)
ïðèâîäèò ê
ñèñòåìå,
ðàâíîñèëüíîé
èñõîäíîé
ñèñòåìå (1).
Òàê êàê
îòíîøåíèå
ðàâíосильности транзитивно, то многократное применение элементарных
преобразований приводит к системе уравнений, равносильной исходной системе (1).
А, теперь используя эту теорему, перейдем к решению систем линейных
уравнений методом последовательного исключения переменных как это сделано у
Куликова Л.Я.
Пусть дана система линейных уравнений
…………………………
Пусть А= и В=
Ведущим элементом строки матрицы называется первый (считая слева направо)
ненулевой элемент строки. Столбец матрицы называется основным, если он содержит
ведущий элемент какой-либо строки матрицы.
Определение. Элементарные преобразования над системой строк (столбцов)
матрицы называются элементарными преобразованиями матрицы. Две матрицы называются
строчечно-эквивалентными, если одна получается из другой при помощи цепочки
элементарных преобразований над строками.
Определение. Матрица А называется ступенчатой, если она удовлетворяет
условиям:
1. Нулевые строки матрицы (если они есть) расположены ниже всех
ненулевых строк;
2. Если ведущие элементы ненулевых строк матрицы, то .
Примеры ступенчатых матриц:1) нулевая матрица, 2)однострочная матрица, 3)
единичная матрица, 4) верхнетреугольная матрица.
Система линейных уравнений называется ступенчатой, если расширенная
матрица системы есть ступенчатая матрица без нулевых строк. Система линейных
уравнений называется приведенной ступенчатой, если расширенная матрица системы
есть приведенная ступенчатая матрица.
Если B нулевая матрица, то любой n-мерный вектор является решением
системы (1). Если же Aнулевая,
а В ненулевая, то система уравнений (1) несовместна.
Предположим, что матрица A
ненулевая. Тогда систему уравнений (1) можно при помощи элементарных
преобразований привести к ступенчатой системе, а затем к приведенной
ступенчатой системе, причем эти системы будут равносильны исходной системе (1).
При помощи цепочки элементарных преобразований приведем систему уравнений (1) к
ступенчатому виду без нулевых строк. Если последнее уравнение полученной
системы имеет вид
, где
то полученная ступенчатая система уравнений несовместна и, следовательно,
несовместна равносильная ей исходная система уравнений (1). Если же в левой
части последнего уравнения полученной ступенчатой системы есть коэффициенты,
отличные от нуля, то полученная ступенчатая система имеет вид
(2)
где коэффициенты , , отличны от нуля. Система (2) совместна и равносильна
исходной системе(1).
От ступенчатой системы (2) при помощи цепочки элементарных преобразований
переходим к ступенчатой системе уравнений
(3)
Система (3) совместна и равносильна исходной системе уравнений (1). Если
при этом , то система уравнений (3) (и система
(1)) имеет единственное решение ().Если же ,то система (3) равносильна системе
(4)
……………………………………
Уравнения системы (4) дают явное выражение переменных ,называемых главными, через переменные
, называемые свободными. Придавая в
уравнениях (4) свободным переменным любые значения из поля скаляров, находим
соответствующие значения главных переменных. Таким образом, можно получить
любое частное решение исходной системы уравнений (1), поскольку она равносильна
системе (4). Поэтому вектор
(,,) (5)
называется общим решением системы уравнений (1). Вектор (5) можно
записать в виде
(6)
где , и частное решение системы (1). Вектор (6) также называется
общим решением системы (1).
Множество является множеством всех решений системы (1)
У А.И.Кострикина этот метод решения называется методом Гаусса. И мы
привыкли в университете называть его методом Гаусса или методом
последовательного исключения переменных, причем многие отождествляют эти два
способа. Они очень похожи, но в то же время имеют отличие. Рассмотрим ход
решения у А.И.Кострикина, а затем сравним его с решением выше. В начале решения
ход его действий такой же, как и у Куликова Л.Я., т.е. он путем
последовательного применения элементарных преобразований переходит к системе
ступенчатого вида, которая эквивалентна исходной. Затем получает главные и
свободные неизвестные, а дальше поднимаясь снизу вверх, получает, что значения
для главных неизвестных определяются однозначно при любых заданных значениях
для свободных неизвестных.
Таким образом, метод, который использует А.И.Кострикин, является
объединением двух методов: первая часть решения - это метод последовательного
исключения переменных, а вторая - это метод подстановки. Куликов Л.Я.
использует метод последовательного исключения переменных и не использует метод
подстановки.
В школе используется метод как у А.И.Кострикина. И, к сожалению, пока
остается невыяснен вопрос, каким методом решает система MathCAD.
Применим указанный выше метод на конкретном примере.
Пример 1.1
Решить систему линейных уравнений:
В институте любой студент начнет ее решать, записав матрицу, которую
приведет к ступенчатому виду, но в школе дети не знают, что такое матрица и поэтому
их нужно научить приводить к ступенчатому виду всю систему, то есть применить
метод последовательного исключения неизвестных.
Первый шаг. Первое уравнение оставляем без изменений, просто
переписываем, а во всех других должны исключить переменную . Ко второму прибавляем первое
уравнение, умноженное на (-3). Третье оставляем тоже без изменений, так как
коэффициент при равен нулю. К четвертому прибавляем первое, умноженное на
(-5). Получим систему равносильную данной:
Второй шаг. Первое и второе уравнения оставляем без изменений, просто
переписываем. К третьему прибавляем второе уравнение, к четвертому прибавляем
также второе уравнение, умноженное на (-1). Получили систему равносильную
данной:
Третий шаг. Получили систему ступенчатого вида. Выделяем главные
неизвестные, указываем свободные. Главные неизвестные - , ; свободные - , , . Выражаем главные неизвестные через
свободные. Это процесс осуществляем, рассматривая уравнения снизу вверх, т.е.
используем теперь метод подстановки (как у Кострикина А.И.):
Получили множество решений
В следующем пункте 1.2 мы рассмотрим, как этот же пример решает система MathCAD. И узнаем, какое же множество
решений у нас получится.
А теперь рассмотрим очень важное понятие ранг, которое в школьных
учебниках в явном виде не рассматривается, но на этом понятие основывается
теория несовместимости систем линейных уравнений.
Определение. Строчечным рангом матрицы называется ранг системы ее строк , рассматриваемых как - -мерные векторы над полем Р. Столбцовым
рангом матрицы называется ранг ее системы ее столбцов , рассматриваемых как -мерные векторы над полем Р.
Далее доказываются следующие теоремы:
Теорема. Строчечный ранг матрицы равен ее столбцовому рангу.
Теорема. Пусть А и В - соответственно основная и расширенная матрицы
системы линейных уравнений (1). Равносильны следующие утверждения:
I. Система линейных уравнений (1) совместна.
II. Уравнение имеет решение над полем Р, где - столбец свободных членов, - вектор-столбец матрицы А.. Вектор
есть линейная комбинация столбцов
матрицы А.. Столбцовые (строчечные) ранги матриц А и В равны, .
Теорема Кронекера - Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и
только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.
Следствие из этой теоремы: если ранг основной матрицы системы линейных
уравнений равен числу уравнений системы, то система уравнений совместна.
.2 Èíôîðìàöèîííûå
îñíîâû èññëåäîâàíèÿ.
Ñèñòåìà êîìïüþòåðíîé
ìàòåìàòèêè MathCAD
Îäíîé èç îñíîâíûõ
îáëàñòåé ïðèìåíåíèÿ
ÏÊ ÿâëÿþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèå
è íàó÷íî-òåõíè÷åñêèå
ðàñ÷åòû. Çà ïîñëåäíåå
âðåìÿ ìû ñòàëè
ñâèäåòåëÿìè
ïîÿâëåíèÿ íîâîãî
àêòóàëüíîãî,
ïðàêòè÷åñêè
ïîëåçíîãî è ïðîñòî
óâëåêàòåëüíîãî
íàó÷íîãî íàïðàâëåíèÿ
- êîìïüþòåðíîé
ìàòåìàòèêè.
Åå ìîæíî îïðåäåëèòü
êàê ñîâîêóïíîñòü
òåîðåòè÷åñêèõ,
ìåòîäè÷åñêèõ,
àïïàðàòíûõ è
ïðîãðàììíûõ ñðåäñòâ,
â ñîâîêóïíîñòè
îáåñïå÷èâàþùèõ
ýôôåêòèâíîå
àâòîìàòè÷åñêîå
è äèàëîãîâîå
âûïîëíåíèå ñ
ïîìîùüþ êîìïüþòåðîâ
âñåõ âèäîâ, ìàòåìàòè÷åñêèõ
âû÷èñëåíèé ñ
âûñîêîé ñòåïåíüþ
èõ âèçóàëèçàöèè.
Ê ñèñòåìàì êîìïüþòåðíîé
ìàòåìàòèêè îòíîñÿòñÿ
Derive, MuPAD, MathCAD, Mathematica, Maple V è Matlab.
Ýòî áóðíî ðàçâèâàþùèéñÿ
êëàññ ìàòåìàòè÷åñêèõ
ñèñòåì, êîòîðûé
ñ ðàâíûì óñïåõîì
ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ
â îáðàçîâàíèè
è â ñôåðå íàó÷íîé
äåÿòåëüíîñòè.
Øèðîêóþ èçâåñòíîñòü
è çàñëóæåííóþ
ïîïóëÿðíîñòü
â ñåðåäèíå 80-õ ãîäîâ
ïðèîáðåëè èíòåãðèðîâàííûå
ñèñòåìû äëÿ àâòîìàòèçàöèè
ìàòåìàòè÷åñêèõ
ðàñ÷åòîâ êëàññà
MathCAD, ðàçðàáîòàííûå
ôèðìîé MathSoft (ÑØÀ).
Íàçâàíèå ñèñòåìû
ïðîèñõîäèò îò
äâóõ ñëîâ - MATHematic (ìàòåìàòèêà)
è CAD (Computer Aided Design - ñèñòåìû
àâòîìàòè÷åñêîãî
ïðîåêòèðîâàíèÿ,
èëè ÑÀÏÐ). Ïî ñåé
äåíü, îíè îñòàþòñÿ
åäèíñòâåííûìè
ìàòåìàòè÷åñêèìè
ïàêåòàìè, â êîòîðûõ
îïèñàíèå ðåøåíèÿ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
çàäà÷ äàåòñÿ
ñ ïîìîùüþ ïðèâû÷íûõ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
ôîðìóë è çíàêîâ.
Òàêîé æå âèä èìåþò
è ðåçóëüòàòû
âû÷èñëåíèé. MathCAD ïîçâîëÿåò
âûïîëíÿòü êàê
÷èñëåííûå, òàê
è àíàëèòè÷åñêèå
(ñèìâîëüíûå) âû÷èñëåíèÿ,
èìååò ÷ðåçâû÷àéíî
óäîáíûé ìàòåìàòèêî-îðèåíòèðîâàííûé
èíòåðôåéñ è ïðåêðàñíûå
ñðåäñòâà íàó÷íîé
ãðàôèêè. Èìåííî
ïîýòîìó MathCAD ëó÷øå âñåãî
ïîäõîäèò äëÿ ïðèìåíåíèÿ
åãî â øêîëüíîì
ïðîôèëüíîì îáðàçîâàíèè.
Ñèñòåìà MathCAD ñóùåñòâóåò
â íåñêîëüêèõ
îñíîâíûõ âàðèàíòàõ:
· MathCAD Standard - èäåàëüíàÿ
ñèñòåìà äëÿ ïîâñåäíåâíûõ
òåõíè÷åñêèõ
âû÷èñëåíèé. Ïðåäíàçíà÷åíà
äëÿ ìàññîâîé
àóäèòîðèè è øèðîêîãî
èñïîëüçîâàíèÿ
â ó÷åáíîì ïðîöåññå;
· MathCAD Professional - ïðîìûøëåííûé
ñòàíäàðò ïðèêëàäíîãî
èñïîëüçîâàíèÿ
ìàòåìàòèêè â
òåõíè÷åñêèõ
ïðèëîæåíèÿõ. Îðèåíòèðîâàíà
íà ìàòåìàòèêîâ
è íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ,
ïðîâîäÿùèõ ñëîæíûå
è òðóäîåìêèå
ðàñ÷åòû.
 MathCAD î÷åíü óäîáíûé
è ïðèâû÷íûé äëÿ
ïîëüçîâàòåëÿ
èíòåðôåéñ:
Ðèñóíîê 1.2.1
Ñòðîêà çàäà÷
ñòàíäàðòíàÿ,
êàê è âî âñåõ ïðîãðàììàõ
è ïðèëîæåíèÿõ
Windows, ïîíÿòíàÿ
ïàíåëü èíñòðóìåíòîâ.
Ñóùåñòâóþò
ðàçëè÷íûå âîçìîæíîñòè
MathCAD äëÿ ðåøåíèÿ
çàäà÷:
1. Èñïîëüçîâàíèå
ãëàâíîãî ìåíþ.
2. Ñ ïîìîùüþ ìàòåìàòè÷åñêîé
ïàíåëè.
. Âñå ââîäèòü
ñ êëàâèàòóðû
 íàøå âðåìÿ
îñòàëîñü î÷åíü
ìàëî ëþäåé, êòî
áû íè ðàáîòàë,
ñ êàêèì òî íå
áûëî ïðèëîæåíèÿìè
Windows, ïîýòîìó
ðàçîáðàòüñÿ, êàê
ðàáîòàòü â ñèñòåìå
MathCAD íå ñîñòàâèò
îñîáîãî òðóäà.
Íî ÷òîáû ïðàâèëüíî,
áåç îøèáîê è áîëåå
ãëóáîêî ïîíÿòü,
êàê ðàáîòàåò
ñèñòåìà, êîíå÷íî
æå, íóæíû ó÷åáíûå
ïîñîáèÿ. À òî ïîëó÷àåòñÿ,
÷òî ñèñòåìà
åñòü, à ó÷åáíèêîâ
ê íåé íåò.
Ðåøåíèå ñèñòåì
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.
Ìàêñèìàëüíîå
÷èñëî óðàâíåíèé
è ïåðåìåííûõ
îêîëî 50. Ðåçóëüòàòîì
ðåøåíèÿ ñèñòåìû
áóäåò ÷èñëåííîå
çíà÷åíèå èñêîìîãî
êîðíÿ.
Äëÿ ðåøåíèÿ ñîâìåñòíûõ
ñèñòåì ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé ñëåäóåò
èñïîëüçîâàòü
ïðîãðàììû ñèìâîëüíîé
ìàòåìàòèêè,
ïîñêîëüêó ñèñòåìà
óðàâíåíèé ìîæåò
èìåòü íååäèíñòâåííîå
ðåøåíèå, ãëàâíûå
íåèçâåñòíûå
âûðàæàþòñÿ â
ñèìâîëüíîì âèäå
÷åðåç ñâîáîäíûå
íåèçâåñòíûå.
Äëÿ ðåøåíèÿ ñîâìåñòíûõ
ñèñòåì ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé íåîáõîäèìî
èñïîëüçîâàòü
áëîê, âêëþ÷àþùèé
êëþ÷åâîå ñëîâî
Given è âñòðîåííóþ
ôóíêöèþ find.
Äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû
óðàâíåíèé íåîáõîäèìî
âûïîëíèòü ñëåäóþùåå:
1. Íàïå÷àòàòü
êëþ÷åâîå ñëîâî
Given. Îíî óêàçûâàåò
MathCAD, ÷òî äàëåå
ñëåäóåò ñèñòåìà
óðàâíåíèé.
2. Ââåñòè óðàâíåíèÿ
â ëþáîì ïîðÿäêå.
Èñïîëüçóéòå
[Ctrl]= äëÿ ïå÷àòè ñèìâîëà
=.
3. Ââåñòè ëþáîå
âûðàæåíèå, êîòîðîå
âêëþ÷àåò ôóíêöèþ
Find, íàïðèìåð: à:= Find(õ,ó).
4. Çàòåì íàïå÷àòàéòå
çíàê ñèìâîëüíîãî
îïåðàòîðà ().
Ðåøåíèå áóäåò
ïðåäñòàâëåíî
â âèäå ñòîëáöà-âåêòîðà,
â êîòîðîì óêàçàíî,
êàê ãëàâíûå íåèçâåñòíûå
ñèñòåìû óðàâíåíèé
âûðàæàþòñÿ ÷åðåç
ñâîáîäíûå íåèçâåñòíûå.
Êëþ÷åâîå ñëîâî
Given, óðàâíåíèÿ,
êîòîðûå ñëåäóþò
çà íèì, è êàêîå
- ëèáî âûðàæåíèå,
ñîäåðæàùåå ôóíêöèþ
Find, íàçûâàþò
áëîêîì ðåøåíèÿ
óðàâíåíèé.
Áëîêè ðåøåíèÿ
óðàâíåíèé íå
ìîãóò áûòü âëîæåíû
äðóã â äðóãà, êàæäûé
áëîê ìîæåò èìåòü
òîëüêî îäíî êëþ÷åâîå
ñëîâî Given è
èìÿ ôóíêöèè Find.
Ìû ðåøèëè òó
æå ñèñòåìó óðàâíåíèé,
÷òî è â ïóíêòå
1.1 òîëüêî ñ ïîìîùüþ
ñèñòåìû MathCAD (ðèñóíîê
1.2.2).
Ðèñóíîê 1.2.2.
Ïîëó÷èëè òàêîå
æå ìíîæåñòâî
ðåøåíèé, êàê è
ïðè ðåøåíèè âðó÷íóþ
â ïðåäûäóùåì ïóíêòå.
Ñêåïòèêè ìîãó
ñêàçàòü, ÷òî ðåøàòü
â ñèñòåìå MathCAD ìîæíî
è, íå çíàÿ òåîðèè,
à, ïðîñòî çíàÿ
àëãîðèòì ââåäåíèÿ
÷èñåë è áóêâ íà
êîìïüþòåðå, ò.å.
ðåøåíèå ñâîäèòñÿ
ê ïðîñòîìó íàæàòèþ
êíîïîê. Íî ýòî
ëèøü òàê, êàæåòñÿ,
íà ñàìîì äåëå
âñå íå òàê ïðîñòî,
è åñëè ÷åëîâåê
íå óìååò ðåøàòü
ñèñòåìû ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé âðó÷íóþ,
ñàìîñòîÿòåëüíî,
òî îí íå ñìîæåò
èõ ðåøèòü è â ñèñòåìå
êîìïüþòåðíîé
ìàòåìàòèêè
MathCAD. Îí ìîæåò
ñòîëêíóòüñÿ
ñ ðÿäîì òðóäíîñòåé.
Ðàññìîòðèì
ñëåäóþùèé ïðèìåð:
Ïðèìåð 1.2.
Ðåøèòü ñèñòåìó
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé:
Ðåøåíèå îñóùåñòâëÿåì
òî÷íî òàêæå êàê
è â ïðèìåðå 1.1., ò.å.
ïðèâîäèì ñèñòåìó
ê ñòóïåí÷àòîìó
âèäó.
 èòîãå ïîëó÷èëè
ñèñòåìó âèäà:
Ãëàâíûå íåèçâåñòíûå
- , , ñâîáîäíûå
- è . Âûðàæàÿ
ãëàâíûå íåèçâåñòíûå
÷åðåç ñâîáîäíûå,
ïîëó÷èëè ìíîæåñòâî
ðåøåíèé :
Òåïåðü ïîñìîòðèì,
êàê ýòó æå ñèñòåìó
ðåøèëà ñèñòåìà
MathCAD. Íà ðèñóíêå
1.2.3 ïðåäñòàâëåíî
ðåøåíèå â ñèñòåìå
MathCAD, è êàê ìû
âèäèì, ìíîæåñòâî
ðåøåíèé ïîëó÷èëîñü
äðóãîå. È ÷òî æå,
êòî-òî îøèáñÿ?
Øêîëüíèê, ñðàâíèâ
ñâîé îòâåò, íàïðèìåð
ñ îäíîêëàññíèêàìè,
êîòîðûå ðåøàëè
ñàìîñòîÿòåëüíî,
îáíàðóæèò, ÷òî
ó íåãî ïîëó÷èëîñü
äðóãîå ìíîæåñòâî
ðåøåíèé. Òóò âîçíèêàåò
ïðîáëåìà, êîòîðóþ
ìîæíî ðàçðåøèòü
òîëüêî äîêàçàâ
ðàâåíñòâî äâóõ
ïîëó÷èâøèõñÿ
ìíîæåñòâ.
Ðèñóíîê 1.2.3.
Ìíîæåñòâî äàíî âûøå,
Íóæíî äîêàçàòü,
÷òî . Äîêàçûâàòü
áóäåì ìåòîäîì
äâîéíîãî âêëþ÷åíèÿ.
.
Âîçüìåì ýëåìåíò
èç ìíîæåñòâà
è äîêàæåì,
÷òî îí ïðèíàäëåæèò
ìíîæåñòâó , ýòî çíà÷èò,
÷òî è âûðàæàþòñÿ
÷åðåç è ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
,
Âûðàçèì îòñþäà
è ÷åðåç è (ò.ê. âî ìíîæåñòâå
ñâîáîäíûìè
ïåðåìåííûìè
ÿâëÿþòñÿ è )
Ïîëó÷èëè
(,,, )
Òàêèì îáðàçîì
ìû âçÿëè ýëåìåíò
ïðèíàäëåæàùèé
ìíîæåñòâó è ïîêàçàëè,
÷òî îí ïðèíàäëåæèò
è ìíîæåñòâó
. (äîêàçàòåëüñòâî
àíàëîãè÷íî).
Êâàäðàòíóþ ñèñòåìó
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
âèäà (Ì- êâàäðàòíàÿ
ìàòðèöà, ðàíã
êîòîðîé ðàâåí
÷èñëó åå ñòðîê,
õ- âåêòîð íåèçâåñòíûõ,
- âåêòîð
ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ)
ìîæíî íàéòè,
íå òîëüêî ñ ïîìîùüþ
áëîêà Given find, íî
è èñïîëüçóÿ âñòðîåííóþ
ôóíêöèþ lsolve. Ìàòðèöà Ì
- îñíîâíàÿ ìàòðèöà
äàííîé ñèñòåìû
óðàâíåíèé. (Ðèñóíîê
1.2.4)
Àëãîðèòì ðåøåíèÿ
êâàäðàòíûõ ñèñòåì
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé:
1. Âñòàâüòå øàáëîí
âñòðîåííîé ôóíêöèè
lsolve.
2. Â ïåðâóþ ìåòêó
øàáëîíà ââåäèòå
îñíîâíóþ ìàòðèöó
ñèñòåìû óðàâíåíèé.
. Âî âòîðóþ ìåòêó
øàáëîíà ôóíêöèè
ââåäèòå ìàòðèöó-ñòîëáåö
ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ
ñèñòåìû óðàâíåíèé.
. Ââåäèòå çíàê
ðàâåíñòâà. Îòâåò
- åäèíñòâåííûé
âåêòîð-ñòîëáåö,
ýëåìåíòàìè êîòîðîãî
ÿâëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûå
÷èñëà.
Ê ñîæàëåíèþ,
îñòàåòñÿ íå âûÿñíåííûì
âîïðîñ, êàêèì
ìåòîäîì ðåøàåò
ñèñòåìà MathCAD?
.3 Ïñèõîëîãî-ïåäàãîãè÷åñêèå
îñíîâû èññëåäîâàíèÿ.
Èíôîðìàòèçàöèÿ
è êîìïüþòåðèçàöèÿ
îáðàçîâàíèÿ
Øèðîêîå âíåäðåíèå
êîìïüþòåðíûõ
òåõíîëîãèé â
íàøó æèçíü èìååò
ïñèõîëîãè÷åñêîå
ïîñëåäñòâèÿ. Â
îòå÷åñòâåííîé
è çàðóáåæíîé
ëèòåðàòóðå âûäåëÿþò
ñëåäóþùèå ïñèõîëîãè÷åñêèå
ôåíîìåíû, ñâÿçàííûå
ñ îñâîåíèåì ÷åëîâåêîì
íîâûõ èíôîðìàöèîííûõ
òåõíîëîãèé: ïåðñîíèôèêàöèþ,
"îäóøåâëåíèå"
êîìïüþòåðà, êîãäà
êîìïüþòåð âîñïðèíèìàåòñÿ
êàê æèâîé îðãàíèçì;
ïîòðåáíîñòü â
"îáùåíèå" ñ êîìïüþòåðîì
è îñîáåííîñòè
òàêîãî îáùåíèÿ,
íàïðèìåð, ïîòðåáíîñòü
â àíòðîïîìîðôíîì
èíòåðôåéñå è
ýìîöèîíàëüíî
îêðàøåííîé ëîãèêå;
ðàçëè÷íûå ôîðìû
êîìïüþòåðíîé
òðåâîæíîñòè;
âîïðîñ îá îòâåòñòâåííîñòè
ñîçäàòåëåé ïðîãðàììíîãî
îáåñïå÷åíèÿ
çà ïîñëåäñòâèÿ
åãî ïðèìåíåíèÿ.[32],
[33], [34], [35]. Ðÿä èññëåäîâàòåëåé
ðàññìàòðèâàþò
êîìïüþòåðíûå
òåõíîëîãèè êàê
âòîðæåíèå âî
âíóòðåííèé ìèð
÷åëîâåêà, âåäóùåå
ê âîçíèêíîâåíèÿ
ó íåêîòîðûõ ïîëüçîâàòåëåé
ýêçèñòåíöèàëüíîãî
êðèçèñà, ñîïðîâîæäàþùåãîñÿ
êîãíèòèâíûìè
è ýìîöèîíàëüíûìè
íàðóøåíèÿìè.
Ïðè ýòîì ìîæåò
ïðîèñõîäèòü ïåðåîöåíêà
öåííîñòåé, ïåðåñìîòð
âçãëÿäîâ íà ìèðîâîççðåíèå
è ñâîå ìåñòî â
ìèðå.
Íà÷àëüíîå
èçó÷åíèå ñèñòåì
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
ïðèõîäèòñÿ íà
7 êëàññ, ò.å. íà âîçðàñò
12-15 ëåò. Ýòî ñðåäíèé
øêîëüíûé (ïîäðîñòêîâûé)
âîçðàñò õàðàêòåðèçóåòñÿ
áîëüøîé âîñïðèèì÷èâîñòüþ,
ñåíñèòèâíîñòüþ
ê óñâîåíèþ íîðì,
öåííîñòåé è ñïîñîáîâ
ïîâåäåíèÿ, êîòîðûå
ñóùåñòâóþò â
ìèðå âçðîñëûõ
è â èõ îòíîøåíèÿõ.
 ýòîì âîçðàñòå
äåòè îöåíèâàþò
êîìïüþòåð òîëüêî
êàê ñðåäñòâî
äëÿ ðàçâëå÷åíèé:
äëÿ ðàçíîîáðàçíûõ
èãð, äëÿ ïðîñìîòðà
ôèëüìîâ, äëÿ ïðîñëóøèâàíèÿ
ìóçûêè è ò.ä. Íåîáõîäèìî,
÷òîáû øêîëüíèêè
ìîãëè âèäåòü
êîìïüþòåð íå òîëüêî
êàê "óìíóþ èãðóøêó",
íî è êàê ïîëåçíóþ
ìàøèíó, ñ ïîìîùüþ
êîòîðîé ìîæíî
äîáûâàòü íîâûå
çíàíèÿ, îáëåã÷àþùèå
ó÷åáó. Èçó÷èâ
ïðîãðàììó MathCAD, äåòè ìîãó
ýòèì ãîðäèòüñÿ
è äàæå õâàñòàòüñÿ
ïåðåä ñâåðñòíèêàìè,
êîòîðûå åå íå
èçó÷àëè, ò.ê. â
ýòîì âîçðàñòå
ñàìîå ãëàâíîå
âûäåëèòüñÿ èç
òîëïû.
Åñëè äëÿ ìëàäøåãî
øêîëüíîãî âîçðàñòà
âåäóùåé ÿâëÿåòñÿ
ó÷åáíàÿ äåÿòåëüíîñòü,
òî äëÿ øêîëüíèêà
ñðåäíåãî âîçðàñòà
(ïîäðîñòêà) â êà÷åñòâå
âåäóùåé âûñòóïàåò
îáùåñòâåííî
ïîëåçíàÿ äåÿòåëüíîñòü
â ðàçíîîáðàçíûõ
ôîðìàõ, â ðóñëå
êîòîðîé è èíòèìíî-ëè÷íîå
îáùåíèå ñî ñâåðñòíèêàìè,
è î÷åíü âàæíîå
îáùåíèå ñ ïðåäñòàâèòåëÿìè
äðóãîãî ïîëà. Ïðè
ýòîì ó÷åáíàÿ
äåÿòåëüíîñòü
ñòàíîâèòñÿ êàê
áû îñóùåñòâëÿåìîé
àêòèâíîñòüþ
- îíà "îáåñïå÷èâàåò"
èíäèâèäóàëèçàöèþ
ïîäðîñòêà. Â îñîáåííîñòÿõ
âûáîðà ñðåäñòâ,
ñïîñîáîâ ó÷åáíîé
äåÿòåëüíîñòè
îí óòâåðæäàåò
ñåáÿ. Îäíîâðåìåííàÿ
àäàïòàöèÿ ê îäíîé
íîâîé îáùíîñòè,
èíäèâèäóàëèçàöèÿ
â äðóãîé, óæå çíàêîìîé,
è ïîñëåäóþùàÿ
èíòåãðàöèÿ â
íåå - ýòî ñëîæíî
ïåðåïëåòåííûå
ñîöèàëüíî-ïñèõîëîãè÷åñêèå
ïðîöåññû, íàèáîëåå
çíà÷èìûå äëÿ
ïîäðîñòêà. Íàéòè
ñåáÿ â äðóãèõ
- îñíîâíàÿ îñîçíàâàåìàÿ
èëè èíòóèòèâíî
ðåàëèçóåìàÿ
ïîòðåáíîñòü ýòîãî
âîçðàñòà.
Íàðÿäó ñ ýòèì
ìëàäøèé ïîäðîñòîê
õàðàêòåðèçóåòñÿ
ïîâûøåííîé óòîìëÿåìîñòüþ,
ÿðêî âûðàæåííîé
ýìîöèîíàëüíîñòüþ,
èíîãäà ðåçêîñòüþ
â ñóæäåíèÿõ (äî
ãðóáîñòè). Ê êîíöó
ïåðèîäà ìëàäøåãî
ïîäðîñòíè÷åñòâà
ó÷àùèåñÿ íà÷èíàþò
îñîçíàâàòü íåîáõîäèìîñòü
ñàìîñòîÿòåëüíîãî
âûáîðà äàëüíåéøåé
ïðîãðàììû îáðàçîâàíèÿ,
÷òî ïðåäïîëàãàåò
ñôîðìèðîâàííîñòü
äîñòàòî÷íî óñòîé÷èâûõ
èíòåðåñîâ è ïðåäïî÷òåíèé,
îðèåíòàöèþ â
ðàçëè÷íûõ ñôåðàõ
òðóäà è îáùåñòâåííî
ïîëåçíîé äåÿòåëüíîñòè.
Èíôîðìàòèçàöèÿ
îáðàçîâàíèÿ,
ïðîöåññ îáåñïå÷åíèÿ
ñôåðû îáðàçîâàíèÿ
ìåòîäîëîãèåé
è ïðàêòèêîé ðàçðàáîòêè
è îïòèìàëüíîãî
èñïîëüçîâàíèÿ
ñîâðåìåííûõ
èíôîðìàöèîííûõ
òåõíîëîãèé, îðèåíòèðîâàííûõ
íà ðåàëèçàöèþ
ïñèõîëîãî-ïåäàãîãè÷åñêèõ
öåëåé îáó÷åíèÿ,
âîñïèòàíèÿ. Ýòîò
ïðîöåññ èíèöèèðóåò,
âî-ïåðâûõ, ñîâåðøåíñòâîâàíèå
ìåõàíèçìîâ óïðàâëåíèÿ
ñèñòåìîé îáðàçîâàíèÿ
íà îñíîâå èñïîëüçîâàíèÿ
àâòîìàòèçèðîâàííûõ
áàíêîâ äàííûõ
íàó÷íî-ïåäàãîãè÷åñêîé
èíôîðìàöèè, èíôîðìàöèîííî-ìåòîäè÷åñêèõ
ìàòåðèàëîâ, à
òàêæå êîììóíèêàòèâíûõ
ñåòåé; âî-âòîðûõ,
ñîâåðøåíñòâîâàíèå
ìåòîäîëîãèè
è ñòðàòåãèè îòáîðà
ñîäåðæàíèÿ, ìåòîäîâ
è îðãàíèçàöèîííûõ
ôîðì îáó÷åíèÿ
è âîñïèòàíèÿ,
ñîîòâåòñòâóþùèõ
çàäà÷àì ðàçâèòèÿ
ëè÷íîñòè îáó÷àåìîãî
â ñîâðåìåííûõ
óñëîâèÿõ èíôîðìàòèçàöèè
îáùåñòâà; â-òðåòüèõ,
ñîçäàíèå ìåòîäè÷åñêèõ
ñèñòåì îáó÷åíèÿ,
îðèåíòèðîâàííûõ
íà ðàçâèòèå èíòåëëåêòóàëüíîãî
ïîòåíöèàëà îáó÷àåìîãî,
íà ôîðìèðîâàíèå
óìåíèé ñàìîñòîÿòåëüíî
ïðèîáðåòàòü çíàíèÿ,
îñóùåñòâëÿòü
èíôîðìàöèîííî-ó÷åáíóþ,
ýêñïåðèìåíòàëüíî-èññëåäîâàòåëüñêóþ
äåÿòåëüíîñòü,
ðàçíîîáðàçíûå
âèäû ñàìîñòîÿòåëüíîé
äåÿòåëüíîñòè
ïî îáðàáîòêå
èíôîðìàöèÿ; â-÷åòâ¸ðòûõ,
ñîçäàíèå è èñïîëüçîâàíèå
êîìïüþòåðíûõ
òåñòèðóþùèõ,
äèàãíîñòèðóþùèõ
ìåòîäèê êîíòðîëÿ
è îöåíêè óðîâíÿ
çíàíèé îáó÷àåìûõ.
 óçêîì ñìûñëå
èíôîðìàòèçàöèÿ
îáðàçîâàíèÿ
- âíåäðåíèå â ó÷ðåæäåíèÿ
ñèñòåìû îáðàçîâàíèÿ
èíôîðìàöèîííûõ
ñðåäñòâ, îñíîâàííûõ
íà ìèêðîïðîöåññîðíîé
òåõíèêå, à òàêæå
èíôîðìàöèîííîé
ïðîäóêöèè è ïåäàãîãè÷åñêèõ
òåõíîëîãèè, áàçèðóþùèõñÿ
íà ýòèõ ñðåäñòâàõ.
Êîìïüþòåðèçàöèÿ
îáó÷åíèÿ, â óçêîì
ñìûñëå ïðèìåíåíèå
êîìïüþòåðà êàê
ñðåäñòâà îáó÷åíèÿ,
â øèðîêîì ìíîãîöåëåâîå
èñïîëüçîâàíèå
êîìïüþòåðà â ó÷åáíîì
ïðîöåññå. Îñíîâíûå
öåëè êîìïüþòåðèçàöèè
îáó÷åíèÿ: ïîäãîòîâèòü
ïîäðàñòàþùåå
ïîêîëåíèå ê æèçíè
â èíôîðìàòèçîâàííîì
îáùåñòâå, ïîâûñèòü
ýôôåêòèâíîñòü
îáó÷åíèÿ ïóòåì
âíåäðåíèÿ ñðåäñòâ
èíôîðìàòèçàöèè.
Ðàçëè÷àþòñÿ
äâà íàïðàâëåíèÿ
êîìïüþòåðèçàöèè
(èíôîðìàòèçàöèè)
îáó÷åíèÿ: îâëàäåíèå
âñåìè ñïîñîáàìè
ïðèìåíåíèÿ êîìïüþòåðà
â êà÷åñòâå ñðåäñòâ
ó÷åáíîé äåÿòåëüíîñòè;
èñïîëüçîâàíèå
êîìïüþòåðà êàê
îáúåêòà èçó÷åíèÿ.
Èäåè ïðèìåíåíèÿ
êîìïüþòåðà êàê
ñðåäñòâà îáó÷åíèÿ
âîçíèêëè â 50-õ
ãã. 20â. â ðàìêàõ
ïðîãðàììèðîâàííîãî
îáó÷åíèÿ.  1959 â
øêîëå ¹444 ã. Ìîñêâû
ïîä ðóêîâîäñòâîì
Ñ.È.Øâàðöáóðäà
áûë íà÷àò ýêñïåðèìåíò
ïî èçó÷åíèþ ñòàðøåêëàññíèêàìè
ïðîãðàììèðîâàíèÿ
è îñíîâ âû÷èñëèòåëüíîé
òåõíèêè. Ïî ìåðå
ñîâåðøåíñòâîâàíèÿ
òåõíè÷åñêèõ
õàðàêòåðèñòèê
ñàìîãî êîìïüþòåðà
è åãî ïðîãðàììíîãî
îáåñïå÷åíèÿ,
ðàñøèðåíèÿ åãî
äèäàêòè÷åñêèõ
âîçìîæíîñòåé
óòâåðäèëàñü èäåÿ
î ïðèíöèïèàëüíî
íîâûõ ñâîéñòâàõ
êîìïüþòåðà êàê
ñðåäñòâà îáó÷åíèÿ.
Êîìïüþòåð ïîçâîëÿåò
ñòðîèòü îáó÷åíèå
â ðåæèìå äèàëîãà,
ðåàëèçîâàòü èíäèâèäóàëèçèðîâàííîå
îáó÷åíèå, îïèðàþùååñÿ
íà ìîäåëü ó÷àùåãîñÿ,
åãî "èñòîðèþ
îáó÷åíèÿ". Èçìåíèëàñü
îöåíêà ðîëè è
ìåñòà êîìïüþòåðà
â ó÷åáíîì ïðîöåññå.
Ê íà÷àëó 90-õ ãã.
áûëè ñîçäàíû
äåñÿòêè òûñÿ÷
ðàçëè÷íûõ îáó÷àþùèõ
ñèñòåì.
Êîìïüþòåðèçàöèÿ
îáó÷åíèÿ îêàçûâàåò
ñóùåñòâåííîå
âîçäåéñòâèå
íà âñå êîìïîíåíòû
ó÷åáíîãî ïðîöåññà.
Çíà÷èòåëüíîå
âëèÿíèå êîìïüþòåðà
íà ñîäåðæàíèå
îáó÷åíèÿ îáóñëîâëåíî,
ñ îäíî ñòîðîíû,
òåì, ÷òî äëÿ ó÷àùåãîñÿ
ñòàëî äîñòóïíûì
ìíîãîå èç òîãî,
÷òî ðàíåå ñ÷èòàëîñü
ïîñèëüíûì ëèøü
äëÿ ñïåöèàëèñòà
âûñîêîé êâàëèôèêàöèè.
Ýòî ñòàëî âîçìîæíûì
áëàãîäàðÿ âîçìîæíîñòÿì
êîìïüþòåðà â íàãëÿäíîì
ïðåäñòàâëåíèè
ó÷åáíîãî ñîäåðæàíèÿ;
ïðèìåíåíèþ êîìïüþòåðíûõ
ñðåäñòâ, ðåàëèçóþùèõ
èäåè èñêóññòâåííîãî
èíòåëëåêòà; ïðåäîñòàâëåíèþ
ó÷àùèìñÿ äîñòóïà
ê áîëüøèì îáúåìàì
íåîáõîäèìîé
èì èíôîðìàöèè,
â òîì ÷èñëå è íåïîñðåäñòâåííî
îòíîñÿùåéñÿ
ê ðåøàåìîé èìè
çàäà÷å. Ñ äðóãîé
ñòîðîíû, êîìïüþòåð
ïîçâîëÿåò âêëþ÷àòü
â ñîäåðæàíèå
îáó÷åíèÿ ðàçëè÷íûå
ýâðèñòè÷åñêèå
ñðåäñòâà, ïðåæäå
âñåãî ñòðàòåãèè
ïîèñêà ðåøåíèÿ
çàäà÷. Âàæíîå
çíà÷åíèå èìååò
è òî, ÷òî êîìïüþòåð
ñîçäà¸ò ðåàëüíûå
ïðåäïîñûëêè äëÿ
ñîçäàíèÿ èíòåãðèðîâàííûõ
ó÷åáíûõ ïðåäìåòîâ,
ðàçðàáîòêè ñîäåðæàíèÿ
ïðîôåññèîíàëüíîãî
îáó÷åíèÿ ñ ó÷¸òîì
ðåàëüíûõ ïðîèçâîäñòâåííûõ
ïðîöåññîâ, äåëàåò
îáúåêòîì èçó÷åíèÿ
ó÷àùåãîñÿ åãî
ñîáñòâåííóþ
ó÷åáíóþ äåÿòåëüíîñòü.
Èñïîëüçîâàíèå
êîìïüþòåðà â ó÷åáíûõ
öåëÿõ âíîñèò
çíà÷èòåëüíûå
èçìåíåíèÿ â äåÿòåëüíîñòü
ó÷àùåãîñÿ. Îí
îñâîáîæäàåòñÿ
îò íåîáõîäèìîñòè
âûïîëíåíèÿ ðóòèííûõ
îïåðàöèé, èìååò
âîçìîæíîñòü,
íå îáðàùàÿñü
ê ïåäàãîãó, ïîëó÷èòü
òðåáóåìóþ èíôîðìàöèþ.
Âòîðîå íàïðàâëåíèå
êîìïüþòåðèçàöèè
îáó÷åíèÿ, ñâÿçàííîå
ñ ïðèìåíåíèåì
êîìïüþòåðà â êà÷åñòâå
îáúåêòà èçó÷åíèÿ,
â ñâî¸ì ðàçâèòèè
òàêæå ïðåòåðïåëî
ñóùåñòâåííûå
èçìåíåíèÿ. Â
60-õ ãã. â ÑÑÑÐ öåëè
êîìïüþòåðíîé
ãðàìîòíîñòè
íà óðîâíå øêîëüíîãî
îáó÷åíèÿ ñâîäèëèñü
ïðåèìóùåñòâåííî
ê çíàíèþ âîçìîæíûõ
ïðèìåíåíèé êîìïüþòåðà
è íå ïðåäïîëàãàëè
óìåíèÿ ïðàêòè÷åñêè
ïîëüçîâàòüñÿ
èì äëÿ ðåøåíèÿ
çàäà÷.  íà÷àëå
70-õ ãã. ïðàêòè÷åñêîå
âëàäåíèå ÝÂÌ
ñâÿçûâàëîñü ñ
îáó÷åíèåì øêîëüíèêîâ
ïðîãðàììèðîâàíèþ.
 ýòîì íàïðàâëåíèè
íàêîïëåí çíà÷èòåëüíûé
îïûò è ñîçäàíû
ïðåäïîñûëêè êîìïüþòåðèçàöèè
îáó÷åíèÿ. Ñî
2-é ïîëîâèíû 70-õ
ãã. èçìåíèëñÿ
ïîäõîä ê îïðåäåëåíèþ
ñóùíîñòè êîìïüþòåðíîé
ãðàìîòíîñòè,
ïåðåñìîòðåíà
îáðàçîâàòåëüíàÿ
öåííîñòü ðàçëè÷íûõ
âèäîâ çíàíèé
è óìåíèé. Îñíîâíîé
àêöåíò äåëàåòñÿ
íà ðåøåíèå çàäà÷
ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà
è ðàöèîíàëüíîå
èñïîëüçîâàíèå
ìàòåìàòè÷åñêîãî
îáåñïå÷åíèÿ.
Èñïîëüçîâàíèå
êîìïüþòåðà â êà÷åñòâå
ñðåäñòâà îáó÷åíèÿ
âûÿâèëî íåîáõîäèìîñòü
ïåðåñìîòðà ìíîãèõ
òåîðåòè÷åñêèõ
ïîëîæåíèé äèäàêòèêè
è ïåäàãîãè÷åñêîé
ïñèõîëîãèè. Òàê,
ýêñïåðòíûå ñèñòåìû,
ïîçâîëÿþùèå äîâåñòè
ó÷àùåãîñÿ äî
ïðàâèëüíîãî ðåøåíèÿ
çàäà÷è ëþáîé
ñëîæíîñòè, à òàêæå
ãèïåðòåêñòíûå
îáó÷àþùèå ñèñòåìû,
ïðåäîñòàâëÿþùèå
ó÷àùåìóñÿ çíà÷èòåëüíûå
âîçìîæíîñòè
â âûáîðå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
èçó÷åíèÿ ó÷åáíîãî
ìàòåðèàëà, òðåáóþò
âíåñåíèÿ êîððåêòèâ
â ñîîòâåòñòâóþùèå
ïðèíöèïû îáó÷åíèÿ.
Ñëåäóåò èìåòü
â âèäó, ÷òî êîìïüþòåðèçàöèÿ
îáó÷åíèÿ íå ðåøàåò
âñå ïðîáëåìû îáó÷åíèÿ,
êîìïüþòåð íå ìîæåò
è íå äîëæåí âûòåñíèòü
èç ó÷åáíîãî ïðîöåññà
ïåäàãîãà, íîâûå
èíôîðìàöèîííûå
òåõíîëîãèè îáó÷åíèÿ
íå ìîãóò ïîëíîñòüþ
çàìåíèòü òðàäèöèîííûå
òåõíîëîãèè. Êîìïüþòåðèçàöèÿ
îáó÷åíèÿ ñïîñîáñòâîâàëà
ðàçâèòèþ äèñòàíöèîííîãî
îáó÷åíèÿ.
Èòàê, ðàñòóùåå
ïðèìåíåíèå êîìïüþòåðîâ
âî âñåõ ñôåðàõ
÷åëîâå÷åñêîé
äåÿòåëüíîñòè
ïîðîæäàåò íîâûå
ïðîáëåìû è äàåò
òîë÷îê ê ðàçâèòèþ
íîâûõ îáëàñòåé
èññëåäîâàíèÿ.
Èçó÷åíèå ïñèõîëîãè÷åñêèõ
è ñîöèàëüíûõ
àñïåêòîâ âçàèìîäåéñòâèÿ
÷åëîâåêà è êîìïüþòåðà,
à òàêæå ïîèñê
ýôôåêòèâíûõ
ìåòîäîâ ïðèìåíåíèÿ
èíôîðìàöèîííûõ
òåõíîëîãèé ïðèîáðåòàþò
îñîáóþ àêòóàëüíîñòü
â íàñòîÿùåå âðåìÿ.
Âûâîä
ïî ãëàâå 1
 äàííîé ãëàâå
ÿ ðàññìîòðåëà
ìàòåìàòè÷åñêèå
îñíîâû èññëåäîâàíèÿ.
Áûëè âûÿâëåíû
íàèáîëåå âàæíûå
äëÿ íàñ îïðåäåëåíèÿ
è òåîðåìû, íà êîòîðûå
â äàëüíåéøåå
ìû áóäåì ññûëàòüñÿ.
 èíôîðìàöèîííûõ
îñíîâàõ âû èçó÷èëè
îñíîâíûå ïðèíöèïû
ðàáîòû â ñèñòåìå
êîìïüþòåðíîé
ìàòåìàòèêè
MathCAD. Óçíàëè
âîçìîæíîñòè
ýòîé ñèñòåìû
ïðè ðåøåíèè ñèñòåì
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.
Ýòè çíàíèÿ ìû
áóäåì ïðèìåíÿòü
âî âòîðîé ãëàâå
äàííîé ðàáîòû.
Ðàññìîòðåííûå
ïñèõîëîãî-ïåäàãîãè÷åñêèå
îñíîâû, ïîìîãëè
íàì óâèäåòü ïðîáëåìû
ñâÿçàííûå ñ âíåäðåíèå
êîìïüþòåðà â øêîëüíîå
ìàòåìàòè÷åñêîå
îáðàçîâàíèå,
à òàêæå óêàçàëè
íà ïóòè èõ ðàçðåøåíèÿ.
Ãëàâà
2. Âíåäðåíèå ñèñòåìû
êîìïüþòåðíîé
ìàòåìàòèêè
MathCAD â ïðîôèëüíîå
øêîëüíîå ìàòåìàòè÷åñêîå
îáðàçîâàíèå
.1 Àíàëèç
öåëåé îáó÷åíèÿ
ìàòåìàòèêå. Ïîñòàíîâêà
öåëåé îáó÷åíèÿ
ìàòåìàòèêå ñ
èñïîëüçîâàíèåì
ñèñòåìû êîìïüþòåðíîé
ìàòåìàòèêè
MathCAD
Öåëü ïåäàãîãè÷åñêîãî
âîçäåéñòâèÿ
ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìîîáðàçóþùèì
(îïðåäåëÿþùèì)
ýëåìåíòîì ïåäàãîãè÷åñêîé
ñèñòåìû, îäíèì
èç ãëàâíûõ çâåíüåâ
ïåäàãîãè÷åñêîé
äåÿòåëüíîñòè.
Îò íåå çàâèñÿò
îñòàëüíûå ýëåìåíòû:
ñîäåðæàíèå è
ñðåäñòâà ïîëó÷åíèÿ
ðåçóëüòàòîâ.
Öåëü êàê íàó÷íîå
ïîíÿòèå åñòü
ïðåäâîñõèùåíèå
â ñîçíàíèè ñóáúåêòà
ðåçóëüòàòà, íà
äîñòèæåíèå êîòîðîãî
íàïðàâëåíà äåÿòåëüíîñòü.
Ñ òî÷êè çðåíèÿ
ïñèõîôèçèîëîãèè,
öåëü - ýòî ìîäåëü
ïîòðåáíîãî áóäóùåãî,
çàêîäèðîâàííàÿ
â ìîçãå ÷åëîâåêà,
îáðàç òðåáóåìîãî
ðåçóëüòàòà, îïðåäåëÿþùèé
îòáîð äåéñòâèé,
âåäóùèõ ê åãî
äîñòèæåíèþ. Ñîãëàñíî
êèáåðíåòèêå,
öåëü - òàêàÿ õàðàêòåðèñòèêà
ïðîöåññà, íà îñíîâå
êîòîðîé îñóùåñòâëÿåòñÿ
îáðàòíàÿ ñâÿçü.
Ñèñòåìà ðàáîòàåò,
ñðàâíèâàÿ ðåàëüíûå
ðåçóëüòàòû ñ
çàïëàíèðîâàííûìè
öåëÿìè.  ïåäàãîãè÷åñêîé
ñèñòåìå öåëü
- ýòî ìûñëåííîå,
çàðàíåå îïðåäåëÿåìîå
ïðåäñòàâëåíèå
î ðåçóëüòàòå
ïåäàãîãè÷åñêîãî
ïðîöåññà, î êà÷åñòâàõ,
ñîñòîÿíèè ëè÷íîñòè,
êîòîðûå ïðåäïîëàãàåòñÿ
ôîðìèðîâàòü. Îíà
îïðåäåëÿåò òðåáîâàíèÿ
ê ïåäàãîãè÷åñêîìó
ïðîöåññó è ñëóæèò
ýòàëîíîì äëÿ
îöåíêè ðåçóëüòàòîâ.
Ïåäàãîãè÷åñêèå
öåëè ìîãóò áûòü
ðàçíîãî ìàñøòàáà
è ñîñòàâëÿþò
íåêîòîðóþ èåðàðõèþ
- ñòóïåí÷àòóþ
ñèñòåìó. Âûñøàÿ
ñòóïåíü - ãîñóäàðñòâåííûå
öåëè, îáùåñòâåííûé
çàêàç. Ìîæíî ñêàçàòü,
ýòî öåëè-öåííîñòè,
êîòîðûå îòðàæàþò
ïðåäñòàâëåíèå
îáùåñòâà î ÷åëîâåêå
è ãðàæäàíèíå
ñòðàíû. Îíè ðàçðàáàòûâàþòñÿ
ñïåöèàëèñòàìè,
ïðèíèìàþòñÿ
ïðàâèòåëüñòâîì,
ôèêñèðóþòñÿ
â çàêîíàõ è äðóãèõ
äîêóìåíòàõ. Ïðèìåðàìè
âûñøèõ öåëåé
ÿâëÿþòñÿ çàêîí
ÐÔ "Îá îáðàçîâàíèè",
íàöèîíàëüíûé
ïðîåêò "Îáðàçîâàíèå",
"Êîíöåïöèÿ ìîäåðíèçàöèè
Ðîññèéñêîãî
îáðàçîâàíèÿ
íà ïåðèîä äî 2010 ãîäà"
è ò.ï.
Ñóùåñòâóþò
òàêæå ìåæäóíàðîäíûå
öåëè, íàïðèìåð,
Áîëîíñêèé ïðîöåññ,
ê êîòîðîìó Ðîññèÿ
ïðèñîåäèíèëàñü
â ñåíòÿáðå 2003 ãîäà
íà áåðëèíñêîé
âñòðå÷å ìèíèñòðîâ
îáðàçîâàíèÿ
åâðîïåéñêèõ ñòðàí.
Öåëÿìè Áîëîíñêîãî
ïðîöåññà, äîñòèæåíèå
êîòîðûõ îæèäàåòñÿ
ê 2010 ãîäó, ÿâëÿþòñÿ:
1) ïîñòðîåíèå
åâðîïåéñêîé çîíû
âûñøåãî îáðàçîâàíèÿ
êàê êëþ÷åâîãî
íàïðàâëåíèÿ ðàçâèòèÿ
ìîáèëüíîñòè
ãðàæäàí ñ âîçìîæíîñòüþ
òðóäîóñòðîéñòâà;
2) ôîðìèðîâàíèå
è óêðåïëåíèå èíòåëëåêòóàëüíîãî,
êóëüòóðíîãî,
ñîöèàëüíîãî
è íàó÷íî-òåõíè÷åñêîãî
ïîòåíöèàëà Åâðîïû;
ïîâûøåíèå ïðåñòèæíîñòè
â ìèðå åâðîïåéñêîé
âûñøåé øêîëû;
) îáåñïå÷åíèå
êîíêóðåíòîñïîñîáíîñòè
åâðîïåéñêèõ âóçîâ
ñ äðóãèìè ñèñòåìàìè
îáðàçîâàíèÿ
â áîðüáå çà ñòóäåíòîâ,
äåíüãè, âëèÿíèå;
äîñòèæåíèå áîëüøåé
ñîâìåñòèìîñòè
è ñðàâíèìîñòè
íàöèîíàëüíûõ
ñèñòåì âûñøåãî
îáðàçîâàíèÿ;
ïîâûøåíèå êà÷åñòâà
îáðàçîâàíèÿ;
4) ïîâûøåíèå
öåíòðàëüíîé ðîëè
óíèâåðñèòåòîâ
â ðàçâèòèè åâðîïåéñêèõ
êóëüòóðíûõ öåííîñòåé,
â êîòîðîé óíèâåðñèòåòû
ðàññìàòðèâàþòñÿ
êàê íîñèòåëè
åâðîïåéñêîãî
ñîçíàíèÿ.
Ñëåäóþùàÿ ñòóïåíü
- öåëè-ñòàíäàðòû,
öåëè îòäåëüíûõ
îáðàçîâàòåëüíûõ
ñèñòåì è ýòàïîâ
îáðàçîâàíèÿ,
îíè îòðàæàþòñÿ
â îáðàçîâàòåëüíûõ
ïðîãðàììàõ è
ñòàíäàðòàõ. Íàïðèìåð,
öåëè îáó÷åíèÿ
â ñðåäíåé øêîëå
è íà åãî îòäåëüíûõ
óðîâíÿõ: íà÷àëüíàÿ,
îñíîâíàÿ, ïîëíàÿ
ñðåäíÿÿ øêîëà.
Áîëåå íèçêàÿ
ñòóïåíü - öåëè
îáó÷åíèÿ ïî îòäåëüíîìó
ïðåäìåòó èëè âîñïèòàíèÿ
äåòåé îïðåäåëåííîãî
âîçðàñòà. Íàêîíåö,
öåëè îòäåëüíîé
òåìû, óðîêà èëè
âíåóðî÷íîãî
ìåðîïðèÿòèÿ.
 èñòîðèè ÷åëîâå÷åñêîãî
îáùåñòâà ãëîáàëüíûå
öåëè âîñïèòàíèÿ
èçìåíÿëèñü è
èçìåíÿþòñÿ â
ñîîòâåòñòâèè
ñ ôèëîñîôñêèìè
êîíöåïöèÿìè, ïñèõîëîãî-ïåäàãîãè÷åñêèìè
òåîðèÿìè, ñ òðåáîâàíèÿìè
îáùåñòâà ê îáðàçîâàíèþ.
 ìèðîâîé ïðàêòèêå
èìåþòñÿ â íàñòîÿùåå
âðåìÿ ðàçëè÷íûå
âçãëÿäû íà öåëè
âîñïèòàíèÿ, îáðàçîâàíèÿ.
 ÑØÀ âûðàáîòàíà
â 20-å ãîäû è ñîõðàíÿåòñÿ,
÷àñòè÷íî èçìåíÿÿñü,
êîíöåïöèÿ àäàïòàöèè
ëè÷íîñòè ê æèçíè,
ñîãëàñíî êîòîðîé
øêîëà äîëæíà
âîñïèòàòü ýôôåêòèâíîãî
ðàáîòíèêà, îòâåòñòâåííîãî
ãðàæäàíèíà, ðàçóìíîãî
ïîòðåáèòåëÿ è
äîáðîãî ñåìüÿíèíà.
Øêîëà ïðèâèâàåò
ó÷àùåìóñÿ öåííîñòè
îáùåñòâà. Â 80-å
ãîäû âîçíèêëè
òàêèå ïðîãðàììû,
êàê "âîñïèòàíèå
â öåëÿõ âûæèâàíèÿ",
"âîñïèòàíèå
â äóõå ìèðà" è
äðóãèå. Ýòî ãîâîðèò
î ðàçëè÷íûõ ïîäõîäàõ
ê îïðåäåëåíèþ
öåëåé âîñïèòàíèÿ
è îá èõ çàâèñèìîñòè
îò îáùèõ êîíöåïöèé,
ìîäåëåé âîñïèòàíèÿ.
Ãóìàíèñòè÷åñêàÿ,
ëèáåðàëüíàÿ ïåäàãîãèêà
ïðåèìóùåñòâåííî
â Çàïàäíîé Åâðîïå
(òîæå ñ ïåðâîé
ïîëîâèíû 20 âåêà)
ïðîâîçãëàøàåò
öåëüþ øêîëû âîñïèòàíèå
àâòîíîìíîé ëè÷íîñòè
ñ êðèòè÷åñêèì
ìûøëåíèåì è ñàìîñòîÿòåëüíûì
ïîâåäåíèåì, ôîðìèðîâàíèå
÷åëîâåêà, ðåàëèçóþùåãî
ñâîè ïîòðåáíîñòè,
â òîì ÷èñëå âûñøóþ
ïîòðåáíîñòü â
ñàìîàêòóàëèçàöèè,
ðàçâèòèè âíóòðåííåãî
"ß".
Öåëü âîñïèòàíèÿ
â Ðîññèéñêîé
Ôåäåðàöèè â ñàìîì
îáùåì âèäå ôîðìóëèðóåòñÿ
êàê ïîìîùü ëè÷íîñòè
â ðàçíîñòîðîííåì
ðàçâèòèè. Ýòî
îòðàæåíî â çàêîíå
ÐÔ "Îá îáðàçîâàíèè"
îò 10.07.1992 N
3266-1.
Îáðàçîâàíèå
ñëóæèò ðåøåíèþ
"çàäà÷ ôîðìèðîâàíèÿ
îáùåé êóëüòóðû
ëè÷íîñòè, åå àäàïòàöèè
ê æèçíè â îáùåñòâå,
ïîìîùè â îñîçíàííîì
âûáîðå ïðîôåññèè"
(ñò.9,ï.2). Îáðàçîâàíèå,
ñîãëàñíî Çàêîíó,
äîëæíî îáåñïå÷èòü
âûðàáîòêó ëè÷íîñòüþ
æèçíåííîãî ñàìîîïðåäåëåíèÿ,
ñîçäàíèå óñëîâèé
äëÿ åå ñàìîðåàëèçàöèè,
ôîðìèðîâàíèå
â ñîçíàíèè ó÷àùèõñÿ
êàðòèíû ìèðà,
àäåêâàòíîé ñîâðåìåííîìó
çíàíèþ, ôîðìèðîâàíèå
ãðàæäàíèíà, èíòåãðèðîâàííîãî
â îáùåñòâå è íàïðàâëåííîãî
íà åãî ñîâåðøåíñòâîâàíèå
(ñò.14, ï 1,2). Ìîæíî ñêàçàòü,
÷òî ïîëèòèêî-ãîñóäàðñòâåííûé,
àâòîðèòàðíûé,
èäåîëîãè÷åñêèé
ïîäõîä ê ïîñòàíîâêå
öåëåé âîñïèòàíèÿ
çàìåíÿåòñÿ ëè÷íîñòíûì
ïîäõîäîì, áîëåå
÷åëîâå÷íûì è
ïðàãìàòè÷åñêèì:
âîñïèòàòü ëè÷íîñòü,
ñïîñîáíóþ ñàìîñòîÿòåëüíî
ïðèíèìàòü ðåøåíèÿ
è íåñòè çà íèõ
îòâåòñòâåííîñòü,
ñôîðìèðîâàòü
÷åëîâåêà, ñîçíàòåëüíî
ñòðîÿùåãî ñâîþ
æèçíü â ñîòðóäíè÷åñòâå
ñ äðóãèìè ÷ëåíàìè
îáùåñòâà. Òàêàÿ
öåëü âîñïèòàíèÿ,
êîòîðîé ïîñòåïåííî
ïðîíèêàåòñÿ ïåäàãîãè÷åñêîå
ñîçíàíèå â íàøåé
ñòðàíå, äîâîëüíî
áëèçêà çàïàäíîé
ãóìàíèñòè÷åñêîé
ïåäàãîãèêå è
ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ
ëè÷íîñòíî îðèåíòèðîâàííîãî
îáðàçîâàíèÿ
- êîíöåïöèè, â îáùèõ
÷åðòàõ ïðèíÿòîé
â íàøåé ñòðàíå
ïåäàãîãè÷åñêèì
ñîîáùåñòâîì.
 ÷åëîâå÷åñêîì
îáùåñòâå ìíîãîå
ñòàíäàðòèçèðóåòñÿ,
îñîáåííî â îáëàñòè
ïðîèçâîäñòâà.
Îáðàçîâàíèå
òîæå äîëæíî îòâå÷àòü
îïðåäåëåííûì
òðåáîâàíèÿì,
îáëàäàòü íåîáõîäèìûì
êà÷åñòâîì. Îáðàçîâàòåëüíûå
ñòàíäàðòû - ýòî
òðåáîâàíèÿ ê
ñîäåðæàíèþ è
óðîâíþ çíàíèé
ó÷àùèõñÿ. Îíè
îïèñûâàþò ìèíèìóì
çíàíèé, óìåíèé,
êà÷åñòâ, êàê âûïóñêíèêà
îáùåîáðàçîâàòåëüíîé
øêîëû, òàê è ñïåöèàëèñòà,
îêîí÷èâøåãî
ïðîôåññèîíàëüíóþ
øêîëó. Ñòàíäàðòû
ïðèçâàíû îáåñïå÷èâàòü
íåîáõîäèìîå
êà÷åñòâî îáðàçîâàíèÿ
â ñòðàíå è ñîîòâåòñòâèå
åãî ìåæäóíàðîäíîìó
óðîâíþ.
Ðàññìîòðèì
ñòàíäàðò ñðåäíåãî
(ïîëíîãî) îáðàçîâàíèÿ
ïî ìàòåìàòèêå.
Èçó÷åíèå ìàòåìàòèêè
íà ïðîôèëüíîì
óðîâíå ñðåäíåãî
(ïîëíîãî) îáùåãî
îáðàçîâàíèÿ
íàïðàâëåíî íà
äîñòèæåíèå ñëåäóþùèõ
öåëåé:
· ôîðìèðîâàíèå
ïðåäñòàâëåíèé
îá èäåÿõ è ìåòîäàõ
ìàòåìàòèêè;
î ìàòåìàòèêå
êàê óíèâåðñàëüíîì
ÿçûêå íàóêè, ñðåäñòâå
ìîäåëèðîâàíèÿ
ÿâëåíèé è ïðîöåññîâ;
· îâëàäåíèå ÿçûêîì
ìàòåìàòèêè â
óñòíîé è ïèñüìåííîé
ôîðìå, ìàòåìàòè÷åñêèìè
çíàíèÿìè è óìåíèÿìè,
íåîáõîäèìûìè
äëÿ èçó÷åíèÿ
øêîëüíûõ åñòåñòâåííîíàó÷íûõ
äèñöèïëèí, ïðîäîëæåíèÿ
îáðàçîâàíèÿ
è îñâîåíèÿ èçáðàííîé
ñïåöèàëüíîñòè
íà ñîâðåìåííîì
óðîâíå;
· ðàçâèòèå ëîãè÷åñêîãî
ìûøëåíèÿ, àëãîðèòìè÷åñêîé
êóëüòóðû, ïðîñòðàíñòâåííîãî
âîîáðàæåíèÿ,
ìàòåìàòè÷åñêîãî
ìûøëåíèÿ è èíòóèöèè,
òâîð÷åñêèõ ñïîñîáíîñòåé,
íåîáõîäèìûõ
äëÿ ïðîäîëæåíèÿ
îáðàçîâàíèÿ
è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé
äåÿòåëüíîñòè
â îáëàñòè ìàòåìàòèêè
è åå ïðèëîæåíèé
â áóäóùåé ïðîôåññèîíàëüíîé
äåÿòåëüíîñòè;
· âîñïèòàíèå
ñðåäñòâàìè ìàòåìàòèêè
êóëüòóðû ëè÷íîñòè
÷åðåç çíàêîìñòâî
ñ èñòîðèåé ðàçâèòèÿ
ìàòåìàòèêè,
ýâîëþöèåé ìàòåìàòè÷åñêèõ
èäåé; ïîíèìàíèÿ
çíà÷èìîñòè
ìàòåìàòèêè äëÿ
íàó÷íî-òåõíè÷åñêîãî
ïðîãðåññà.
Ïðîàíàëèçèðóåì
âñå ýòè öåëè ñ
òî÷êè çðåíèÿ
îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå.
 ëèòåðàòóðå öåëè
ðàññìàòðèâàþòñÿ
íà ðàçëè÷íûõ
èåðàðõè÷åñêèõ
óðîâíÿõ. Â äàííîì
ñòàíäàðòå öåëè
ïðåäñòàâëåíû
íà îäíîì óðîâíå.
 ñîâðåìåííîé
ëèòåðàòóðå ïî
òåîðèè è ìåòîäèêå
îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå
ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî
âèäîâ öåëåé, ò.å.
öåëè ðàçëè÷íûõ
óðîâíåé. Ðàññìîòðèì,
íàïðèìåð, òàêèå
óðîâíè öåëåé:
. Ñòðàòåãè÷åñêèå
öåëè.
. Òàêòè÷åñêèå
öåëè.
. Äèàãíîñòèðóåìûå
öåëè.
Öåëè â ñòàíäàðòå
ÿ îòíîøó ê òàêòè÷åñêèì
öåëÿì. Ðàçðàáîòàåì
öåëè, ïðåäñòàâèâ
èõ â âèäå èåðàðõèè.
Ñòðàòåãè÷åñêàÿ
öåëü îáó÷åíèÿ
ìàòåìàòèêå. Åñëè
ìû íå áóäåì ñòàâèòü
ñòðàòåãè÷åñêèå
öåëè, òî ýòèì ñàìûì
ìû îáåäíÿåì íàøå
îáðàçîâàíèå.
Ïîýòîìó ïðè ïîñòàíîâêå
öåëåé îáó÷åíèÿ
ìàòåìàòèêå ìû
äîëæíû âíà÷àëå
óêàçàòü ãëàâíûå
- ñòðàòåãè÷åñêèå
öåëè, ê êîòîðûì
äîëæíû ñòðåìèòüñÿ.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ
ïðèîðèòåòíîå
ìåñòî çàíèìàåò
ëè÷íîñòíûé ïîäõîä
ê îáðàçîâàíèþ.
Ëè÷íîñòíî îðèåíòèðîâàííîå
îáðàçîâàíèå
(â ïåðåâîäå ñ àíãëèéñêîãî
- personality-centered education) - ýòî îáðàçîâàíèå,
êîòîðîå îáåñïå÷èâàåò
ðàçâèòèå è ñàìîðàçâèòèå
ëè÷íîñòè ó÷àùèõñÿ.
Ëè÷íîñòü - ýòî
ñîöèàëüíîå êà÷åñòâî
èíäèâèäà. Ëè÷íîñòü
- ýòî ÷åëîâåê, âçÿòûé
â ñèñòåìå òàêèõ
åãî ïñèõîëîãè÷åñêèõ
õàðàêòåðèñòèê,
êîòîðûå ñîöèàëüíî
îáóñëîâëåíû,
ïðîÿâëÿþòñÿ â
îáùåñòâåííûõ
ïî ïðèðîäå ñâÿçÿõ
è îòíîøåíèÿõ
ÿâëÿþòñÿ óñòîé÷èâûìè,
îïðåäåëÿþò íðàâñòâåííûå
ïîñòóïêè ÷åëîâåêà,
èìåþùèå ñóùåñòâåííîå
çíà÷åíèå äëÿ
íåãî ñàìîãî è
îêðóæàþùèõ.
Ëè÷íîñòíî îðèåíòèðîâàííîå
îáðàçîâàíèå
îñóùåñòâëÿåòñÿ
íà îñíîâå âûÿâëåíèÿ
èíäèâèäóàëüíûõ
îñîáåííîñòåé
ó÷àùèõñÿ, ñóáúåêòíîãî
îïûòà ïîçíàíèÿ
è ïðåäìåòíîé
äåÿòåëüíîñòè.
È åñëè ðàññìàòðèâàòü
ýòîò ïîäõîä, òî
ñòðàòåãè÷åñêîé
öåëüþ ìîæíî íàçâàòü
- ðàçâèòèå ëè÷íîñòè
êàæäîãî ó÷åíèêà.
Ñîîòâåòñòâåííî,
÷òîáû ïîëó÷èòü
ðàçâèòóþ ëè÷íîñòü
ó÷àùåãîñÿ, ìû
íå äîëæíû çàáûâàòü
î ëè÷íîñòè ñàìîãî
ó÷èòåëÿ, ïîýòîìó
ñðåäè ñòðàòåãè÷åñêèõ
öåëåé ìîæíî òàêæå
óêàçàòü ðàçâèòóþ
ëè÷íîñòü ó÷èòåëÿ.
Ñðåäñòâîì äîñòèæåíèÿ
ýòîé öåëè ÿâëÿåòñÿ
ìàòåìàòèêà êàê
øêîëüíûé ïðåäìåò.
Îáîãàùåííîå,
íàó÷íî-îáîñíîâàííîå
ñîäåðæàíèå ìàòåìàòèêè
êàê øêîëüíîãî
ïðåäìåòà ÿâëÿåòñÿ
íåîñïîðèìûì
è íàèáîëåå âàæíûì
àñïåêòîì ýòîé
öåëè.
Òàêòè÷åñêèå
öåëè îáó÷åíèÿ
ìàòåìàòèêå. Êàê
óæå ãîâîðèëîñü
âûøå òàêòè÷åñêèå
öåëè - ýòî öåëè
èç ñòàíäàðòà.
 ýòèõ öåëÿõ íåò
íè ñëîâà îá èíòåãðàöèè
ó÷åáíûõ äèñöèïëèí,
òàêæå îíè íàïèñàíû
áåç ó÷åòà âíåäðåíèÿ
ñèñòåìû êîìïüþòåðíîé
ìàòåìàòèêè MathCAD. Íàøå íûíåøíåå
âðåìÿ íàçûâàåòñÿ
âðåìåíåì èíòåãðàöèé.
Ñêîðî î÷åíü ñëîæíî
áóäåò ïðåäñòàâèòü
ìàòåìàòèêó,
ôèçèêó è äðóãèå
øêîëüíûå äèñöèïëèíû
áåç èíôîðìàòèêè,
à, âåðíåå, áåç êîìïüþòåðà.
Ïîýòîìó èíòåãðàöèÿ
íåîòúåìëåìûé
àòðèáóò îáðàçîâàíèÿ
áóäóùåãî.
Íåðåäêî îäíî
è òî æå ïîíÿòèå
â ðàìêàõ êàæäîãî
êîíêðåòíîãî
ïðåäìåòà îïðåäåëÿåòñÿ
ïî-ðàçíîìó - òàêàÿ
ìíîãîçíà÷íîñòü
íàó÷íûõ òåðìèíîâ
çàòðóäíÿåò âîñïðèÿòèå
ó÷åáíîãî ìàòåðèàëà.
Íåñîãëàñîâàííîñòü
ïðåäëàãàåìûõ
ïðîãðàìì ïðèâîäèò
ê òîìó, ÷òî îäíà
è òà æå òåìà ïî
ðàçíûì ïðåäìåòàì
èçó÷àåòñÿ â ðàçíîå
âðåìÿ. Ýòè ïðîòèâîðå÷èÿ
ëåãêî ñíèìàþòñÿ
â èíòåãðèðîâàííîì
îáó÷åíèè, êîòîðîå
ðåøàåò òàêæå
åù¸ îäíó ïðîáëåìó
- ýêîíîìèè ó÷åáíîãî
âðåìåíè.
Íåîáõîäèìî
òàêæå îòìåòèòü
åù¸ îäèí âàæíûé
ìîìåíò: èíòåãðèðîâàííîå
îáó÷åíèå ïðèçâàíî
îòðàçèòü èíòåãðàöèþ
íàó÷íîãî çíàíèÿ,
îáúåêòèâíî ïðîèñõîäÿùóþ
â îáùåñòâå. Íå
îñâåùàòü ìåæíàó÷íûå
ñâÿçè èëè ïîêàçûâàòü
èõ ïîâåðõíîñòíî
áûëî áû áîëüøèì
íåäîñòàòêîì
ñîâðåìåííîé
øêîëû. Èíòåãðèðîâàííîå
îáó÷åíèå ïîçâîëÿåò
íàèáîëåå ýôôåêòèâíî
ïîêàçàòü ìåæäèñöèïëèíàðíûå
ñâÿçè è åñòåñòâåííîíàó÷íûé
ìåòîä èññëåäîâàíèÿ,
èñïîëüçóåìûé
íà ñòûêå íàóê.
 äåéñòâóþùèõ
äëÿ îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ
øêîë ó÷åáíèêàõ
ïî ìàòåìàòèêå
è èíôîðìàòèêå,
åñòü ìíîãî àáñòðàêòíûõ,
ôîðìàëüíûõ òðåíèðîâî÷íûõ
óïðàæíåíèé äëÿ
îòðàáîòêè òåõíèêè
âû÷èñëåíèÿ, òåõíèêè
ïðèìåíåíèÿ íîâûõ
çíàíèé, ÷òî ÿâëÿåòñÿ,
áåçóñëîâíî, íåîáõîäèìûì
óñëîâèåì âûðàáîòêè
âû÷èñëèòåëüíûõ
íàâûêîâ. Íî ðàáîòà
ñ ïîäîáíûìè óïðàæíåíèÿìè,
îñîáåííî íà ïåðâûõ
ýòàïàõ èçó÷åíèÿ
íîâîé òåìû, ÷àñòî
êàæåòñÿ ó÷àùèìñÿ
ôîðìàëüíîé, à
ïîðîé íåíóæíîé.
Ðàçóìååòñÿ, ñèñòåìàòè÷åñêàÿ
ðàáîòà ïî äàííîé
òåìå ïðèâåäåò,
â êîíå÷íîì ñ÷åòå,
ê ïîëîæèòåëüíûì
ðåçóëüòàòàì
ïî óñòðàíåíèþ
ôîðìàëèçìà â
âîñïðèÿòèè âûïîëíÿåìîé
ðàáîòû. Åñëè ïîêàçàòü
íà îñíîâå èíòåãðàöèè
â íà÷àëå èçó÷åíèÿ
íîâîé òåìû, ïðàêòè÷åñêîå
ðåøåíèå êàêîé-ëèáî
ïðîáëåìû (ìîæåò
áûòü äàæå äîñòàòî÷íî
ñëîæíîé) è ïîä÷åðêíóòü,
÷òî äàëüíåéøàÿ
äåÿòåëüíîñòü
ïî îòðàáîòêå
âû÷èñëèòåëüíûõ
è ïðàêòè÷åñêèõ
íàâûêîâ íóæíà
áóäåò äëÿ òîãî,
÷òîáû â áóäóùåì
ñàìîñòîÿòåëüíî
ðåøàòü ïîäîáíûå
ñëîæíûå ïðîáëåìû,-
òî ýòàï ïðîâåäåíèÿ
òðåíèðîâî÷íûõ
óïðàæíåíèé íå
áóäåò âûãëÿäåòü
îòîðâàííûì îò
ïðàêòè÷åñêèõ
íóæä. Êðîìå òîãî,
âêëþ÷åíèå íà
ýòîì ýòàïå ýëåìåíòîâ
èíòåãðàöèè âñ¸
áîëåå è áîëåå
áóäåò ñïîñîáñòâîâàòü
âûäåëåíèþ ïðàêòè÷åñêîé
çíà÷èìîñòè
ïðîâîäèìîé òðåíèðîâî÷íîé
ðàáîòû.
Ïîýòîìó ÿ ñ÷èòàþ,
÷òî îáÿçàòåëüíî
â òàêòè÷åñêèõ
öåëÿõ íåîáõîäèìî
óêàçûâàòü èíòåãðàöèþ
ìàòåìàòèêè ñ
äðóãèìè øêîëüíûìè
ïðåäìåòàìè, â
äàííîì ñëó÷àå
ÿ ïðåäëàãàþ èíòåãðàöèþ
ìàòåìàòèêè ñ
èíôîðìàòèêîé.
Âîçìîæíû ñëåäóþùèå
òàêòè÷åñêèå
öåëè îáó÷åíèÿ
ìàòåìàòèêå ñ
èñïîëüçîâàíèåì
ñèñòåìû MathCAD:
1. ñîçäàíèå îïòèìàëüíûõ
óñëîâèé äëÿ ðàçâèòèÿ
ìûøëåíèÿ ó÷àùèõñÿ
â ïðîöåññå îáó÷åíèÿ
ìàòåìàòèêå è
èíôîðìàòèêå
íà îñíîâå èíòåãðàöèè
ýòèõ ïðåäìåòîâ.
2. ïîâûøåíèå
è ðàçâèòèå èíòåðåñà
ó÷àùèõñÿ ê óêàçàííûì
ïðåäìåòàì.
Äèàãíîñòèðóåìûå
öåëè. Öåëè, êîòîðûå
áûëè ïîñòàâëåíû
â ñòàíäàðòå íå
äèàãíîñòèðóåìûå.
Äèàãíîñòèðóåìûå
ýòî çíà÷èò òå
öåëè, êîòîðûå ìîæíî
ïðîâåðèòü.
Óêàæåì, íàïðèìåð,
òàêèå äèàãíîñòèðóåìûå
öåëè (äëÿ ïðîôèëüíîãî
êëàññà):
- ó÷àùèéñÿ óìååò
ãðàìîòíî âûïîëíÿòü
àëãîðèòìè÷åñêèå
ïðåäïèñàíèÿ è
èíñòðóêöèè íà
ìàòåìàòè÷åñêîì
ÿçûêå â ñèñòåìå
êîìïüþòåðíîé
ìàòåìàòèêè MathCAD;
ó÷àùèéñÿ óìååò
ïîëüçîâàòüñÿ
ìàòåìàòè÷åñêèìè
ôîðìóëàìè â ñèñòåìå
MathCAD, ñàìîñòîÿòåëüíî
ñîñòàâëÿòü ôîðìóëû
çàâèñèìîñòåé
ìåæäó âåëè÷èíàìè
ó÷àùèéñÿ óìååò
ïðîâîäèòü àðãóìåíòèðîâàííûå
ðàññóæäåíèÿ,
äåëàòü ëîãè÷åñêè
îáîñíîâàííûå
âûâîäû, îòëè÷àòü
äîêàçàííûå óòâåðæäåíèÿ
îò íåäîêàçàííûõ,
àðãóìåíòèðîâàòü
ñóæäåíèÿ.
Òåïåðü ïîñòàâèì
äèàãíîñòèðóåìûå
öåëè, êîòîðûå îòíîñÿòñÿ
íåïîñðåäñòâåííî
ê òåìå äàííîé
ðàáîòû:
1. ×åòêîå ïðåäñòàâëåíèå
ó÷àùèõñÿ î ïîíÿòèÿõ
ðåøåíèè ñèñòåìû,
ìíîæåñòâå ðåøåíèé,
î ðàâíîñèëüíîñòè
ñèñòåì ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé.
2. Îâëàäåíèå ìåòîäîì
ïîñëåäîâàòåëüíîãî
èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ
. Âûÿâëåíèå òèïîâ
ñèñòåì ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé ñ ïîìîùüþ
âñòðîåííûõ ôóíêöèé.
Âñå ýòè öåëè
ñòàâèò ó÷èòåëü
â ïðîöåññå îáó÷åíèÿ.
Íî ñóùåñòâóþò
è öåëè ó÷åíèêîâ.
Åñëè ìû áóäåì
ðåàëèçîâûâàòü
ëè÷íîñòíî îðèåíòèðîâàííûé
ïîäõîä ê îáó÷åíèþ
ìàòåìàòèêå, òî
ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü
öåëè ñàìèõ ó÷àùèõñÿ,
êîòîðûå äîëæíû
ïîñòàâèòü ñàìè
ó÷àùèåñÿ.
.2 Àíàëèç
ñîäåðæàíèÿ øêîëüíûõ
ó÷åáíèêîâ ïî
òåìå: "Ñèñòåìà
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé"
 íàñòîÿùåå
âðåìÿ ñóùåñòâóåò
ìíîãî ó÷åáíîé
ëèòåðàòóðû, êàê
äëÿ îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ
êëàññîâ, òàê è
äëÿ ïðîôèëüíûõ
êëàññîâ. Íî íå
êàæäûé ó÷åáíèê
ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòíûì
äëÿ ó÷àùèõñÿ.
Íåêîòîðûì äåòÿì
áûâàåò òðóäíî
ó÷èòüñÿ ïî ýòèì
ó÷åáíèêàì è
íå âñåãäà ïðîéäåííûé
ìàòåðèàë óñâàèâàåòñÿ
ïîëíîñòüþ. Ïîýòîìó
ÿ ïðîâåëà àíàëèç
ñîäåðæàíèÿ øêîëüíûõ
ó÷åáíèêîâ ïî
òåìå "Ñèñòåìû
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé".
Âñå ó÷åáíèêè
ìíîþ ïðîàíàëèçèðîâàííûå
ñîîòâåòñòâóþò
îáÿçàòåëüíîìó
ìèíèìóìó ñîäåðæàíèÿ
îáùåãî îáðàçîâàíèÿ
1998 ãîäà è äîðàáîòàííûå
ïî ôåäåðàëüíîìó
êîìïîíåíòó ãîñóäàðñòâåííîãî
ñòàíäàðòà îáùåãî
îáðàçîâàíèÿ.
Èçó÷åíèå ñèñòåì
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
íà÷èíàåòñÿ â
7 êëàññå è ñèñòåìàòèçèðóåòñÿ
è óãëóáëÿåòñÿ
â êîíöå 11 êëàññà.
Ðàññìîòðèì
äëÿ íà÷àëà ó÷åáíèê
7 êëàññà, ñîñòàâëåííûé
Ìàêàðû÷åâûì
Þ.Í., Ìèíäþê Í.Ã.
è äðóãèìè [2]. Â íåì
ðàññìàòðèâàþòñÿ
òîëüêî ñèñòåìû
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè.
Îïðåäåëåíèÿ ñèñòåìû
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
â ýòîì ó÷åáíèêå
íå äàåòñÿ, äàåòñÿ
òîëüêî îïðåäåëåíèÿ
ðåøåíèÿ ñèñòåìû
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
è ðàâíîñèëüíûõ
ñèñòåì. Ðàññìàòðèâàþòñÿ
ñëåäóþùèå ñïîñîáû
ðåøåíèÿ ñèñòåì:
ãðàôè÷åñêèé,
ñïîñîá ïîäñòàíîâêè,
ñïîñîá ñëîæåíèÿ.
Ïîñëå êàæäîãî
ñïîñîáà ñèñòåìà
äèäàêòè÷åñêèõ
óïðàæíåíèé. Ñðàçó
æå âîçíèêàåò
âîïðîñ: ÷òî ýòî
çà ñïîñîá ñëîæåíèÿ?
Âîò ÷òî íàïèñàíî
â ó÷åáíèêå: "ðàññìîòðèì
åùå îäèí ñïîñîá
ðåøåíèÿ ñèñòåì
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
- ñïîñîá ñëîæåíèÿ.
Ïðè ðåøåíèè ñèñòåì
ýòèì ñïîñîáîì,
êàê è ïðè ðåøåíèè
ñïîñîáîì ïîäñòàíîâêè,
ìû ïåðåõîäèì îò
äàííîé ñèñòåìû
ê äðóãîé, ðàâíîñèëüíîé
åé ñèñòåìå, â
êîòîðîé îäíî èç
óðàâíåíèé ñîäåðæèò
òîëüêî îäíó ïåðåìåííóþ".
Çàòåì ðàññìàòðèâàþòñÿ
ïðèìåðû, ïîñëå
êîòîðûõ çàïèñàí
àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ
ðåøåíèÿ ñïîñîáîì
ñëîæåíèÿ:
1) Óìíîæàþò ïî÷ëåííî
óðàâíåíèÿ ñèñòåìû,
ïîäáèðàÿ ìíîæèòåëè
òàê, ÷òîáû êîýôôèöèåíòû
ïðè îäíîé èç ïåðåìåííûõ
ñòàëè ïðîòèâîïîëîæíûìè
÷èñëàìè;
2) Ñêëàäûâàþò
ïî÷ëåííî ëåâûå
è ïðàâûå ÷àñòè
óðàâíåíèé ñèñòåìû;
3) Ðåøàþò ïîëó÷èâøååñÿ
óðàâíåíèå ñ îäíîé
ïåðåìåííîé;
4) Íàõîäÿò ñîîòâåòñòâóþùåå
çíà÷åíèå âòîðîé
ïåðåìåíîé.
Ó ðåáÿò îäíîçíà÷íî
âîçíèêíóò âîïðîñû:
à çà÷åì ìû óìíîæàåì,
çà÷åì ïîäáèðàåì
ìíîæèòåëè òàê,
÷òîáû êîýôôèöèåíòû
ïðè îäíîé èç ïåðåìåííûõ
ñòàëè ïðîòèâîïîëîæíûìè,
çà÷åì ñêëàäûâàåì,
è åùå êó÷à äðóãèõ
âîïðîñîâ. Èç ýòîãî
ó÷åáíèêà íå âèäíî,
÷òî äåëàòü, åñëè
ïåðåìåííûõ íå
äâå, à áîëüøå?
Ñëåäóþùèé ó÷åáíèê,
êîòîðûé ÿ ðàññìîòðåëà,
ýòî ó÷åáíèê
7 êëàññà àâòîðà
À.Ã. Ìîðäêîâè÷à
[3]. Â íåì åñòü, õîòÿ
è íå òî÷íîå, îïðåäåëåíèå
ñèñòåìû ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé, êîòîðîå
ââîäèòñÿ èñõîäÿ
èç ïðàêòèêè. Îïðåäåëåíèå
èç ó÷åáíèêà
çâó÷èò ñëåäóþùèì
îáðàçîì: "åñëè
äàíû äâà óðàâíåíèÿ
ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè
x è y : è è ïîñòàâëåíà
çàäà÷à - íàéòè
òàêèå ïàðû çíà÷åíèé
, êîòîðûå
îäíîâðåìåííî
óäîâëåòâîðÿþò
è òîìó, è äðóãîìó
óðàâíåíèþ, òî
ãîâîðÿò, ÷òî çàäàííûå
óðàâíåíèÿ îáðàçóþò
ñèñòåìó óðàâíåíèé.
Óðàâíåíèÿ çàïèñûâàþòñÿ
äðóã ïîä äðóãîì
è îáúåäèíÿþòñÿ
ñïåöèàëüíûì ñèìâîëîì
- ôèãóðíîé ñêîáêîé.
Îïðåäåëåíèå óðàâíåíèÿ
ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè
äàíî áûëî ðàíåå
- òàê íàçûâàþò
ðàâåíñòâî , ãäå ,, - êîíêðåòíûå
÷èñëà, ïðè÷åì
, , à ,- ïåðåìåííûå
(íåèçâåñòíûå).
Ðåøåíèåì ëèíåéíîãî
óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ
íåèçâåñòíûìè
íàçûâàþò âñÿêóþ
ïàðó ÷èñåë , êîòîðàÿ
óäîâëåòâîðÿåò
óðàâíåíèþ, ò.å.
îáðàùàåò ðàâåíñòâî
ñ ïåðåìåííûìè
â âåðíîå
÷èñëîâîå ðàâåíñòâî.
Íà ïåðâîì ìåñòå
âñåãäà ïèøóò
çíà÷åíèå ïåðåìåííîé
, íà âòîðîì
- çíà÷åíèå ïåðåìåííîé
. Îïðåäåëåíèå
èç ó÷åáíèêà
î÷åíü áëèçêî
ê èñòèííîìó
îïðåäåëåíèþ ñèñòåìû
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé,
êîòîðîå áûëî íàìè
äàíî â ãëàâå 1, ïóíêò
1.1. Íàïîìíèì åãî
Ñèñòåìîé èç
m-ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé ñ n íåèçâåñòíûìè
íàä ïîëåì P íàçûâàåòñÿ
ñèñòåìà âèäà
(1)
………………………...
Ãäå , , ,
Çäåñü òàêæå
ðàññìàòðèâàþòñÿ
ñèñòåìû òîëüêî
ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè.
Îïðåäåëåíèå ðåøåíèÿ
ñèñòåìû ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé ââîäèòñÿ
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
ïàðó çíà÷åíèé
, êîòîðàÿ
îäíîâðåìåííî
ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì
è ïåðâîãî è âòîðîãî,
íàçûâàþò ðåøåíèåì
ñèñòåìû. Ðåøèòü
ñèñòåìó - ýòî
çíà÷èò íàéòè
âñå åå ðåøåíèÿ
èëè óñòàíîâèòü,
÷òî èõ íåò.
Äàëåå ðàññìàòðèâàþòñÿ
ìåòîäû ðåøåíèÿ
ñèñòåì ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé. Îíè
ôàêòè÷åñêè ñîâïàäàþò
ñ ìåòîäàìè èç
ïðåäûäóùåãî ó÷åáíèêà.
Ïåðâûé ðàññìîòðåííûé
ìåòîä - ãðàôè÷åñêèé.
Îí ðàññìàòðèâàåòñÿ
íà êîíêðåòíûõ
ïðèìåðàõ. Óêàçàíû
íåäîñòàòêè ýòîãî
ìåòîäà: "ê ñîæàëåíèþ,
ãðàôè÷åñêèé
ìåòîä, êàê è ìåòîä
óãàäûâàíèÿ, íå
ñàìûé íàäåæíûé.
Âî-ïåðâûõ, ïðÿìûå
ìîãóò ïðîñòî
íå óìåñòèòüñÿ
íà ÷åðòåæå. Âî-âòîðûõ,
ïðÿìûå ìîãóò
óìåñòèòüñÿ íà
÷åðòåæå, íî ïåðåñå÷üñÿ
â òî÷êå, êîîðäèíàòû
êîòîðîé ïî ÷åðòåæó
íå î÷åíü ëåãêî
îïðåäåëèòü."
Íî ñ ïîìîùüþ
ãðàôè÷åñêîãî
ìåòîäà â ýòîì
ó÷åáíèêå ââîäÿòñÿ
îïðåäåëåíèÿ íåñîâìåñòíîé
è íåîïðåäåëåííîé
ñèñòåì.
" ïðÿìûå ìîãóò
ïåðåñåêàòüñÿ,
ïðè÷åì òîëüêî
â îäíîé òî÷êå,
- ýòî çíà÷èò, ÷òî
ñèñòåìà èìååò
åäèíñòâåííîå
ðåøåíèå;
Ýòè ïðÿìûå ìîãóò
áûòü ïàðàëëåëüíûìè
- ýòî çíà÷èò, ÷òî
ñèñòåìà íå èìååò
ðåøåíèé (ãîâîðÿò
òàêæå, ÷òî ñèñòåìà
íåñîâìåñòíà);
Ýòè ïðÿìûå ìîãóò
ñîâïàñòü - ýòî
çíà÷èò, ÷òî ñèñòåìà
èìååò áåñêîíå÷íî
ìíîãî ðåøåíèé
(ãîâîðÿò òàêæå,
÷òî ñèñòåìà
íåîïðåäåëåííà)."
Ìîæíî íàçâàòü
ýòî áîëüøèì
"ïëþñîì" ó÷åáíèêà,
òàê êàê ýòî óæå
èäåò èññëåäîâàíèå
ñèñòåì ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé.
Ñëåäóþùèé ðàññìîòðåííûé
ìåòîä - ìåòîä ïîäñòàíîâêè.
Çäåñü ââåäåí àëãîðèòì
ðåøåíèÿ ñèñòåì
äâóõ óðàâíåíèé
ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè
ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè
1. Âûðàçèòü ó ÷åðåç
õ èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ
ñèñòåìû.
2. Ïîäñòàâèòü
ïîëó÷åííîå íà
ïåðâîì øàãå âûðàæåíèå
âìåñòî ó âî âòîðîå
óðàâíåíèå ñèñòåìû.
3. Ðåøèòü ïîëó÷åííîå
íà âòîðîì øàãå
óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî
õ.
. Ïîäñòàâèòü
íàéäåííîå íà
òðåòüåì øàãå
çíà÷åíèå õ â
âûðàæåíèå ó ÷åðåç
õ, ïîëó÷åííîå
íà ïåðâîì øàãå.
. Çàïèñàòü îòâåò
â âèäå ïàðû çíà÷åíèé
, êîòîðûå
áûëè íàéäåíû
ñîîòâåòñòâåííî
íà òðåòüåì è ÷åòâåðòîì
øàãàõ.
Äåòè ïîëó÷èëè
ýòîò àëãîðèòì
è íà÷àëè ñ íèì
ðàáîòàòü. Îíè
áóäóò ÷åòêî ñëåäîâàòü
åãî ïóíêòàì. Õîòÿ
çäåñü âîçìîæíû
ðàçëè÷íûå ïóòè
ðåøåíèÿ: ìîæíî,
íàïðèìåð, âûðàçèòü
õ ÷åðåç ó, ìîæíî
âûðàæàòü íå èç
ïåðâîãî óðàâíåíèÿ,
à èç âòîðîãî. È
îïÿòü âîçíèêàåò
âîïðîñ: à ÷òî äåëàòü,
åñëè óðàâíåíèé
â ñèñòåìå áóäåò
áîëüøå ÷åì äâà
è ïåðåìåííûõ
áóäåò òîæå áîëüøå?
Ýòîò âîïðîñ äëÿ
ðåáÿò îñòàíåòñÿ
îòêðûòûì.
Äàëåå èäåò ìåòîä
àëãåáðàè÷åñêîãî
ñëîæåíèÿ. Âîò
êàê ââîäèòñÿ
ýòîò ìåòîä:
" ðàññìîòðèì
ñèñòåìó, êîòîðóþ
ìû ðåøèëè â ïðåäûäóùåì
ïàðàãðàôå
Êàê ìû ðåøàëè
ýòó ñèñòåìó?
Ìû âûðàçèëè èç ïåðâîãî
óðàâíåíèÿ è ïîäñòàâèëè
ðåçóëüòàò âî
âòîðîå, ÷òî ïðèâåëî
ê óðàâíåíèþ ñ
îäíîé ïåðåìåííîé
, ò.å. ê ôàêòè÷åñêè
ê âðåìåííîìó
èñêëþ÷åíèþ èç
ðàññìîòðåíèÿ
ïåðåìåííîé . Íî èñêëþ÷èòü
èç ðàññìîòðåíèÿ
ìîæíî áûëî áû
ãîðàçäî ïðîùå
- äîñòàòî÷íî ñëîæèòü
îáà óðàâíåíèÿ
ñèñòåìû (ñëîæèòü
óðàâíåíèÿ -ýòî
çíà÷èò ïî îòäåëüíîñòè
ñîñòàâèò ñóììó
ëåâûõ ÷àñòåé,
ñóììó ïðàâûõ
÷àñòåé óðàâíåíèé
è ïîëó÷åííûå
ñóììû ïðèðàâíÿòü):
,
.
;
Çàòåì ìîæíî
áûëî íàéäåííîå
çíà÷åíèå ïîäñòàâèòü
â ëþáîå óðàâíåíèå
ñèñòåìû, íàïðèìåð
â ïåðâîå, è íàéòè
:
;
;
.
Äàëüøå â ó÷åáíèêå
ïðèìåíÿþòñÿ àíàëîãè÷íûå
ðàññóæäåíèÿ
åùå äëÿ íåñêîëüêèõ
ñèñòåì, è â êîíöå
ýòîãî ïàðàãðàôà
ãîâîðèòñÿ, ÷òî
ðàññìîòðåííûé
ìåòîä íàçûâàþò
ìåòîäîì àëãåáðàè÷åñêîãî
ñëîæåíèÿ. Íà ýòîì
çàêàí÷èâàåòñÿ
èçó÷åíèå ñèñòåì
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
è ñïîñîáîâ èõ
ðåøåíèÿ."
Ïðîàíàëèçèðóåì
ïîñëåäíèé ðàññìîòðåííûé
íàìè â ýòîì ó÷åáíèêå
ìåòîä - ìåòîä àëãåáðàè÷åñêîãî
ñëîæåíèÿ. Óæå
ñàìî íàçâàíèå
ìåòîäà íåêîððåêòíî.
Ïî ñâîåé ñóòè
ýòîò ìåòîä ðåøåíèÿ
íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì
ïîñëåäîâàòåëüíîãî
èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ,
à àëãåáðàè÷åñêîå
ñëîæåíèå - ýòî
âñåãî ëèøü ñðåäñòâî
ýòîãî ìåòîäà,
êàê ïðèìåíÿåòñÿ
ýòîò ìåòîä íà
ïðàêòèêå áûëî
ðàññìîòðåíî
â ïåðâîé ãëàâå
äàííîé ðàáîòû
â ïàðàãðàôå ìàòåìàòè÷åñêèå
îñíîâû. Â ýòîì
ó÷åáíèêå ïðè
ðåøåíèè "òåðÿåòñÿ"
çíàê ñèñòåìû,
à çíà÷èò è ñàìà
ñèñòåìà. Ïîëó÷àåòñÿ,
÷òî íà÷èíàëè
ðåøàòü ñèñòåìó
èç äâóõ óðàâíåíèé,
çàòåì ñëîæèëè
îáà óðàâíåíèÿ
è ïîëó÷èëè â èòîãå
îäíî óðàâíåíèå
ñ îäíîé ïåðåìåííîé?!
 ó÷åáíèêå â ýòîì
ðàçäåëå íåò íè
íå åäèíîãî ñëîâà
î ðàâíîñèëüíîñòè!
Ýòîãî íå äîëæíî
áûòü! Äåòè äîëæíû
ïîíèìàòü, ÷òî
îíè äåëàþò íà
ñàìîì äåëå ñ ñèñòåìîé
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé,
ïî÷åìó ìû èìååì
ïðàâî ñêëàäûâàòü
äâà óðàâíåíèÿ,
è ÷òî â èòîãå
äîëæíî ïîëó÷èòüñÿ.
È íè â êîåì ñëó÷àå
ìû íå äîëæíû òåðÿòü
çíàê ñèñòåìû,
îáÿçàòåëüíî
äîëæíî áûòü îïðåäåëåíèå
ðàâíîñèëüíîñòè
ñèñòåì óðàâíåíèé.
Îïðåäåëåíèå ðàâíîñèëüíîñòè
áûëî äàíî íàìè
â ïåðâîé ãëàâå
äàííîé ðàáîòû,
â ïàðàãðàôå 1.1 Ìàòåìàòè÷åñêèå
îñíîâû.
Äàëåå èäóò ðàçëè÷íîãî
òèïà óïðàæíåíèÿ,
è íà ýòîì èçó÷åíèå
ñèñòåì ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé çàêàí÷èâàåòñÿ
è âñòðå÷àåòñÿ
òîëüêî â 11 êëàññå,
êàê ïîâòîðåíèå,
óñëîæíåíèÿ ñèñòåì
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
íå íàáëþäàåòñÿ.
Ò.å. óâåëè÷åíèå
÷èñëà íåèçâåñòíûõ,
÷èñëà ñàìèõ
óðàâíåíèé, ñèñòåì,
êîòîðûå èìåþò
íååäèíñòâåííîå
ðåøåíèå èëè âîâñå
íå èìåþò ðåøåíèÿ,
íåò.  ó÷åáíèêå
Ìîðäêîâè÷à À.Ã.
äëÿ 11 êëàññîâ ñèñòåìû
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
íå âñòðå÷àþòñÿ.
Êàê óæå ãîâîðèëîñü
âûøå, èçó÷åíèå
ñèñòåì ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé â øêîëüíîé
ïðîãðàììå ïðîèñõîäèò
äâàæäû: â 7 êëàññå
è â 11 êëàññå. Ïðîàíàëèçèðóåì
òåïåðü ó÷åáíèêè
11 êëàññà ðåêîìåíäîâàííûå
ìèíèñòåðñòâîì
îáðàçîâàíèÿ.
Ðàññìîòðèì
ó÷åáíèê äëÿ 11 êëàññà
àâòîðà Âèëåíêèí
Í.ß..  ýòîì ó÷åáíèêå
êîíêðåòíî íå
ðàññìàòðèâàþòñÿ
ñèñòåìû ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé, çäåñü
ðàññìàòðèâàþòñÿ
â îáùåì âèäå ñèñòåìû
è ñîâîêóïíîñòè
óðàâíåíèé. Äàíî
îïðåäåëåíèå ñèñòåìû
óðàâíåíèé:
"Ïóñòü çàäàíû
äâà óðàâíåíèÿ
è . Ïåðâîå
èç ýòèõ óðàâíåíèé
çàäàåò íà ïëîñêîñòè
ëèíèþ , à âòîðîå
- ëèíèþ . ×òîáû
íàéòè òî÷êè
ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ
ëèíèé, íàäî íàéòè
âñå ïàðû ÷èñåë
, òàêèå,
÷òî ïðè çàìåíå
â äàííûõ óðàâíåíèÿõ
íà è íà ïîëó÷àþòñÿ
âåðíûå ðàâåíñòâà.
Åñëè ïîñòàâëåíà
çàäà÷à îá îòûñêàíèè
âñåõ òàêèõ ïàð
÷èñåë, òî ãîâîðÿò,
÷òî çàäàíà ñèñòåìà
óðàâíåíèé. Ñîâîêóïíîñòü
âñåõ ïàð ÷èñåë
òàêèõ,
÷òî ïðè ïîäñòàíîâêå
âìåñòî
è âìåñòî
ïîëó÷àþòñÿ
âåðíûå ÷èñëîâûå
ðàâåíñòâà, îáðàçóåò
ðåøåíèå äàííîé
ñèñòåìû.
Àíàëîãè÷íî
îïðåäåëÿþòñÿ
ñèñòåìû óðàâíåíèé
ñ òðåìÿ è áîëüøèì
÷èñëîì ïåðåìåííûõ.
Êàê ïðàâèëî, ÷èñëî
óðàâíåíèé ñèñòåìû
äîëæíî ðàâíÿòüñÿ
÷èñëó ïåðåìåííûõ.
Ñèñòåìû
óðàâíåíèé, íå
èìåþùèå ðåøåíèé
(èëè, ÷òî òî æå
ñàìîå, ñ ïóñòûì
ìíîæåñòâîì ðåøåíèé),
íàçûâàþò íåñîâìåñòíûìè.
Êàê ïðàâèëî, íåñîâìåñòíûìè
îêàçûâàþòñÿ
ñèñòåìû óðàâíåíèé,
â êîòîðûõ ÷èñëî
óðàâíåíèé áîëüøå
÷èñëà ïåðåìåííûõ"
Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå
èç ýòîãî ó÷åáíèêà
íå âåðíîå - íåñîâìåñòíîñòü
ñèñòåìû óðàâíåíèé
íå çàâèñèò îò
÷èñëà óðàâíåíèé
èëè ïåðåìåííûõ.
 ïåðâîé ãëàâå
ïîêàçàíî, ÷òî
ñèñòåìà íåñîâìåñòíà,
êîãäà ðàíã îñíîâíîé
ìàòðèöû íå ðàâåí
ðàíãó ðàñøèðåííîé.
Ïðèâåäåì ïðèìåð,
îïðîâåðãàþùèé
äàííîå óòâåðæäåíèå.
Ðàññìîòðèì íåáîëüøóþ
ñèñòåìó è íàéäåì
åå ðåøåíèå:
Ðåøàòü áóäåì
ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíîãî
èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ
è ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè.
Ìû äîëæíû èñêëþ÷èòü
ïåðåìåííóþ , äëÿ ýòîãî
íóæíî ïåðåïèñàòü
ïåðâîå óðàâíåíèå
áåç èçìåíåíèÿ,
êî âòîðîìó ïðèáàâèòü
ïåðâîå, óìíîæåííîå
íà , à ê òðåòüåìó
ïðèáàâèòü ïåðâîå,
óìíîæåííîå íà
. Ïîëó÷èì
ñèñòåìó ðàâíîñèëüíóþ
äàííîé:
Çàòåì ïåðâîå
ñî âòîðûì îñòàâëÿåì
áåç èçìåíåíèé,
à ê òðåòüåìó ïðèáàâëÿåì
âòîðîå, óìíîæåííîå
íà (-1). Ïîëó÷èëè
Òåïåðü èç âòîðîãî
óðàâíåíèÿ íàõîäèì
çíà÷åíèå , ïîäñòàâëÿåì
åãî â ïåðâîå óðàâíåíèå
è íàõîäèì çíà÷åíèå
. Ïîëó÷èëè
óïîðÿäî÷åííóþ
ïàðó (2;5), êîòîðàÿ
è ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì
äàííîé ñèñòåìû
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.
Ðàññóæäåíèÿ,
ïðîâåäåííûå ïðè
ðåøåíèè äàííîãî
ïðèìåðà, äîëæíû
áûòü è ó øêîëüíèêîâ
ïðè ðåøåíèè ëþáîé
ñèñòåìû óðàâíåíèé,
è íå òîëüêî ñèñòåìû
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.
Äàëåå ââîäèòñÿ
îïðåäåëåíèå ðàâíîñèëüíûõ
ñèñòåì, è ðàññìàòðèâàþòñÿ
ìåòîäû ðåøåíèÿ
ñèñòåì óðàâíåíèé
â îáùåì âèäå. Îñòàíîâèìñÿ
íà ìåòîäå, êîòîðûé
íàçûâàåòñÿ ìåòîä
àëãåáðàè÷åñêîãî
ñëîæåíèÿ óðàâíåíèé.
 ýòîì ó÷åáíèêå
îí ââîäèòñÿ î÷åíü
êîððåêòíî, íå âçèðàÿ
íà ñàìî îïðåäåëåíèå
ìåòîäà.  íà÷àëå
ïóíêòà ââîäèòñÿ
òåîðåìà:
"Òåîðåìà. Ïóñòü
ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà
äëÿ âñåõ ïàð , ïðè êîòîðûõ
îïðåäåëåíû îáå
ôóíêöèè F è Ô. Òîãäà ñèñòåìà
óðàâíåíèé
(1)
Ðàâíîñèëüíà
ñèñòåìå óðàâíåíèé
Èíûìè ñëîâàìè,
ïðè ðåøåíèè ñèñòåì
óðàâíåíèé ìîæíî
ïðèáàâëÿòü ê îäíîìó
èç óðàâíåíèé
ñèñòåìû äðóãîå
óðàâíåíèå òîé
æå ñèñòåìû, óìíîæåííîå
íà íåêîòîðûé
ìíîæèòåëü.
Ñëåäñòâèå. Åñëè
ê îäíîìó èç óðàâíåíèé
ñèñòåìû (1) ïðèáàâèòü
äðóãîå óðàâíåíèå
òîé æå ñèñòåìû,
óìíîæåííîå íà
íåêîòîðîå ÷èñëî
, à äðóãîå
îñòàâèòü áåç
èçìåíåíèÿ, òî
ïîëó÷èì ñèñòåìó,
ðàâíîñèëüíóþ
äàííîé".
Äàëåå èäóò êîíêðåòíûå
ïðèìåðû, ñðåäè
êîòîðûõ íåò ñèñòåì
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.
Ýòîò ó÷åáíèê
ïîäõîäèò äëÿ óãëóáëåííîãî
èçó÷åíèÿ ìàòåìàòèêè,
íåîáõîäèìî òîëüêî
äîáàâèòü ñòðîãîå
îïðåäåëåíèå ñèñòåì
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.
Ðàññìîòðèì
åùå îäèí ó÷åáíèê
äëÿ 10-11 êëàññîâ ïîä
ðåäàêöèåé À.Í.Êîëìîãîðîâà
(ãîä èçäàíèÿ
1983).  íà÷àëå òåìû
"Ñèñòåìû óðàâíåíèé
è íåðàâåíñòâ"
äàåòñÿ îïðåäåëåíèå
ñèñòåìû óðàâíåíèé
è åå ðåøåíèÿ, äàëåå
ãîâîðèòñÿ î ðàâíîñèëüíîñòè:
Äâå ñèñòåìû
óðàâíåíèé íàçûâàþòñÿ
ðàâíîñèëüíûìè,
åñëè îíè èìåþò
îäíî è òî æå ìíîæåñòâî
ðåøåíèé. Â õîäå
ðåøåíèÿ ñèñòåìó
óðàâíåíèé ïîñëåäîâàòåëüíî
çàìåíÿþò ðàâíîñèëüíûìè
åé âñå áîëåå ïðîñòûìè
ñèñòåìàìè, ïîêà
íå ïîëó÷àò ñèñòåìó,
ðåøåíèÿ êîòîðîé
íàõîäÿòñÿ áåç
òðóäà. Ïðè ýòîì
ïîëüçóþòñÿ, â
÷àñòíîñòè, ñëåäóþùèìè
ïðàâèëàìè.
1. Ïðàâèëî çàìåíû.
Çàìåíèâ â ñèñòåìå
îäíî èç óðàâíåíèé
íà ðàâíîñèëüíîå,
ïîëó÷èì ñèñòåìó,
ðàâíîñèëüíóþ
ïåðâîíà÷àëüíîé.
2. Ïðàâèëî ïîäñòàíîâêè.
Åñëè îäíî èç óðàâíåíèé
ñèñòåìû èìååò
âèä
(- ïðîèçâîëüíîå
âûðàæåíèå, íå
ñîäåðæàùåå ), òî, çàìåíèâ
âî âñåõ îñòàëüíûõ
óðàâíåíèÿõ ñèñòåìû
ïåðåìåííóþ íà âûðàæåíèå
, ïîëó÷èì
ñèñòåìó, ðàâíîñèëüíóþ
ïåðâîíà÷àëüíîé.
3. Ïðàâèëî ñëîæåíèÿ.
Åñëè â ñèñòåìó
âõîäÿò óðàâíåíèÿ
è
(,, è - êàêèå-òî
âûðàæåíèÿ îòíîñèòåëüíî
ïåðåìåííûõ), òî
îäíî èç ýòèõ óðàâíåíèé,
íàïðèìåð âòîðîå,
ìîæíî çàìåíèòü
óðàâíåíèåì
Ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîñèëüíàÿ
ñèñòåìà. Ýòî
ïðàâèëî âûðàæàþò
ñëîâåñíî òàê:
ëþáîå óðàâíåíèå
ñèñòåìû ìîæíî
çàìåíèòü íà óðàâíåíèå,
êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ
ïðè åãî ñëîæåíèè
ñ ëþáûì äðóãèì
óðàâíåíèåì ýòîé
ñèñòåìû.
 ýòîì ó÷åáíèêå
íå òåðÿåòñÿ çíàê
ñèñòåìû, êàæäûé
øàã îáîñíîâàí.
Ïîñëå ðàâíîñèëüíîñòè
è ìåòîäîâ ðåøåíèÿ
ñèñòåì èäåò îïðåäåëåíèå
ñèñòåìû ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé (Çàìåòèì,
÷òî â ó÷åáíèêå
Âèëåíêèíà Í.ß.
íåò íè ñëîâà î
ñèñòåìå ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé).
Ëèíåéíûì óðàâíåíèåì
ñ ïåðåìåííûìè
, , , íàçûâàåòñÿ
óðàâíåíèå âèäà
Ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ
òîëüêî èç ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé, íàçûâàåòñÿ
ñèñòåìîé ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé.
Äàëåå íà êîíêðåòíûõ
ïðèìåðàõ ðàññìàòðèâàåòñÿ,
êàê ïðèìåíÿþòñÿ
ïðàâèëà, ñôîðìóëèðîâàííûå
âûøå. Âàæíî çàìåòèòü,
÷òî èñïîëüçóþòñÿ
ñèñòåìû áîëüøå
÷åì ñ äâóìÿ íåèçâåñòíûìè,
à òàêæå ñèñòåìû,
èìåþùèå íååäèíñòâåííîå
ðåøåíèå, ââîäèòñÿ
ïîíÿòèå òðåóãîëüíîé
ñèñòåìû.
Ïî ìîåìó ìíåíèþ,
ó÷åáíèê ïîä ðåäàêöèåé
À.Í.Êîëìîãîðîâà,
íå ñìîòðÿ íà òî,
÷òî ýòîò ó÷åáíèê
áîëåå ðàííèé,
÷åì âñå îñòàëüíûå,
íàèáîëåå ïîäõîäÿùèé
äëÿ èçó÷åíèÿ
ñèñòåì ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé.
2.3 Ôîðìû îðãàíèçàöèè
îáó÷åíèÿ
Ïîëèòè÷åñêèå,
ýêîíîìè÷åñêèå
è ñîöèàëüíûå
èçìåíåíèÿ, êîòîðûå
ïðîèçîøëè â íàøåé
ñòðàíå çà ïîñëåäíåå
äåñÿòèëåòèå,
âûçâàëè ïîòðåáíîñòü
â ìîäåðíèçàöèè
îáðàçîâàíèÿ,
â åãî ñîäåðæàòåëüíîì
è ñòðóêòóðíîì
îáíîâëåíèè.
 ñîîòâåòñòâèè
ñ ðàñïîðÿæåíèåì
Ïðàâèòåëüñòâà
Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè
îò 29 äåêàáðÿ 2001 ã.
¹1756-ð îá îäîáðåíèè
Êîíöåïöèè ìîäåðíèçàöèè
ðîññèéñêîãî
îáðàçîâàíèÿ
íà ïåðèîä äî 2010 ã.
íà ñòàðøåé ñòóïåíè
îáùåîáðàçîâàòåëüíîé
øêîëû ïðåäóñìàòðèâàåòñÿ
ïðîôèëüíîå îáó÷åíèå.
Ñòàâèòñÿ çàäà÷à
ñîçäàíèÿ "ñèñòåìû
ñïåöèàëèçèðîâàííîé
ïîäãîòîâêè (ïðîôèëüíîãî
îáó÷åíèÿ) â ñòàðøèõ
êëàññàõ îáùåîáðàçîâàòåëüíîé
øêîëû, îðèåíòèðîâàííîé
íà èíäèâèäóàëèçàöèþ
îáó÷åíèÿ è ñîöèàëèçàöèþ
îáó÷àþùèõñÿ,
â òîì ÷èñëå ñ ó÷åòîì
ðåàëüíûõ ïîòðåáíîñòåé
ðûíêà òðóäà
<…> îòðàáîòêè ãèáêîé
ñèñòåìû ïðîôèëåé
è êîîïåðàöèè ñòàðøåé
ñòóïåíè øêîëû
ñ ó÷ðåæäåíèÿìè
íà÷àëüíîãî, ñðåäíåãî
è âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî
îáðàçîâàíèÿ".
 "Êîíöåïöèè
ìîäåðíèçàöèè
Ðîññèéñêîãî
îáðàçîâàíèÿ
íà ïåðèîä äî 2010 ãîäà"
ñðåäè íåîáõîäèìûõ
óñëîâèé äîñòèæåíèÿ
íîâîãî, ñîâðåìåííîãî
êà÷åñòâà îáùåãî
îáðàçîâàíèÿ
íàçâàíû ëè÷íîñòíàÿ
îðèåíòèðîâàííîñòü,
äèôôåðåíöèàöèÿ
è èíäèâèäóàëèçàöèÿ
îáðàçîâàíèÿ
ïðè îáåñïå÷åíèè
ãîñóäàðñòâåííûõ
îáðàçîâàòåëüíûõ
ñòàíäàðòîâ - íà
îñíîâå ìíîãîîáðàçèÿ
îáðàçîâàòåëüíûõ
ó÷ðåæäåíèé è
âàðèàòèâíîñòè
îáðàçîâàòåëüíûõ
ïðîãðàìì. À òàêæå
ââåäåíèå ïðîôèëüíîãî
îáó÷åíèÿ â ñòàðøåé
øêîëå, îòðàáîòêà
ãèáêîé ñèñòåìû
ïðîôèëåé è êîîïåðàöèè
ñòàðøåé ñòóïåíè
øêîëû ñ ó÷ðåæäåíèÿìè
íà÷àëüíîãî, ñðåäíåãî
è âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî
îáðàçîâàíèÿ.
Ýëåêòèâíûå
êóðñû (êóðñû ïî
âûáîðó) èãðàþò
âàæíóþ ðîëü â ñèñòåìå
ïðîôèëüíîãî îáó÷åíèÿ
øêîëû.  îòëè÷èå
îò ôàêóëüòàòèâíûõ
êóðñîâ, ñóùåñòâóþùèõ
íûíå â øêîëå, ýëåêòèâíûå
êóðñû - îáÿçàòåëüíû
äëÿ ñòàðøåêëàññíèêîâ.
 ñîîòâåòñòâèè
ñ îäîáðåííîé
Ìèíîáðàçîâàíèåì
Ðîññèè "Êîíöåïöèåé
ïðîôèëüíîãî îáó÷åíèÿ
íà ñòàðøåé ñòóïåíè
îáùåãî îáðàçîâàíèÿ"
äèôôåðåíöèàöèÿ
ñîäåðæàíèÿ îáó÷åíèÿ
â ñòàðøèõ êëàññàõ
îñóùåñòâëÿåòñÿ
íà îñíîâå ðàçëè÷íûõ
ñî÷åòàíèé êóðñîâ
òðåõ òèïîâ: áàçîâûõ,
ïðîôèëüíûõ, ýëåêòèâíûõ.
Êàæäûé èç êóðñîâ
ýòèõ òðåõ òèïîâ
âíîñèò ñâîé âêëàä
â ðåøåíèå çàäà÷
ïðîôèëüíîãî îáó÷åíèÿ.
Ó÷åáíûé ïëàí
ïðîôèëüíîãî îáó÷åíèÿ
âêëþ÷àåò ÷åòûðå
ïðåäìåòíûõ áëîêà.
Áëîê 1-é - áàçîâûå
îáùåîáðàçîâàòåëüíûå
ïðåäìåòû, îáÿçàòåëüíûå
äëÿ âñåõ ó÷àùèõñÿ
è èíâàðèàíòíûå
ïðàêòè÷åñêè
äëÿ âñåõ ïðîôèëåé
îáó÷åíèÿ: ìàòåìàòèêà,
èñòîðèÿ, ðóññêèé
è èíîñòðàííûå
ÿçûêè, ôèçè÷åñêàÿ
êóëüòóðà, à òàêæå
èíòåãðèðîâàííûå
êóðñû îáùåñòâîçíàíèÿ
(äëÿ åñòåñòâåííîíàó÷íîãî
ïðîôèëÿ) èëè åñòåñòâîçíàíèÿ
(äëÿ ãóìàíèòàðíûõ
ïðîôèëåé).
Áëîê 2-é - ïðîôèëüíûå
îáùåîáðàçîâàòåëüíûå
ïðåäìåòû, îïðåäåëÿþùèå
îáùóþ íàïðàâëåííîñòü
ñîîòâåòñòâóþùåãî
ïðîôèëÿ è îáÿçàòåëüíûå
äëÿ ó÷àùèõñÿ,
âûáðàâøèõ äàííûé
ïðîôèëü.
Ñîäåðæàíèå ó÷åáíûõ
ïðåäìåòîâ ïåðâûõ
äâóõ áëîêîâ îïðåäåëÿåòñÿ
Ãîñóäàðñòâåííûì
îáðàçîâàòåëüíûì
ñòàíäàðòîì îáùåãî
îáðàçîâàíèÿ
(ÃÎÑ). Ñîîòâåòñòâèå
ïîäãîòîâêè âûïóñêíèêîâ
òðåáîâàíèÿì
ÃÎÑ îïðåäåëÿåòñÿ
ïî ðåçóëüòàòàì
åäèíîãî ãîñóäàðñòâåííîãî
ýêçàìåíà (ÅÃÝ).
Áëîê 3-é - ýëåêòèâíûå
êóðñû, îáÿçàòåëüíûå
äëÿ èçó÷åíèÿ
ó÷åáíûå ïðåäìåòû
ïî âûáîðó ó÷àùèõñÿ,
êîòîðûå ðåàëèçóþòñÿ
çà ñ÷åò øêîëüíîãî
êîìïîíåíòà ó÷åáíîãî
ïëàíà. Êàæäûé
ó÷àùèéñÿ â òå÷åíèå
äâóõ ëåò îáó÷åíèÿ
äîëæåí âûáðàòü
è èçó÷èòü 5-6 ýëåêòèâíûõ
êóðñîâ.
Ñîîòíîøåíèå
îáúåìà ó÷åáíîãî
âðåìåíè ïî âñåì
òðåì áëîêàì ñîñòàâëÿåò
ïðèìåðíî 50%: 30%: 20%.
Áëîê 4-é - ó÷åáíûå
ïðàêòèêè, ïðîåêòû,
èññëåäîâàòåëüñêàÿ
äåÿòåëüíîñòü
Öåëü èçó÷åíèÿ
ýëåêòèâíûõ êóðñîâ
- îðèåíòàöèÿ íà
èíäèâèäóàëèçàöèþ
îáó÷åíèÿ è ñîöèàëèçàöèþ
ó÷àùèõñÿ, íà
ïîäãîòîâêó ê
îñîçíàííîìó
è îòâåòñòâåííîìó
âûáîðó ñôåðû áóäóùåé
ïðîôåññèîíàëüíîé
äåÿòåëüíîñòè.
Èñõîäÿ èç ýòîãî,
òåìàòèêà è ñîäåðæàíèå
ýëåêòèâíûõ êóðñîâ
äîëæíû îòâå÷àòü
ñëåäóþùèì òðåáîâàíèÿì:
° èìåòü ñîöèàëüíóþ
è ëè÷íîñòíóþ
çíà÷èìîñòü, àêòóàëüíîñòü
êàê ñ òî÷êè çðåíèÿ
ïîäãîòîâêè êâàëèôèöèðîâàííûõ
êàäðîâ, òàê è äëÿ
ëè÷íîñòíîãî
ðàçâèòèÿ ó÷àùèõñÿ;
° ñïîñîáíîñòü
ñîöèàëèçàöèè
è àäàïòàöèè ó÷àùèõñÿ,
ïðåäîñòàâëÿòü
âîçìîæíîñòü
äëÿ âûáîðà èíäèâèäóàëüíîé
îáðàçîâàòåëüíîé
òðàåêòîðèè, îñîçíàííîãî
ïðîôåññèîíàëüíîãî
ñàìîîïðåäåëåíèÿ;
° ïîääåðæèâàòü
èçó÷åíèå áàçîâûõ
è ïðîôèëüíûõ îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ
ïðåäìåòîâ, à òàêæå
îáåñïå÷èâàòü
óñëîâèÿ äëÿ âíóòðèïðîôèëüíîé
ñïåöèàëèçàöèè
îáó÷åíèÿ;
° îáëàäàòü çíà÷èòåëüíûì
ðàçâèâàþùèì
ïîòåíöèàëîì,
ñïîñîáíîñòü
ôîðìèðîâàíèþ
öåëîñòíîé êàðòèíû
ìèðà, ðàçâèòèþ
îáùåó÷åáíûå,
èíòåëëåêòóàëüíûõ
è ïðîôåññèîíàëüíûõ
íàâûêîâ, êëþ÷åâûõ
êîìïåòåíöèé
ó÷àùèõñÿ.
 ñîîòâåòñòâèè
ñ öåëÿìè è çàäà÷àìè
ïðîôèëüíîãî îáó÷åíèÿ
ýëåêòèâíûå êóðñû
ìîãóò âûïîëíÿòü
ðàçëè÷íûå ôóíêöèè:
· èçó÷åíèå êëþ÷åâûõ
ïðîáëåì ñîâðåìåííîñòè;
· îðèåíòàöèÿ
â îñîáåííîñòÿõ
áóäóùåé ïðîôåññèîíàëüíîé
äåÿòåëüíîñòè,
"ïðîôåññèîíàëüíàÿ
ïðîáà";
· îðèåíòàöèÿ
íà ñîâåðøåíñòâîâàíèå
íàâûêîâ ïîçíàâàòåëüíîé,
îðãàíèçàöèîííîé
äåÿòåëüíîñòè;
· äîïîëíåíèå
è óãëóáëåíèå
áàçîâîãî ïðåäìåòíîãî
îáðàçîâàíèÿ;
êîìïåíñàöèÿ
íåäîñòàòêîâ
îáó÷åíèÿ ïî ïðîôèëüíûì
ïðåäìåòàì.
Êàæäàÿ èç óêàçàííûõ
ôóíêöèé ìîæåò
áûòü âåäóùåé,
íî â öåëîì îíè
äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ
êîìïëåêñíî.
Îöåíèâàÿ âîçìîæíîñòü
è ïåäàãîãè÷åñêóþ
öåëåñîîáðàçíîñòü
ââåäåíèÿ òåõ
èëè èíûõ ýëåêòèâíûõ
êóðñîâ ñëåäóåò
ïîìíèòü è î òàêèõ
âàæíûõ èõ çàäà÷àõ,
êàê ôîðìèðîâàíèå
ïðè èõ èçó÷åíèè
óìåíèé è ñïîñîáîâ
äåÿòåëüíîñòè
äëÿ ðåøåíèÿ ïðàêòè÷åñêè
âàæíûõ çàäà÷,
ïðîäîëæåíèå ïðîôîðèåíòàöèîííîé
ðàáîòû, îñîçíàíèå
âîçìîæíîñòåé
è ñïîñîáîâ ðåàëèçàöèè
âûáðàííîãî æèçíåííîãî
ïóòè è ò.ä. Ýëåêòèâíûå
êóðñû ðåàëèçóþòñÿ
â øêîëå çà ñ÷åò
âðåìåíè, îòâîäèìîãî
íà êîìïîíåíò
îáðàçîâàòåëüíîãî
ó÷ðåæäåíèÿ.
Ââîäÿ â øêîëüíîå
îáðàçîâàíèå
ýëåêòèâíûå êóðñû,
íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü,
÷òî ðå÷ü èäåò
íå òîëüêî îá èõ
ïðîãðàììàõ è
ó÷åáíûõ ïîñîáèÿõ,
íî è îáî âñåé ìåòîäè÷åñêîé
ñèñòåìå îáó÷åíèÿ
ýòèì êóðñàì â
öåëîì. Âåäü ïðîôèëüíîå
îáó÷åíèå - ýòî
íå òîëüêî äèôôåðåíöèðîâàíèå
ñîäåðæàíèÿ îáðàçîâàíèÿ,
íî, êàê ïðàâèëî,
è ïî-äðóãîìó ïîñòðîåííûé
ó÷åáíûé ïðîöåññ.
Èìåííî ïîýòîìó
â ïðèìåðíûõ ó÷åáíûõ
ïëàíàõ îòäåëüíûõ
ïðîôèëåé â ðàìêàõ
âðåìåíè, îòâîäèìîãî
íà ýëåêòèâíûå
êóðñû, ïðåäóñìîòðåíû
÷àñû â 10-11 êëàññàõ
íà îðãàíèçàöèþ
ó÷åáíûõ ïðàêòèê,
ïðîåêòîâ, èññëåäîâàòåëüñêîé
äåÿòåëüíîñòè.
Ýòè ôîðìû îáó÷åíèÿ,
íàðÿäó ñ ðàçâèòèåì
ñàìîñòîÿòåëüíîé
ó÷åáíîé äåÿòåëüíîñòè
îáó÷àþùèõñÿ,
ïðèìåíåíèåì
íîâûõ ìåòîäîâ
îáó÷åíèÿ (íàïðèìåð,
äèñòàíöèîííîãî
îáó÷åíèÿ, ó÷åáíûõ
äåëîâûõ èãð è
ò.ä.), ñòàíóò âàæíûì
ôàêòîðîì óñïåøíîãî
ïðîâåäåíèÿ çàíÿòèé
ïî ýëåêòèâíûì
êóðñàì.
Èòàê, ýëåêòèâíûå
êóðñû â ïðîôèëüíîì
îáó÷åíèè íàïðàâëåíû
êàê íà âíóòðèïðîôèëüíóþ
äèôôåðåíöèàöèþ,
òàê è íà êîìïåíñàöèþ
ïðîôèëüíîé îäíîíàïðàâëåííîñòè;
ñïîñîáñòâóþùèå
óãëóáëåíèþ èíäèâèäóàëèçàöèè
ïðîôèëüíîãî îáó÷åíèÿ,
ðàñøèðåíèþ ìèðîâîççðåí÷åñêèõ
ïðåäñòàâëåíèé
ó÷àùèõñÿ.
Êóðñû ïî âûáîðó
ÿâëÿþòñÿ îáÿçàòåëüíîé
÷àñòüþ ñîäåðæàíèÿ
ïðîôèëüíîãî îáó÷åíèÿ.
Ó÷àùèìñÿ ïðåäëàãàåòñÿ
íå ìåíåå òðåõ
êóðñîâ ïî âûáîðó
íà îäíî ó÷åáíîå
ïîëóãîäèå. ×åì
áîëüøå, òåì ëó÷øå.
Êîëè÷åñòâî ó÷åáíûõ
÷àñîâ, îòâîäèìûõ
ïî ó÷åáíîìó ïëàíó
íà êàæäûé èç ýòèõ
êóðñîâ, êîëåáëåòñÿ
îò 15-16 äî 48.
Ýëåêòèâíûå
êóðñû ìîãóò áûòü
âåñüìà ðàçíîîáðàçíûìè
è âûáèðàþòñÿ,
èñõîäÿ èç êîíêðåòíûõ
óñëîâèé (ïîäãîòîâêà
ó÷èòåëÿ, ìàòåðèàëüíî-òåõíè÷åñêàÿ
áàçà, çàïðîñû
ó÷àùèõñÿ è ðûíêà
òðóäà).
Íà ìîé âçãëÿä,
ýëåêòèâíûå êóðñû
íåçàìåíèìû äëÿ
äîñòèæåíèÿ îñíîâíûõ
öåëåé îáðàçîâàíèÿ
íà ñòàðøåé ñòóïåíè
øêîëû.
.4 Ïðîãðàììà
ïî ýëåêòèâíîìó
êóðñó
 äàííîì ïàðàãðàôå
íà îñíîâàíèè
ïðîâåäåííîãî
ìíîþ èññëåäîâàíèÿ,
ïî ðåçóëüòàòàì
àíàëèçà øêîëüíûõ
ó÷åáíèêîâ ðàçðàáîòàí
ýëåêòèâíûé êóðñ:
"Èçó÷åíèå èçáðàííûõ
âîïðîñîâ ïî ìàòåìàòèêå
ñ èñïîëüçîâàíèåì
ñèñòåìû êîìïüþòåðíîé
ìàòåìàòèêè
MathCAD" äëÿ 10 êëàññà
ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî
ïðîôèëÿ. Ïðîãðàììà
ýëåêòèâíîãî
êóðñà âêëþ÷àåò
ñëåäóþùèå ðàçäåëû:
1. Òèòóëüíûé ëèñò
Ôåäåðàëüíîå
àãåíòñòâî ïî
îáðàçîâàíèþ
Ãîñóäàðñòâåííîå
îáðàçîâàòåëüíîå
ó÷ðåæäåíèå
âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî
îáðàçîâàíèÿ
"Ðÿçàíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé
óíèâåðñèòåò
èìåíè Ñ.À. Åñåíèíà"
Ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé
ôàêóëüòåò
"Èçó÷åíèå èçáðàííûõ
âîïðîñîâ ïî ìàòåìàòèêå
ñ èñïîëüçîâàíèåì
ñèñòåìû êîìïüþòåðíîé
ìàòåìàòèêè MathCAD"
Äëÿ ó÷àùèõñÿ
10 êëàññà, ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî
ïðîôèëÿ.
Âñåãî ÷àñîâ
(âêëþ÷àÿ ñàìîñòîÿòåëüíóþ
ðàáîòó) - 72.
Ïðîãðàììà ñîñòàâëåíà
ñòóäåíòêîé 5 êóðñà,
Ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî
ôàêóëüòåòà
Ñòàðèêîâîé
À.Â.
Ðÿçàíü 2009
2. Ïîÿñíèòåëüíàÿ
çàïèñêà.
Íàñòîÿùàÿ ïðîãðàììà
ñîîòâåòñòâóåò
òðåáîâàíèÿì
ê îáÿçàòåëüíîìó
ìèíèìóìó ñîäåðæàíèÿ
îñíîâíîé îáðàçîâàòåëüíîé
ïðîãðàììû è "Êîíöåïöèè
ìîäåðíèçàöèè
Ðîññèéñêîãî
îáðàçîâàíèÿ
íà ïåðèîä äî 2010 ãîäà".
Êóðñ ïðåäíàçíà÷åí
äëÿ äîïîëíåíèÿ
è óãëóáëåíèÿ
áàçîâîãî îáðàçîâàíèÿ
ïî ìàòåìàòèêå.
Ê îñíîâíûì öåëÿì
êóðñà îòíîñÿòñÿ:
1) ïðîôîðèåíòàöèÿ;
2) ñîçäàòü óñëîâèÿ
äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ
è ðàçâèòèÿ ó ó÷àùèõñÿ:
· èíòåðåñà ê
èçó÷åíèþ ìàòåìàòèêè
· óìåíèÿ ñàìîñòîÿòåëüíî
ïðèîáðåòàòü è
ïðèìåíÿòü çíàíèÿ;
· ìûñëèòåëüíîé
äåÿòåëüíîñòè
ïðè ïðîåêòèðîâàíèå,
ïëàíèðîâàíèå,
ðàáîòå ñ èñòî÷íèêàìè
èíôîðìàöèè, àíàëèçå,
ñèíòåçå, ñòðóêòóðèðîâàíèå
èíôîðìàöèè
· íàâûêîâ ñàìîàíàëèçà
è ðåôëåêñèè;
3) ïðèîáùèòü ó÷àùèõñÿ
ê êîìïüþòåðíîé
êóëüòóðå;
4) ðàçâèâàòü
êîììóíèêàòèâíûå
íàâûêè;
) ñôîðìèðîâàòü
ó øêîëüíèêîâ:
· ñèñòåìíîå
ïðåäñòàâëåíèå
î òåîðåòè÷åñêîé
áàçå ñèñòåìû
êîìïüþòåðíîé
ìàòåìàòèêè
MathCAD.
· íàâûêè êîëëåêòèâíîé
ðàáîòû
· îñíîâû íàó÷íîãî
ìèðîâîççðåíèÿ;
6) âîñïèòàíèå
ñðåäñòâàìè ìàòåìàòèêè
è èíôîðìàòèêè
êóëüòóðû ëè÷íîñòè
÷åðåç çíàêîìñòâî
ñ èñòîðèåé ðàçâèòèÿ
ìàòåìàòèêè,
ýâîëþöèåé ìàòåìàòè÷åñêèõ
èäåé; ïîíèìàíèÿ
çíà÷èìîñòè
ìàòåìàòèêè äëÿ
íàó÷íî-òåõíè÷åñêîãî
ïðîãðåññà.
7) ×åòêîå ïðåäñòàâëåíèå
ó÷àùèõñÿ î ïîíÿòèÿõ
ðåøåíèè ñèñòåìû,
ìíîæåñòâå ðåøåíèé,
î ðàâíîñèëüíîñòè
ñèñòåì ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé.
8) Îâëàäåíèå ìåòîäîì
ïîñëåäîâàòåëüíîãî
èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ
) Âûÿâëåíèå òèïîâ
ñèñòåì ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé ñ ïîìîùüþ
âñòðîåííûõ ôóíêöèé.
Ïðîãðàììà ñîäåðæèò
ñëåäóþùèå ðàçäåëû:
 ðàçäåëå1 óäåëÿåòñÿ
âíèìàíèå ñèñòåìàì
êîìïüþòåðíîé
ìàòåìàòèêè.
Îñóùåñòâëÿåòñÿ
çíàêîìñòâî ñ
ñèñòåìàìè êîìïüþòåðíîé
ìàòåìàòèêè.
Èñòîðèÿ âîçíèêíîâåíèÿ
è ñîçäàíèÿ ñèñòåì
êîìïüþòåðíîé
ìàòåìàòèêè,
èõ âîçìîæíîñòè
è ñôåðû ïðèìåíåíèÿ.
Îáçîð è îñîáåííîñòè
íåñêîëüêèõ ñèñòåì
êîìïüþòåðíîé
ìàòåìàòèêè
(Derive, MathCAD, Mathematica, Maple, Mat lab).
Ñèñòåìà MathCAD, èñòîðèÿ
ñîçäàíèÿ è ðàçâèòèÿ.
Äåìîíñòðàöèÿ
âîçìîæíîñòåé.
Çàïóñê ñèñòåìû,
îáùèé îáçîð äåòàëåé
èíòåðôåéñà, ñîçäàíèå
äîêóìåíòà. Çàïèñü
äîêóìåíòà, îòêðûòèå
äîêóìåíòà.
Ââåäåíèå è âû÷èñëåíèå
àëãåáðàè÷åñêèõ
âûðàæåíèé ñ ïîìîùüþ
ïàíåëè Êàëüêóëÿòîð,
çíàêîìñòâî ñ
ïàíåëÿìè èíñòðóìåíòîâ
Ôîðìàòèðîâàíèå,
Ñòàíäàðòíàÿ,
Ìàòåìàòèêà
(ðàññìîòðåíèå
ïàíåëåé èíñòðóìåíòîâ,
ñîñòàâëÿþùèõ
ïàíåëü Ìàòåìàòèêà);
âûâîä è óäàëåíèå
ïàíåëåé èíñòðóìåíòîâ
ñ ýêðàíà, ðåçóëüòàòû
âûïîëíåíèÿ è
ñðàâíåíèå îïåðàöèé
"ðàâíî" è "ïðèñâîèòü".
Âòîðîé ðàçäåë
ïîñâÿùåí ñèñòåìàì
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.
Ïîâòîðåíèå îñíîâíûõ
ïîíÿòèé è îïðåäåëåíèé:
ñèñòåìû ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé, ðåøåíèå
ñèñòåìû óðàâíåíèé,
ñîâìåñòíàÿ ñèñòåìà,
íåñîâìåñòíàÿ
ñèñòåìà, íåîïðåäåëåííàÿ
ñèñòåìà, ðàâíîñèëüíûå
ñèñòåìû ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé. Ïîâòîðåíèå
ìåòîäîâ ðåøåíèÿ.
Ðåøåíèå âðó÷íóþ.
Èçó÷åíèå ñïîñîáîâ
ðåøåíèÿ ñèñòåì
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
â ñèñòåìå MathCAD.
 òðåòüåì ðàçäåëå
ðàññìàòðèâàþòñÿ
ðàçëè÷íûå ñèñòåìû
óðàâíåíèé, ò.å.
íå îáÿçàòåëüíî
ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ.
Ðàññìàòðèâàþòñÿ
ñïîñîáû èõ ðåøåíèÿ
âðó÷íóþ è â ñèñòåìå
MathCAD.
Òàêæå ïðåäóñìîòðåíî
ïðîâåäåíèå äâóõ
êîíòðîëüíûõ ðàáîò,
îäíîé èññëåäîâàòåëüñêîé
è îäíîé ëàáîðàòîðíîé
ðàáîòû.
3. Ñîäåðæàíèå ýëåêòèâíîãî
êóðñà.
Ðàçäåë 1. Ñèñòåìà
êîìïüþòåðíîé
ìàòåìàòèêè MathCAD. Åå ïðåèìóùåñòâà.
Ðàçäåë 2. Ñèñòåìû
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.
Èõ èññëåäîâàíèå
è ðåøåíèå. Èçó÷åíèå
ñïîñîáîâ ðåøåíèÿ
ñèñòåì ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé â ñèñòåìå
MathCAD.
Ðàçäåë 3. Ñèñòåìû
íå ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.
Ìåòîäû èõ ðåøåíèÿ
âðó÷íóþ è ñ ïîìîùüþ
ñèñòåìû MathCAD.
4. Ïðèìåðíûé òåìàòè÷åñêèé
ïëàí.
¹
|
Ðàçäåë,
òåìà
|
Âñåãî
|
Ëåêöèè
|
Ïðàêòè÷åñêèå
çàíÿòèÿ
|
Ñàìîñòîÿòåëüíàÿ
ðàáîòà
|
1 1.1 1.2 1.3 1.4
|
Ðàçäåë
1 Èñòîðèÿ ñèñòåì
êîìïüþòåðíîé
ìàòåìàòèêè
Èçó÷åíèå âîçìîæíîñòåé
ñèñòåìû MathCAD Ââåäåíèå
è âû÷èñëåíèå
àëãåáðàè÷åñêèõ
âûðàæåíèé ñ ïîìîùüþ
ðàçëè÷íûõ ïàíåëåé
Ëàáîðàòîðíàÿ
ðàáîòà "Ñîçäàíèå
è ôîðìàòèðîâàíèå
äîêóìåíòà MathCAD
|
6 9 8 1
|
2 2 2 -
|
2 4 4 1
|
2 3 2 -
|
|
|
24
|
6
|
11
|
7
|
2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
|
Ðàçäåë
2 Îïðåäåëåíèÿ ñèñòåìû
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
è åå ðåøåíèÿ Ìåòîäû
ðåøåíèÿ ñèñòåì.
Ìåòîä ïîäñòàíîâêè.
Ãðàôè÷åñêèé
ìåòîä. Ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíîãî
èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ
Ðåøåíèå ñèñòåì
â ñèñòåìå MathCAD Êîíòðîëüíàÿ
ðàáîòà ¹1
|
6 6 6 6 1
|
2 2 2 2 -
|
2 2 2 2 1
|
2 2 2 2 -
|
|
|
25
|
8
|
9
|
8
|
3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
|
Ðàçäåë
3 Íåëèíåéíûå ñèñòåìû
óðàâíåíèé. Ðàâíîñèëüíîñòü
ñèñòåì óðàâíåíèé.
Ìåòîäû ðåøåíèÿ
ñèñòåì íåëèíåéíûõ
óðàâíåíèé. Êîíòðîëüíàÿ
ðàáîòà ¹2. Èññëåäîâàòåëüñêàÿ
ðàáîòà
|
3 4 6 1 8
|
1 2 2 - -
|
1 1 2 1 -
|
1 1 2 - 8
|
4
|
Çà÷åòíûé
óðîê
|
1
|
1
|
-
|
-
|
|
|
23
|
6
|
5
|
12
|
|
Èòîãî
|
72
|
20
|
25
|
27
|
5.
Ôîðìû êîíòðîëÿ.
 ïðîöåññå èçó÷åíèÿ
ýëåêòèâíîãî
êóðñà ó÷àùèåñÿ
âûïîëíÿþò äâå
êîíòðîëüíûå ðàáîòû
è îäíó ëàáîðàòîðíóþ
ðàáîòó. Êîíòðîëüíûå
ðàáîòû ìîãóò
áûòü òàêæå â âèäå
òåñòîâ.
Ïðèìåðíàÿ òèïîëîãèÿ
çàäàíèé â êîíòðîëüíîé
ðàáîòå ¹1:
. Ðåøèòü ñèñòåìû
â òåòðàäè è â ñèñòåìå
MathCAD ñ ïîìîùüþ
âñòðîåííîé ôóíêöèè
lsolve:
à) á)
. Ðåøèòü ñèñòåìó
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
(âðó÷íóþ è â ñèñòåìå
MathCAD ñ ïîìîùüþ
áëîêà Given Find):
Ó ó÷àùèõñÿ åñòü
îòäåëüíàÿ òåòðàäü
äëÿ êîíòðîëüíûõ
ðàáîò ïî ýëåêòèâíîìó
êóðñó, âñå çàäàíèÿ,
êîòîðûå íóæíî
âûïîëíÿòü â ñèñòåìå
MathCAD - îíè âûïîëíÿþò
íà êîìïüþòåðå,
à çàòåì ñîõðàíÿþò
ñâîè ðåçóëüòàòû
â ñïåöèàëüíî îòâåäåííîé
ïàïêå. Ó÷èòåëü,
ïðîâåðèâ êîíòðîëüíóþ
ðàáîòó â òåòðàäè,
ïîäçûâàåò ó÷åíèêà,
è îíè ñàäÿòñÿ
çà êîìïüþòåð è
ó÷åíèê äîëæåí
îáúÿñíèòü, êàê
îí âûïîëíÿë çàäàíèÿ
â ñèñòåìå MathCAD. Åñëè ó÷åíèê
âñå ðåøèë è ñìîã
îáúÿñíèòü, êàê
îí âûïîëíÿë çàäàíèÿ,
òî çà êîíòðîëüíóþ
ðàáîòó ñòàâèòñÿ
îöåíêà "îòëè÷íî",
åñëè èìåëèñü
íå áîëüøèå íåòî÷íîñòè
â òåòðàäè è ïðè
îáúÿñíåíèè, òî
- îöåíêà "õîðîøî",
åñëè ó÷åíèê èìååò
îøèáêè â òåòðàäè
è åãî îáúÿñíåíèå
òðåáóåò äîïîëíåíèÿ,
òî - îöåíêà "óäîâëåòâîðèòåëüíî".
Ëàáîðàòîðíàÿ
ðàáîòà âûïîëíÿåòñÿ
òîëüêî íà êîìïüþòåðå.
Îíà äîëæíà ïîêàçàòü,
êàê ðåáÿòà îñâîèëè
ñèñòåìó MathCAD. Ó÷àùèåñÿ
äîëæíû íàó÷èòüñÿ
âûïîëíÿòü ýëåìåíòàðíûå
äåéñòâèÿ â ýòîé
ñèñòåìå êîìïüþòåðíîé
ìàòåìàòèêè.
6. Êðèòåðèè îöåíêè
çíàíèé.
Èòîãîâîé ôîðìîé
êîíòðîëÿ èçó÷åíèÿ
ýëåêòèâíîãî
êóðñà ìîæåò áûòü
êàê ýêçàìåí, òàê
è çà÷åòíûé óðîê.
Òàê ó÷èòûâàþòñÿ
îöåíêè ïîëó÷åííûå
â òå÷åíèè êóðñà,
à òàêæå çà êîíòðîëüíûå
è ëàáîðàòîðíûå
ðàáîòû.
Îöåíêà "îòëè÷íî"
ìîæåò áûòü ïîñòàâëåíà,
åñëè ó÷åíèê çíàåò
ôîðìóëèðîâêè
îñíîâíûõ îïðåäåëåíèé
êóðñà, óñâîèë
ñèñòåìó îñíîâíûõ
ïîíÿòèé êóðñà,
çíàêîì ñ ìåòîäîëîãè÷åñêèìè
ïðîáëåìàìè îñíîâàíèé
ìàòåìàòèêè,
îòëè÷íî îðèåíòèðóåòñÿ
â ñðåäå MathCAD, à òàêæå óâåðåííî
âûïîëíÿåò ïðàêòè÷åñêèå
çàäàíèÿ, ïðåäóñìîòðåííûå
ïðîãðàììîé.
Îöåíêà "õîðîøî"
ìîæåò áûòü âûñòàâëåíà,
åñëè îí çíàåò
ôîðìóëèðîâêè
îñíîâíûõ îïðåäåëåíèé,
îðèåíòèðóåòñÿ
â ñðåäå MathCAD, íî äîïóñêàåò
íåçíà÷èòåëüíûå
îøèáêè ïðè âûïîëíåíèè
ïðàêòè÷åñêèõ
çàäà÷.
Îöåíêà "óäîâëåòâîðèòåëüíî"
ìîæåò áûòü ïîñòàâëåíà,
åñëè ó÷åíèê çíàåò
ôîðìóëèðîâêè
áîëüøèíñòâà
îïðåäåëåíèé, äåëàåò
ñóùåñòâåííûå
îøèáêè èëè íå
âûïîëíÿåò âîîáùå
ïðàêòè÷åñêîå
çàäàíèå, âîçíèêàþò
ïðîáëåìû ïðè ðàáîòå
â ñèñòåìå MathCAD.
. Âîïðîñû çà÷åòíîãî
óðîêà.
1. Â êàêîé ñòðàíå
âîçíèêëà ñèñòåìà
êîìïüþòåðíîé
ìàòåìàòèêè MathCAD?
2. Äàéòå îïðåäåëåíèå
ñèñòåìå ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé.
. Äàéòå îïðåäåëåíèå
ðåøåíèþ ñèñòåìû
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.
. Êàêèå ñèñòåìû
íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè?
. ×òî òàêîå íåñîâìåñòíûå
ñèñòåìû ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé? Ñîâìåñòíûå?
. Êàêèå âû çíàåòå
òèïû ñîâìåñòíûõ
ñèñòåì?
. Êàêèå ñèñòåìû
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
íàçûâàþòñÿ êâàäðàòíûìè?
. Ñ ïîìîùüþ êàêîé
âñòðîåííîé ôóíêöèè
â ñèñòåìå MathCAD ðåøàþòñÿ
êâàäðàòíûå ñèñòåìû
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé?
. Ïî÷åìó äëÿ ðåøåíèÿ
ñîâìåñòíûõ ñèñòåì
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü
ïðîãðàììû ñèìâîëüíîé
ìàòåìàòèêè?
10. Êàêèå âû çíàåòå
ïðåîáðàçîâàíèÿ
ñèñòåì ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé, ïðèâîäÿùèå
ê ðàâíîñèëüíûì
ñèñòåìàì?
11. Ñ ïîìîùüþ ÷åãî
â ñèñòåìå MathCAD ìîæíî
ðåøèòü ëþáóþ
ñèñòåìó ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé?
. Ðàññêàæèòå
î ñïîñîáàõ ââåäåíèÿ
ôóíêöèé Find è lsolve â
ñèñòåìå MathCAD.
. .Ïåðå÷èñëèòå
ìåòîäû ðåøåíèÿ
îïðåäåëåííûõ
ñèñòåì ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé.
2.5 Êîíñïåêòû
íåêîòîðûõ óðîêîâ
ýëåêòèâíîãî
êóðñà "Èçó÷åíèå
èçáðàííûõ âîïðîñîâ
ïî ìàòåìàòèêå
ñ èñïîëüçîâàíèåì
ñèñòåìû êîìïüþòåðíîé
ìàòåìàòèêè
MathCAD"
Óðîê ¹ 10 (ïðîäîëæèòåëüíîñòü
40 ìèíóò)
Òåìà: " Ðåøåíèå
îïðåäåëåííûõ
ñèñòåì ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé âðó÷íóþ
è â ñðåäå MathCAD"
Öåëè:
à) îáðàçîâàòåëüíàÿ
- óñâîåíèå ó÷àùèìèñÿ
àëãîðèòìà ðåøåíèÿ
îïðåäåëåííûõ
ñèñòåì ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé.
á) ðàçâèâàþùàÿ
- ðàçâèòèå ó ó÷àùèõñÿ
àëãîðèòìè÷åñêîé
êóëüòóðû;
â) âîñïèòàòåëüíàÿ
- âîñïèòàíèå ó
ó÷àùèõñÿ óñèä÷èâîñòè,
àêêóðàòíîñòè
è áåðåæëèâîñòè.
Òèï óðîêà: îáúÿñíåíèå
íîâîãî ìàòåðèàëà.
Ëèòåðàòóðà:
1. Âèëåíêèí Í.ß.
è äðóãèå. Àëãåáðà
è ìàòåìàòè÷åñêèé
àíàëèç. 11 êëàññ:
ó÷åáíîå ïîñîáèå
äëÿ øêîë è êëàññîâ
ñ óãëóáëåííûì
èçó÷åíèåì ìàòåìàòèêè
/ - 11-å èçä., ñòåðåîòèï.
- Ì.: Ìíåìîçèíà,
2004. - 288ñ.; èë.
2. Àëãåáðà è íà÷àëà
àíàëèçà: ó÷åáíîå
ïîñîáèå äëÿ 9 è
10 êëàññîâ ñðåäíåé
øêîëû / ïîä ðåä. À.Í.Êîëìîãîðîâà,
Ì.: Ïðîñâåùåíèå,
1983.- 335ñ.
3. À.Ã.Ñîëîíèíà
MathCAD â çàäà÷àõ
ïî àëãåáðå è òåîðèè
÷èñåë: Ó÷åáíîå
ïîñîáèå äëÿ ïåäâóçîâ.
Ì.:ÒÖ Ñôåðà ,2000. 181
. Äüÿêîíîâ Â.Ï.
Ñïðàâî÷íèê ïî
MathCAD PLUS 6.0 PRO Ì.:
ÑÊ-ÏÐÅÑÑ,1997
Ïëàí óðîêà:
1. Îðãàíèçàöèîííûé
ìîìåíò 2 ìèíóòû
2. Ïîâòîðåíèå
ðàíåå èçó÷åííîãî
ìàòåðèàëà 7 ìèíóò
. Îáúÿñíåíèå
íîâîãî ìàòåðèàëà
20 ìèíóò
. Çàêðåïëåíèå
íîâîãî ìàòåðèàëà
8 ìèíóò
. Äîìàøíåå çàäàíèå
1 ìèíóòà
. Èòîãè óðîêà
2 ìèíóòû
Õîä óðîêà.
Çäðàâñòâóéòå,
ñàäèòåñü. Ïðèãîòîâèëèñü
ê óðîêó, íà÷íåì.
Ðåáÿòà, äàâàéòå
âñïîìíèì, ÷òî
ìû èçó÷àëè íà
ïðåäûäóùèõ óðîêàõ.
Ìû èçó÷àëè ñèñòåìû
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.
Êòî ìíå ìîæåò
íàçâàòü, êàêèå
òèïû ñèñòåì ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé ìû
èçó÷èëè?
Ìû èçó÷èëè ñîâìåñòíûå
è íåñîâìåñòíûå
ñèñòåìû ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé, ñîâìåñòíûå
ñèñòåìû ïîäðàçäåëÿþòñÿ
åùå íà îïðåäåëåííûå
è íåîïðåäåëåííûå.
Ïðàâèëüíî, äàéòå
îïðåäåëåíèÿ óêàçàííûõ
òèïîâ ñèñòåì
Ñèñòåìà ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé íàçûâàåòñÿ
ñîâìåñòíîé, åñëè
îíà èìååò õîòÿ
áû îäíî ðåøåíèå.
Ñèñòåìà ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé íàçûâàåòñÿ
íåñîâìåñòíîé,
åñëè îíà íå èìååò
ðåøåíèé. Îïðåäåëåííîé
ñèñòåìîé íàçûâàåòñÿ
ñèñòåìà, êîòîðàÿ
èìååò åäèíñòâåííîå
ðåøåíèå, à íåîïðåäåëåííîé
- ñèñòåìà, èìåþùàÿ
áåñ÷èñëåííîå
ìíîæåñòâî ðåøåíèé.
Ìîëîäöû! Òåïåðü
äàâàéòå âñïîìíèì,
êàêèå ñèñòåìû
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè?
Äâå ñèñòåìû
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè,
åñëè îíè èìåþò
îäíî è òî æå ìíîæåñòâî
ðåøåíèé.
Âåðíî. Êàêèå
ìû èçó÷èëè ïðåîáðàçîâàíèÿ
ñèñòåì ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé, ïðèâîäÿùèå
ê ðàâíîñèëüíûì
ñèñòåìàì?
Ìû ìîæåì óìíîæàòü
îáå ÷àñòè ëþáîãî
óðàâíåíèÿ íà
÷èñëî, ìîæåì ïðèáàâëÿòü
ê îáåèì ÷àñòÿì
êàêîãî-ëèáî óðàâíåíèÿ
ñèñòåìû ñîîòâåòñòâóþùèõ
÷àñòåé äðóãîãî
óðàâíåíèÿ ñèñòåìû,
óìíîæåííîãî
íà ÷èñëî, à òàêæå
ìû ìîæåì èñêëþ÷àòü
èç ñèñòåìû èëè
ïðèñîåäèíÿòü
ê ñèñòåìå ëèíåéíîå
óðàâíåíèå ñ íóëåâûìè
êîýôôèöèåíòàìè
è íóëåâûì ñâîáîäíûì
÷ëåíîì.
Ìîëîäöû! Âñïîìíèëè,
à òåïåðü ïåðåéäåì
ê íîâîé òåìå. Òåìà
íàøåãî óðîêà:
"Ðåøåíèå îïðåäåëåííûõ
ñèñòåì ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé âðó÷íóþ
è â ñðåäå MathCAD". ×òî
òàêîå îïðåäåëåííûå
ñèñòåìû ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé, ìû
ñ âàìè âñïîìíèëè,
ýòî ñèñòåìû ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé, êîòîðûå
èìåþò åäèíñòâåííîå
ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì
äâà îñíîâíûõ
àëãîðèòìà ðåøåíèÿ
èõ ðåøåíèÿ.
Àëãîðèòì 1. Ýòîò
àëãîðèòì îñíîâàí
íà äâóõ ìåòîäàõ:
ìåòîäå èñêëþ÷åíèÿ
ïåðåìåííûõ è
ìåòîäå ïîäñòàíîâêè.
Àëãîðèòì 2. Îí
îñíîâàí òîëüêî
íà ìåòîäå èñêëþ÷åíèÿ
íåèçâåñòíûõ.
Ïðîäåìîíñòðèðóåì
ýòè àëãîðèòìû
íà êîíêðåòíûõ
ïðèìåðàõ.
Çàäà÷à ¹1. Ðåøèòü
ñèñòåìó, èñïîëüçóÿ
ñíà÷àëà àëãîðèòì
1, çàòåì - àëãîðèòì
2.
Ðåøåíèå.
Ðåøàåì, èñïîëüçóÿ
ïåðâûé àëãîðèòì.
Ñíà÷àëà ïðèìåíÿåì
ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíîãî
èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ.
Íà ïåðâîì øàãå
ìû äîëæíû èçáàâèòüñÿ
îò ïåðåìåííîé
âî âñåõ
óðàâíåíèÿ, êðîìå
ïåðâîãî. Ïåðâîå
óðàâíåíèå ñèñòåìû
îñòàâëÿåì áåç
èçìåíåíèé, ïðîñòî
ïåðåïèñûâàåì,
êî âòîðîìó ïðèáàâëÿåì
ïåðâîå, óìíîæåííîå
íà (-1), ê òðåòüåìó
òàê æå ïðèáàâëÿåì
ïåðâîå, óìíîæåííîå
íà (-2).
Ïîëó÷àåì ñèñòåìó
ðàâíîñèëüíóþ
äàííîé ñèñòåìå:
Âòîðîå óðàâíåíèå
ìîæíî óìíîæèòü
íà , ÷òî áû äàëåå
áûëî ïðîùå ñ÷èòàòü.
Òåïåðü íàì íåîáõîäèìî
èñêëþ÷èòü ïåðåìåííóþ
â òðåòüåì
óðàâíåíèè. Äëÿ
ýòîãî ìû ïåðâîå
è âòîðîå óðàâíåíèå
ïîñëåäíåé ñèñòåìû
ïðîñòî ïåðåïèñûâàåì,
à ê òðåòüåìó óðàâíåíèþ
ïðèáàâëÿåì âòîðîå,
óìíîæåííîå íà
5. Ïîëó÷èëè ñëåäóþùåå
óðàâíåíèå:
Òåïåðü ïðèìåíÿåì
ìåòîä ïîäñòàíîâêè.
Èç òðåòüåãî óðàâíåíèÿ
íàõîäèì çíà÷åíèå
è ïîäñòàâëÿåì
ýòî çíà÷åíèå
âî âòîðîå - íàéäåì
çíà÷åíèå . Çàòåì,
ïîäñòàâèâ íàéäåííûå
çíà÷åíèÿ è â ïåðâîå
óðàâíåíèå, ïîëó÷èì
çíà÷åíèå . Òàêèì
îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè,
÷òî ñèñòåìà
èìååò åäèíñòâåííîå
ðåøåíèå - óïîðÿäî÷åííóþ
òðîéêó ÷èñåë
(1; 2; -2). Çàïèñûâàåì
îòâåò.
Îòâåò: (1; 2; -2)
Òåïåðü ïðèìåíèì
ê ýòîìó æå ïðèìåðó
àëãîðèòì 2. Íà÷àëî
ðåøåíèÿ òî÷íî
òàêîå æå, êàê è
â ïåðâîì àëãîðèòìå
- ïðèâîäèì ñèñòåìó
ê ñòóïåí÷àòîìó
âèäó:
Òåïåðü ìû äîëæíû
äâèãàòüñÿ ñíèçó
ââåðõ, ìû äîëæíû
ïðîäîëæàòü èñêëþ÷àòü
ïåðåìåííûå äàëüøå.
Íåîáõîäèìî òåïåðü
èñêëþ÷èòü èç âòîðîãî
óðàâíåíèÿ, íî
ñïåðâà ìû äîëæíû
ñäåëàòü êîýôôèöèåíò
ïðè â òðåòüåì óðàâíåíèè
ðàâíûì íóëþ.
Òåïåðü òðåòüå
óðàâíåíèå ïåðåïèñûâàåì,
à êî âòîðîìó ïðèáàâëÿåì
òðåòüå, óìíîæåííîå
íà 2, à ê ïåðâîìó
ïðèáàâëÿåì òðåòüå,
óìíîæåííîå íà
(-1) Ïîëó÷àåì
Òåïåðü îñòàëîñü
òîëüêî èñêëþ÷èòü
ïåðåìåííóþ â ïåðâîì
óðàâíåíèè, äëÿ
ýòîãî ê ïåðâîìó
óðàâíåíèþ ïðèáàâëÿåì
âòîðîå, óìíîæåííîå
íà (-3):
Êàê âèäèì, ìû
ïîëó÷èëè ñðàçó
îòâåò (1; 2; -2), ýòîò
àëãîðèòì ìåíåå
óäîáåí äëÿ ðåøåíèÿ
îïðåäåëåííûõ
ñèñòåì ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé, îí
óäîáåí äëÿ íåîïðåäåëåííûõ
ñèñòåì, êîòîðûå
ìû ðàññìîòðèì
íà ñëåäóþùåì
óðîêå.
Òåïåðü ìû äîëæíû
íàó÷èòüñÿ ðåøàòü
òàêèå ñèñòåìû
ñ ïîìîùüþ ïðîãðàììû
MathCAD. Â ñèñòåìå MathCAD
ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå
ìåòîäû ðåøåíèÿ
ñèñòåì ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé. Ñïåðâà,
ìû ñ âàìè èçó÷èì,
êàê ðåøàòü êâàäðàòíûå
ñèñòåìû ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé (êâàäðàòíûå
- ýòî êîãäà ÷èñëî
íåèçâåñòíûõ
ðàâíî ÷èñëó óðàâíåíèé
â ñèñòåìå). Äëÿ
ýòîãî íàì íåîáõîäèìî
èçó÷èòü ïîíÿòèå
ìàòðèöà. Ìàòðèöà
- ýòî òàáëèöà,
ñîñòàâëåííàÿ
èç êîýôôèöèåíòîâ
ïðè íåèçâåñòíûõ.
Ïîêà ìû îãðàíè÷èìñÿ
êâàäðàòíîé ìàòðèöåé.
Âîò òàê áóäåò
âûãëÿäåòü ìàòðèöà
äëÿ íàøåé ñèñòåìû
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé:
-ýòà ìàòðèöà
íàçûâàåòñÿ îñíîâíîé
ìàòðèöåé íàøåé
ñèñòåìû
ýòà ìàòðèöà
íàçûâàåòñÿ ðàñøèðåííîé
ìàòðèöåé ñèñòåìû
(îíà íå ÿâëÿåòñÿ
êâàäðàòíîé). Îíà
îòëè÷àåòñÿ îò
îñíîâíîé òåì,
÷òî ê íåé äîáàâëåí
ñòîëáåö ñâîáîäíûõ
÷ëåíîâ
 ñèñòåìå MathCAD, ÷òîáû
ðåøèòü êâàäðàòíóþ
ñèñòåìó ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé èñïîëüçóþò
âñòðîåííóþ ôóíêöèþ
lsolve. Ôóíêöèþ
ìîæíî âñòàâëÿòü
â ðàáî÷åå ïîëå
MathCAD ðàçëè÷íûìè
ñïîñîáàìè: ìîæíî
ïðîñòî ââåñòè
ñ êëàâèàòóðû,
à ìîæíî ÷åðåç
Âñòàâêó íà ïàíåëè
çàäà÷ (ñìîòðè
ðèñóíîê 2.5.1). Àëãîðèòì
ðåøåíèÿ êâàäðàòíûõ
ñèñòåì ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé:
1. Âñòàâüòå øàáëîí
âñòðîåííîé ôóíêöèè
lsolve.
2. Â ïåðâóþ ìåòêó
øàáëîíà ââåäèòå
îñíîâíóþ ìàòðèöó
ñèñòåìû óðàâíåíèé.
. Âî âòîðóþ ìåòêó
øàáëîíà ôóíêöèè
ââåäèòå ìàòðèöó-ñòîëáåö
ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ
ñèñòåìû óðàâíåíèé.
. Ââåäèòå çíàê
ðàâåíñòâà. Îòâåò
- åäèíñòâåííûé
âåêòîð-ñòîëáåö,
ýëåìåíòàìè êîòîðîãî
ÿâëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûå
÷èñëà.
Ðèñóíîê 2.5.1. Âñòàâêà
ôóíêöèè lsolve
Ðåøèì íàø ïðèìåð
â ñèñòåìå MathCAD. Ìàòðèöó
âñòàâëÿòü î÷åíü
ïðîñòî, ìîæíî
òîæå ÷åðåç Âñòàâêó
íà ïàíåëè çàäà÷
èëè ÷åðåç ñïåöèàëüíûé
ñèìâîë.
Ðèñóíîê 2.5.2. Ðåøåíèå
êâàäðàòíîé ñèñòåìû
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.
Òåïåðü ðåøèì
ñëåäóþùóþ çàäà÷ó.
Çàäà÷à ¹ 2. Ðåøèòü
ñèñòåìó, èñïîëüçóÿ
ëþáîé àëãîðèòì.
Áóäåì ðåøàòü
åå, èñïîëüçóÿ
àëãîðèòì 1. Ïðîâîäèì
àíàëîãè÷íûå
ðàññóæäåíèÿ,
êàê è ïðè ðåøåíèè
çàäà÷è¹1. Ïåðâîå
óðàâíåíèå ïåðåïèñûâàåì
áåç èçìåíåíèé,
êî âòîðîìó ïðèáàâëÿåì
ïåðâîå, óìíîæåííîå
íà (-1),à ê òðåòüåìó
è ÷åòâåðòîìó
ïðèáàâëÿåì ïåðâîå,
óìíîæåííîå íà
(-2)
Ñîêðàòèì êîýôôèöèåíòû
âî âòîðîì óðàâíåíèè
íà 2
Ñëåäóþùèì øàãîì
ìû äîëæíû èñêëþ÷èòü
ïåðåìåííóþ â òðåòüåì
è ÷åòâåðòîì óðàâíåíèÿõ.
Äëÿ ýòîãî ê òðåòüåìó
ïðèáàâëÿåì âòîðîå
óðàâíåíèå, êîòîðîå
ïåðåïèñûâàåì
áåç èçìåíåíèÿ,
óìíîæåííîå íà
5, ê ÷åòâåðòîìó
ïðèáàâëÿåì âòîðîå,
óìíîæåííîå íà
3, ïîëó÷èëè:
Òåïåðü ê ÷åòâåðòîìó
ïðèáàâëÿåì òðåòüå,
êîòîðîå îñòàâëÿåì
áåç èçìåíåíèÿ:
Ìû çíàåì, ÷òî
óðàâíåíèÿ ñ íóëåâûìè
êîýôôèöèåíòàìè
è íóëåâûì ñâîáîäíûì
÷ëåíîì ìîæíî
èñêëþ÷àòü èç
ñèñòåìû, è ìû
ïîëó÷èì ðàâíîñèëüíóþ
ñèñòåìó:
Ýòî óðàâíåíèå
ìû óæå ðåøàëè,
îòâåò ïîëó÷èëñÿ
(1; 2; -2). À âàì èíòåðåñíî
êàê ìîæíî ðåøàòü
íå êâàäðàòíûå
ñèñòåìû â ïðîãðàììå
MathCAD?
Äëÿ ðåøåíèÿ ñîâìåñòíûõ
ñèñòåì ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé íåîáõîäèìî
èñïîëüçîâàòü
áëîê, âêëþ÷àþùèé
êëþ÷åâîå ñëîâî
Given è âñòðîåííóþ
ôóíêöèþ find.
Äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû
óðàâíåíèé íåîáõîäèìî
âûïîëíèòü ñëåäóþùåå:
1. Íàïå÷àòàòü
êëþ÷åâîå ñëîâî
Given. Îíî óêàçûâàåò
MathCAD, ÷òî äàëåå
ñëåäóåò ñèñòåìà
óðàâíåíèé.
2. Ââåñòè óðàâíåíèÿ
â ëþáîì ïîðÿäêå.
3. Ââåñòè ëþáîå
âûðàæåíèå, êîòîðîå
âêëþ÷àåò ôóíêöèþ
Find, íàïðèìåð: à:= Find(õ,ó).
Âìåñòî è â ñêîáêàõ
äîëæíû ñòîÿòü
ïåðåìåííûå, êîòîðûå
âõîäÿò â âàøó
ñèñòåìó.
. Çàòåì íàïå÷àòàéòå
çíàê ñèìâîëüíîãî
îïåðàòîðà ().
Ðåøåíèå áóäåò
ïðåäñòàâëåíî
â âèäå ñòîëáöà.
Ôóíêöèþ Find íå îáÿçàòåëüíî
ââîäèòü ñ êëàâèàòóðû,
ìîæíî êàê è ôóíêöèþ
lsolve âñòàâèòü
÷åðåç Âñòàâêó
íà ïàíåëè çàäà÷
(ñìîòðè ðèñóíîê
2.5.1). Âîò êàê áóäåò
âûãëÿäåòü ðåøåíèå
íàøåé çàäà÷è
â ñèñòåìå MathCAD:
Ðèñóíîê 2.5.3. Ðåøåíèå
ñ ïîìîùüþ áëîêà
Given Find.
Ñ ïîìîùüþ áëîêà
Given Find ìîæíî ðåøàòü
ëþáûå ñèñòåìû
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé,
â òîì ÷èñëå è êâàäðàòíûå.
Ðåøèì òåïåðü
ñëåäóþùèå ïðèìåðû
â òåòðàäÿõ âðó÷íóþ
è ñàìîñòîÿòåëüíî,
èñïîëüçóÿ ëþáîé
èç äâóõ àëãîðèòìîâ.
Ïîòîì ïðîâåðèì
â ñèñòåìå MathCAD. Íîìåðà
èç ó÷åáíèêà
Êîëìîãîðîâà À.Í.
¹¹1455,1456, íà ñòðàíèöå
228.
¹ 1455 ¹1456
Êîãäà áîëüøàÿ
÷àñòü ó÷åíèêîâ
ñïðàâèòñÿ ñ íîìåðîì
¹1455 âûçûâàåì ó÷åíèêà
ê äîñêå, îí ðåøàåò
ýòó ñèñòåìó.
Ðåøèâ åå íà äîñêå
è ïðîâåðèâ ðåçóëüòàòû
âû÷èñëåíèé, äàåì
ðåøèòü åå âñåìó
êëàññó â ñèñòåìå
êîìïüþòåðíîé
ìàòåìàòèêè
MathCAD. Óêàçûâàåì ðåáÿòàì
íà âðåìÿ, çà êîòîðîå
îíè âûïîëíèëè
ýòî çàäàíèå âðó÷íóþ
è â êîìïüþòåðå.
Ðàññìîòðèì ðåøåíèå
ýòè çàäàíèé.
Ðåøåíèå ¹1455 âðó÷íóþ:
Îòâåò: (-3; 2; -1)
Ðåøåíèå â ñèñòåìå
MathCAD:
Ðåøåíèå ¹1456 âðó÷íóþ:
Îòâåò: (2; 3; 1)
Ðåøåíèå â ñèñòåìå
MathCAD:
ìàòåìàòè÷åñêèé
ëèíåéíûé óðàâíåíèå
mathcad
Óðîê ¹ 11 (ïðîäîëæèòåëüíîñòü
40 ìèíóò)
Òåìà: " Ðåøåíèå
íåîïðåäåëåííûõ
ñèñòåì ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé âðó÷íóþ
è â ñðåäå MathCAD"
Öåëè:
à) îáðàçîâàòåëüíàÿ
- îñâîåíèå ó÷àùèìèñÿ
ñïîñîáîâ âûÿâëåíèÿ
ãëàâíûõ è ñâîáîäíûõ
ïåðåìåííûõ. Óñâîåíèå
àëãîðèòìà ðåøåíèÿ
íåîïðåäåëåííûõ
ñèñòåì ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé.
á) ðàçâèâàþùàÿ
- ðàçâèòèå ó ó÷àùèõñÿ
àëãîðèòìè÷åñêîé
êóëüòóðû;
â) âîñïèòàòåëüíàÿ
- âîñïèòàíèå ó
ó÷àùèõñÿ óñèä÷èâîñòè,
àêêóðàòíîñòè
è áåðåæëèâîñòè.
Òèï óðîêà: îáúÿñíåíèå
íîâîãî ìàòåðèàëà.
Ëèòåðàòóðà:
5. Âèëåíêèí Í.ß.
è äðóãèå. Àëãåáðà
è ìàòåìàòè÷åñêèé
àíàëèç. 11 êëàññ:
ó÷åáíîå ïîñîáèå
äëÿ øêîë è êëàññîâ
ñ óãëóáëåííûì
èçó÷åíèåì ìàòåìàòèêè
/ - 11-å èçä., ñòåðåîòèï.
- Ì.: Ìíåìîçèíà,
2004. - 288ñ.; èë.
6. Àëãåáðà è íà÷àëà
àíàëèçà: ó÷åáíîå
ïîñîáèå äëÿ 9 è
10 êëàññîâ ñðåäíåé
øêîëû / ïîä ðåä. À.Í.Êîëìîãîðîâà,
Ì.: Ïðîñâåùåíèå,
1983.- 335ñ.
7. À.Ã.Ñîëîíèíà
MathCAD â çàäà÷àõ
ïî àëãåáðå è òåîðèè
÷èñåë: Ó÷åáíîå
ïîñîáèå äëÿ ïåäâóçîâ.
Ì.:ÒÖ Ñôåðà ,2000. 181
. Äüÿêîíîâ Â.Ï.
Ñïðàâî÷íèê ïî
MathCAD PLUS 6.0 PRO Ì.:
ÑÊ-ÏÐÅÑÑ,1997
Âûâîä
ïî ãëàâå 2
 äàííîé ãëàâå
áûë îñóùåñòâëåí
êðèòè÷åñêèé
àíàëèç öåëåé
îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå
èç ñòàíäàðòà
ñðåäíåãî (ïîëíîãî)
îáùåãî îáðàçîâàíèÿ,
ïðîôèëüíûé óðîâåíü.
Áûëè ïðåäëîæåíû
ñâîè öåëè îáó÷åíèÿ,
ïðè÷åì ðàçëè÷íûõ
èåðàðõè÷åñêèõ
óðîâíåé.
Ïðîâåäåí àíàëèç
øêîëüíûõ ó÷åáíèêîâ
ïî òåìå "Ñèñòåìû
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé",
îñíîâûâàÿñü
íà òåîðèè èç ïåðâîé
ãëàâû.
Áûëè ðàññìîòðåíû
ðàçëè÷íûå ôîðìû
îðãàíèçàöèè
îáó÷åíèÿ, â ðåçóëüòàòå
áûë âûáðàí ýëåêòèâíûé
êóðñ, êàê íàèáîëåå
ïîäõîäÿùàÿ ôîðìà
îáó÷åíèÿ â øêîëå.
Ðàçðàáîòàíà
ïðîãðàììà ïî ýëåêòèâíîìó
êóðñó "Èçó÷åíèå
èçáðàííûõ âîïðîñîâ
ïî ìàòåìàòèêå
ñ èñïîëüçîâàíèåì
ñèñòåìû êîìïüþòåðíîé
ìàòåìàòèêè
MathCAD", íàïèñàíû òåìàòè÷åñêèé
ïëàí, êîíñïåêòû
íåêîòîðûõ óðîêîâ;
ðàññìîòðåíî
ïðèìåíåíèå ñèñòåìû
êîìïüþòåðíîé
ìàòåìàòèêè MathCAD.
Çàêëþ÷åíèå
Èòàê, öåëü ðàáîòû
áûëà äîñòèãíóòà:
ðàçðàáîòàí ýëåêòèâíûé
êóðñ ïî òåìå:
"Èçó÷åíèå èçáðàííûõ
âîïðîñ ïî ìàòåìàòèêå
ñ èñïîëüçîâàíèåì
ñèñòåìû êîìïüþòåðíîé
ìàòåìàòèêè
MathCAD".
Áûëè ðàññìîòðåíû
ìàòåìàòè÷åñêèå,
èíôîðìàöèîííûå,
ïñèõîëîãî-ïåäàãîãè÷åñêèå
îñíîâû èññëåäîâàíèÿ;
ïðîàíàëèçèðîâàíû
ñòàíäàðòû ñðåäíåãî
(ïîëíîãî) îáðàçîâàíèÿ
ïî ìàòåìàòèêå
è èíôîðìàòèêå
(áàçîâûé è ïðîôèëüíûé
óðîâåíü), à òàêæå
îáÿçàòåëüíûé
ìèíèìóì ñîäåðæàíèÿ
îñíîâíûõ îáðàçîâàòåëüíûõ
ïðîãðàìì ïî ìàòåìàòèêå
è èíôîðìàòèêå.
Áûëè âûÿâëåíû
âîçìîæíîñòè
ñèñòåìû MathCAD äëÿ èçó÷åíèÿ
ñèñòåì ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé. È êàê
âèäíî èç ðàáîòû
âîçìîæíîñòè
ýòè íå åäèíè÷íû,
ò.å. ñèñòåìà MathCAD ðåøàåò
ðàçëè÷íûå ëèíåéíûå
óðàâíåíèÿ ðàçëè÷íûìè
ñïîñîáàìè.
Òàêæå áûë îñóùåñòâëåí
êðèòè÷åñêèé
àíàëèç øêîëüíûõ
ó÷åáíèêîâ ïî
òåìå "ñèñòåìû
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé",
êîòîðûé ïîêàçàë,
÷òî â îãðîìíîì
êîëè÷åñòâå ðåêîìåíäóåìûõ
ó÷åáíèêîâ, ñîâåðøåííûõ
íåò, ïî÷òè â êàæäîì
åñòü êàêèå-òî
íåòî÷íîñòè, êàê
ñ òî÷êè çðåíèÿ
ìàòåìàòèêè,
òàê è ñ òî÷êè
çðåíèÿ ìåòîäèêè
îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå.
Ëèòåðàòóðà
1. À.Ã.Ñîëîíèíà
MathCAD â çàäà÷àõ
ïî àëãåáðå è òåîðèè
÷èñåë: Ó÷åáíîå
ïîñîáèå äëÿ ïåäâóçîâ.
Ì.:ÒÖ Ñôåðà ,2000. 181
2. Àëãåáðà:
Ó÷åá. äëÿ 7êë îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ
ó÷ðåæäåíèé / Þ.Í.
Ìàêàðû÷åâ, Í.Ã.Ìèíäþê,
Ê.È.Íåøêîâ, Ñ.Á.Ñóâîðîâà;
Ïîä ðåä. Ñ.À.Òåëÿêîâñêîãî.
Ì.:Ïðîñâåùåíèå,
2006.-240ñ.
. Àëãåáðà:
Ó÷åáíèê äëÿ 7êë
îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ
ó÷ðåæäåíèé / À.Ã.Ìîðäêîâè÷,
Ì.: Ïðîñâåùåíèå,
2005.-235ñ.
. Àëãåáðà
è íà÷àëà àíàëèçà:
ó÷åáíîå ïîñîáèå
äëÿ 9 è 10 êëàññîâ
ñðåäíåé øêîëû
/ ïîä ðåä. À.Í.Êîëìîãîðîâà,
Ì.: Ïðîñâåùåíèå,
1983.- 335ñ.
. Äüÿêîíîâ
Â.Ï. Àâòîìàòèçàöèÿ
ìàòåìàòè÷åñêèõ
ðàñ÷åòîâ ñ ïîìîùüþ
ñèñòåìû MathCAD.//Ìèð ÏÊ. 1991. ¹8
. Äüÿêîíîâ
Â.Ï. Ñèñòåìà MathCAD: Ñïðàâî÷íèê.
Ì.: Ðàäèî èñâÿçü,
1993, 128ñ.
. Äüÿêîíîâ
Â.Ï. Ñïðàâî÷íèê
ïî MathCAD PLUS 6.0 PRO Ì.:
ÑÊ-ÏÐÅÑÑ,1997
. Çèìíÿÿ
È.À. Ïåäàãîãè÷åñêàÿ
ïñèõîëîãèÿ: Ó÷åáíèê
äëÿ âóçîâ. Èçä.
âòîðîå, äîï., èñïð.
è ïåðåðàá. Ì.: Ëîãîñ,
2003. 384ñ.
. Ïàíþêîâà
Ñ.Â. Èíôîðìàöèîííûå
è êîììóíèêàöèîííûå
òåõíîëîãèè â
ëè÷íîñòíî îðèåíòèðîâàííîì
îáó÷åíèè. Ì.: Èçä-âî
ÈÎÑÎ ÐÀÎ, 1998. 225ñ.
. Ïåäàãîãèêà.
Ó÷åáíîå ïîñîáèå
äëÿ ñòóäåíòîâ
ïåäàãîãè÷åñêèõ
âóçîâ è ïåäàãîãè÷åñêèõ
êîëëåäæåé /Ïîä
ðåä. Ï.È.Ïèäêàñèñòîãî.
Ì.: Ïåäàãîãè÷åñêîå
îáùåñòâî Ðîññèè,2005.
608ñ.
. Ñîëîíèíà
À.Ã Êîíöåïöèÿ
ïåðñîíàëèçèðîâàííîãî
îáó÷åíèÿ: Ìîíîãðàôèÿ.
Ì.: Ïðîìåòåé,1997
. Ë.ß.Êóëèêîâ
Àëãåáðà è òåîðèÿ
÷èñåë: Ó÷åá.ïîñîáèå
äëÿ ïåäàãîãè÷åñêèõ
èíñòèòóòîâ.
-Ì.: Âûñø.øêîëà,
1979. - 559ñ.,èë.
. Êîñòðèêèí
À.È. Ââåäåíèå â
àëãåáðó. ×àñòü
I. Îñíîâû àëãåáðû:
Ó÷åá.äëÿ âóçîâ.
- 2-å èçä., èñïðàâë.
- Ì.: ÔÈÇÌÀËÈÒ,
2004. - 272ñ.
. ß.È.Ãðóäåíêîâ
Ïñèõîëîãî-äèäàêòè÷åñêèå
îñíîâû ìåòîäèêè
îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå,
Ì.,1987
. Â.È.Çàãâÿçèíñêèé
Ìåòîäîëîãèÿ è
ìåòîäèêà äèäàêòè÷åñêîãî
èññëåäîâàíèÿ,
Ì..1982
. Êîíöåïöèÿ
èíôîðìàòèçàöèè
îáðàçîâàíèÿ
// Èíôîðìàòèêà
è îáðàçîâàíèå,1988,
¹2
. Â.Ì.Êîðîòîâ
Îáùàÿ ìåòîäèêà
ó÷åáíî-âîñïèòàòåëüíîãî
ïðîöåññà, Ì.,1983
. Â.À.Êðóòåöêèé
Ïñèõîëîãèÿ îáó÷åíèÿ
è âîñïèòàíèÿ,
Ì.,1976
. Å.È.Ìàøáèö
Ïñèõîëîãî-ïåäàãîãè÷åñêèå
ïðîáëåìû êîìïüþòåðèçàöèè
îáó÷åíèÿ, Ì.,1988
. Ñòîóíñ
Ý. Ïñèõîïåäàãîãèêà.
Ïñèõîëîãè÷åñêàÿ
òåîðèÿ è ïðàêòèêà
îáó÷åíèÿ. Ì.,1984
. Áàøìàêîâ
Ì.È., Ïîçäíÿêîâ
Ñ.Í. è äð. Èíôîðìàöèîííàÿ
ñðåäà îáó÷åíèÿ,
ÑÏá.,1997
. Ëåéíèñ
Í.Ñ. Óìñòâåííûå
ñïîñîáíîñòè
è âîçðàñò, Ì.,1971
. Êàðôèäîâà
Þ.À. èçó÷åíèå
ýëåìåíòàðíûõ
ôóíêöèé â øêîëå
ïîñðåäñòâîì ñèñòåìû
êîìïüþòåðíîé
ìàòåìàòèêè
/Âûïóñêíàÿ êâàëèôèêàöèîííàÿ
ðàáîòà ïî òåîðèè
è ìåòîäèêå îáó÷åíèÿ
ìàòåìàòèêå. Ðÿçàíü,
2008, 135ñ.
. Ãîâÿäîâñêàÿ
À.Í. Ìîòèâàöèÿ
îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå
â ñðåäíåé øêîëå
/ Âûïóñêíàÿ êâàëèôèêàöèîííàÿ
ðàáîòà ïî òåîðèè
è ìåòîäèêå îáó÷åíèÿ
ìàòåìàòèêå. Ðÿçàíü,
2008,165ñ.
. Áîëüøîé
ïñèõîëîãè÷åñêèé
ñëîâàðü /Ñîñò.
Ìåùåðÿêîâ Á.Ã.,
Çèí÷åíêî Â.Ï. Ì.,2004
. Áîëüøîé
ýíöèêëîïåäè÷åñêèé
ñëîâàðü /Ñîñò.
Ïðîõîðîâ Ô.Ì. - Ì.,2000
. Âûãîäñêèé
Ë.Ñ. Ïåäàãîãè÷åñêàÿ
ïñèõîëîãèÿ. Ì.,1991
. Ìåòåëüñêèé
Í.Â. Î÷åðêè èñòîðèè
ìåòîäèêè ìàòåìàòèêè.
Ê âîïðîñó î ðåôîðìå
ïðåïîäàâàíèÿ
ìàòåìàòèêè â
ñðåäíåé øêîëå.
Ïîä ðåä.È.ß. Äåïìàíà.
Ìèíñê,1968. 340ñ.
. Ìåòåëüñêèé
Í.Â. Ïñèõîëîãî-ïåäàãîãè÷åñêèå
îñíîâû äèäàêòèêè
ìàòåìàòèêè.
Ìí.,1977
. Ìåòåëüñêèé
Í.Â. Ïóòè ñîâåðøåíñòâîâàíèÿ
îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå:
ïðîáëåìû ñîâðåìåííîé
ìåòîäèêè ìàòåìàòèêè.
Ìí.,1989.-160ñ.
. Ïñèõîëîãèÿ:
Áîëüøàÿ ñîâðåìåííàÿ
ýíöèêëîïåäèÿ./Ñîñò.
Ðàïàöåâè÷ Å.Ñ.
Ìí.,20005
. Ñàðàíöåâ
Ã.È. Îáùàÿ ìåòîäèêà
ïðåïîäàâàíèÿ
ìàòåìàòèêè.
Ñàðàíñê,1999
. Ôðèäìàí
Ë.Ì. Ïñèõîëîãè÷åñêèé
ñïðàâî÷íèê ó÷èòåëÿ.
Ì.,1991
. Áàáàåâà
Þ.Ä. è äð. Äèàëîã
ñ ÝÂÌ: ïñèõîëîãè÷åñêèå
àñïåêòû // Âîïðîñû
ïñèõîëîãèè.
1983. ¹2. Ñ. 18-25.
. Áàáàåâà
Þ.Ä., Âîéñêóíñêèé
À.Å. Ïñèõîëîãè÷åñêèå
ïîñëåäñòâèÿ èíôîðìàòèçàöèè
// Ïñèõîëîãè÷åñêèé
æóðíàë. 1998. Ò.19. ¹1. Ñ.
89-100.
. Äîðîíèíà
Î.Â. Ñòðàõ ïåðåä
êîìïüþòåðîì: ïðèðîäà,
ïðîôèëàêòèêà,
ïðåîäîëåíèå // Ïñèõîëîãè÷åñêèé
æóðíàë. 1997. Ò. 18. ¹1. Ñ.
113-121
. Âàñèëüåâà
È.À., Îñèïîâà Å.Ì.,
Ïåòðîâà Í.Í. Ïñèõîëîãè÷åñêèå
àñïåêòû ïðèìåíåíèÿ
èíôîðìàöèîííûõ
òåõíîëîãèé // Âîïðîñû
ïñèõîëîãèè.
2002. ¹3
. Ñàìûëêèíà
Í.Í. Ïðîãðàììà
ýëåêòèâíîãî
êóðñà "Ïîäãîòîâêà
ê åäèíîìó ãîñóäàðñòâåííîìó
ýêçàìåíó ïî èíôîðìàòèêå"
//Èíôîðìàòèêà
è îáðàçîâàíèå.
2007. ¹1. ñ.28-30
. Ôðèäìàí
Ë.Ì. Ïñèõîëîãî-ïåäàãîãè÷åñêèå
îñíîâû îáó÷åíèÿ
ìàòåìàòèêå â
øêîëå. Ì.,1983
. Çóáðèëèí
À.À. Î íåêîòîðûõ
ïðîáëåìàõ âíåäðåíèÿ
ýëåêòèâíûõ êóðñîâ.
// Ïåäàãîãèêà. 2007.
¹7. Ñ.32-38.
. Ñàðêååâà
À.Í. Ñèñòåìû êîìïüþòåðíîé
ìàòåìàòèêè â
èíòåãðàöèè ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî
îáðàçîâàíèÿ
â ñðåäíåé øêîëå.
// Èíôîðìàòèêà
è îáðàçîâàíèå.
2008. ¹8. Ñ.88-91.
. Ìàñëåíèêîâà
Î.Í. ÈÊÒ-íàñûùåííàÿ
îáðàçîâàòåëüíàÿ
ñðåäà: ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå
ñîïðîâîæäåíèå.
// Èíôîðìàòèêà
è îáðàçîâàíèå.
2008. ¹1
. Ïîïàäüèíà
Ñ.Þ. ñèñòåìà êîìïüþòåðíîé
ìàòåìàòèêè â
ïðîôèëüíîì îáó÷åíèè.
// Èíôîðìàòèêà
è îáðàçîâàíèå.
2007. ¹5. Ñ.71-76.
Ðàçìåùåíî
íà Allbest.ru