членов геометрической прогрессии:

;

То есть современная величина всего аннуитета  составит

Определим взаимосвязь наращенной и современной сумм аннуитета:

Определение размера очередного платежа:

Срок аннуитета:

Для определения аннуитета пренумерандо нужно формулы наращенной суммы или современной стоимости аннуитета постнумерандо умножать на :

Коэффициент наращения для аннуитета пренумерандо составит:

И соответственно коэффициент приведения для аннуитета пренумерандо:

Каждая современная величина аннуитета пренумерандо  будет больше на , т.к. дисконтирование аннуитета постнумерандо по заданной ставке  проводиться на один раз меньше, чем у аннуитета пренумерандо. Т.е. современная величина всего аннуитета пренумерандо составит:

Вечные аннуитеты (когда срок аннуитета  не ограничен):

Постнумерандо:

Пренумерандо:

При увеличении аннуитета с каждым интервалом на определенную величину ,

т.е. платежи представят собой следующий ряд:

Наращенная сумма всего аннуитета тогда составит:

Умножим обе части на

Видно, что часть равенства представляет собой сумму членов геометрической прогрессии, где  отсюда мы получаем:

Найдем современное значение аннуитета А:

,

Умножим обе части на , тогда получим:

Т.е. верна формула взаимосвязи наращенной и современной сумм аннуитета:

, откуда:

Конверсия аннуитетов, т.е. изменение начальных параметров аннуитета, после которого новый аннуитет был бы эквивалентен данному, то есть их современные величины равны к одному и тому же моменту времени:

, тогда:

.5 Дивиденды и проценты по ценным бумагам. Доходность по операциям с ценными бумагами

Долговые ценные бумаги обычно имеют фиксированную процентную ставку и являются обязательством выполнить полную сумму долга с процентами на определенную дату в будущем. По дисконтным долговым ценным бумагам доход представляет собой скидку с номинала.

Долевые ценные бумаги представляют собой непосредственную долю держателя в реальной собственности и обеспечивают получение дивиденда в неограниченное время

Расчет доходности по облигациям:

Курс облигаций:

Доход по облигации

Ссудная ставка, эквивалентная доходу по облигациям:

Расчет доходности по акциям

Валовый доход от покупки акций

 который состоит из:

Доход от дивидендов: (срок * величина дивидендов * номинал)

-разница между покупной и продажной ценами акции

Ссудная ставка, эквивалентная доходу от акции

Литература

1.      Андрюшин С., Кузнецова В. Приоритеты денежно-кредитной политики центральных банков в новых условиях // Вопросы экономики. - 2011. - № 6. - С. 57 - 59.

.        Ануреев С.В. Денежно-кредитная политика, диспропорции и кризисы. - М.: Кнорус, 2009. - 448 с.

.        Баликоев В.З. Общая экономическая теория. - М.: Омега-Л, 2011. - 688 с.

.        Гусейнов Р.М., Семенихина В.А. Экономическая теория. - М.: Омега-Л, 2009. - 448 с.

.        Жученко О.А. Инструменты денежно-кредитной политики и их использование // Вестник государственного гуманитарного университета. - 2009. - № 3. - С. 65 - 73.

.        Коршунов Д.А. О построении модели общего равновесия для экономики России // Деньги и кредит. - 2011. - № 2. - С. 56 - 67.

.        Криворотова Н.Ф., Урядова Т.Н. Актуальные проблемы денежно-кредитной политики России // Terra Economicus. - 2012. - № 3. - С. 24 - 26.

.        Лукша Н. Инфляция и денежно-кредитная политика // Экономико-политическая ситуация в России. - 2012. - № 12. - С. 9 - 11.

.        Малхасян А.М. Направления совершенствования денежно-кредитной политики Российской Федерации // Финансы и кредит. - 2012. - № 43. - С. 51 - 62.

.        Матовников М.Ю. К вопросу об инструментах денежно-кредитной политики // Деньги и кредит. - 2012. - № 1. - С. 32 - 34.

.        Милюков А.И., Пенкин С.А. Денежно-кредитная политика как фактор роста российской экономики // Банковское дело. - 2011. - № 9. - С. 21 - 24.

.        Улюкаев А.В. Новые вызовы денежно-кредитной политики // Деньги и кредит. - 2012. - № 11. - С. 3 - 5.

.        Экономическая теория / Под ред. В.Д. Камаева. - М.: Владос, 2007. - 592 с.

.        Экономическая теория / Под ред. Е.Н. Лобачевой. - М.: Юрайт, 2011. - 522 с.