Определение неизвестной вероятности

Определение неизвестной вероятности

Контрольная работа по

«Теория вероятностей и математическая статистика»

Задача №1

Партия из 10 деталей содержит 7 стандартных и 3 нестандартных детали. Для контроля отбираются две. Какова вероятность, что обе детали стандартные?

Решение:

Число всех возможных исходов - это число сочетаний из 10 по 2. Поэтому

.

Число вариантов выбора 2 стандартных из 7 стандартных - это число сочетаний из 7 по 2, то есть

=,

Тогда вероятность события “из партии взяли 2 стандартных детали ”

.

Задача №2

На склад поступает 60% продукции с первого участка и 40% со второго, причем с первого - 80% изделий первого сорта, а со второго - 75%. Какова вероятность того, что наудачу взятое изделие изготовлено на втором участке, если оно первого сорта.

Решение:

Обозначим за Н₁ событие - продукция с первого участка, за Н₂ событие - продукция со второго участка. Тогда: Р(Н₁) = 0,60 - вероятность того, что продукция с первого участка. Соответственно Р(Н₂) = 0,40 - вероятность того, что продукция со второго участка.

Пусть событие А - изделий первого сорта, тогда Р (А|Н₁) = 0,80 - вероятность, что изделие первого сорта изготовлено на первом участке, соответственно Р(А|Н₂) = 0,75 изделие первого сорта изготовлено на втором участке.

Вероятность того, что случайно выбранное изделие первого сорта:

Р(А) = Р(Н₁)·Р(А|Н₁) + Р(Н₂)·Р(А|Н₂) = 0,600,80 + 0,400,75 = 0,48 + 0,30 = 0,78.

Р(Н₂|А) - вероятность того, что случайно выбранное изделие первого сорта изготовлено на втором участке:

.

Задача №3

Найти неизвестную вероятность Р, математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины, заданной таблицей распределения вероятностей. Найти функцию распределения.

Решение:

Так как сумма всех вероятностей в таблице равна единице, то

, 1 + 0,1 + Р + 0,3 + 0,05 + 0,15 =1.

Отсюда Р = 0,3.

Теперь можно написать закон распределения

Находим математическое ожидание и дисперсию:

(X) = (-3)´0,1 + (-2)´0,1 + 1´0,3 + 4´0,3 + 7´0,05 + 9´0,15 = 2,7

Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой

(X) = M(X²) - (M(X))²(X²) =(-3)²´0,1 + (-2)²´0,1 + 1²´0,3 + 4²´0,3 + 7²´0,05 + 9²´0,15 = 21,0

Тогда(X) = 21,0 - 2,7² = 13,71

Функция F(х) равна:

F(х)=0 если х<-3

F(х)=0,1 если -3≤х<-2

F(х)=0,2 если -2≤х<1

F(х)=0,5 если 1≤х<4

F(х)=0,8 если 4≤х<7

F(х)=0,85 если 7≤х<9

F(х)=1,0 если х≥9

График F(x).

Средняя прочность основной пряжи а = 60 и с вероятностью 0,9973 прочность лежит в пределах от 48 до 72. Найти вероятность того, что значение прочности находится в пределах от 52 до 68, если прочность распределена нормально.

(Указание. При данной вероятности интервал 48 - 72 имеет длину 6σ).

Решение:

Вероятность попадания неизвестного математического ожидания в интервал

определяется формулой

дисперсия лаплас выборочный вероятность

 < а <

где  - табулированная функция Лапласа.

Значения функции Лапласа F(х) приведены в таблице.

Выполнив преобразования и подставив значения g=0,9973 в формулу определим среднеквадратичное отклонение σ:

*F(t)= g отсюда F(t)= 0,9973/2=0,49865

/ σ=3 (по таблице значений);

σ =4.

Таким образом g₁=2*F(t)=2*F(8/4)=2*0,47725=0,9545.

g₁=0,9545.

Задача №5

Построить доверительный интервал для математического ожидания a нормально распределенной генеральной совокупности с известным среднеквадратичным отклонением s с помощью выборки объема n с данным средним выборочным , с заданной надежностью g=0,90.

Решение:

Вероятность попадания неизвестного математического ожидания в интервал  определяется формулой

 < а <

где  - табулированная функция Лапласа.

Значения функции Лапласа F(х) приведены в таблице.

Зная  т.е. , найдем по таблице t=1,65.

Отсюда

Следовательно, имеем доверительный интервал 73,47 < а < 76,77.

Задача №6

Исследовать статистически случайную величину X - прочность (разрывная нагрузка), мН, пряжи линейной плотности 18,5 текс. Для этого произведена выборка объема n=40. Результаты испытаний приведены в таблице.

Решение:

Число классов k определяется по объему выборки n с помощью таблицы.

Выбираем k =6.

Найдем длину классового промежутка D по формуле

Здесь x_max наибольшее и x_min наименьшее значения. По таблице находим x_min = 132; x_max = 320. Тогда длина классового промежутка

Δ = (320-132)/6 = 188/6 ≈31.

Значение Δ берется приближенно с той же точностью, с которой определены значения элементов выборки. Определяем границы классовых промежутков.

Левая граница первого промежутка принимается равной . Левая граница каждого следующего промежутка получается прибавлением Δ к левой границе предыдущего промежутка. Правый конец каждого промежутка меньше левого конца следующего промежутка на единицу последнего десятичного разряда значений в таблице исходных данных. Этим обеспечивается то, что каждое значение выборки попадает только в один интервал.

Все элементы выборки должны относиться к тому или иному классовому промежутку. При этом все элементы, попавшие в один и тот же промежуток, считаются равными между собой и равными среднему арифметическому границ промежутка. Отметим, что достаточно найти середину только одного из классовых промежутков, так как середины соседних промежутков отличаются друг от друга на Δ. Теперь вместо исходной выборки изучается ее приближение, выборочный ряд середин промежутков .

Создаем расчетную таблицу

Левая граница 1-го интервала 132-(31/2)=116. Далее 116 + 31 = 147; 147 + 31 = 178 и т. д. Правая граница первого интервала 147 - 1=146, следующая - 146 + 31 = 177 и т.д.

Затем заполняем второй столбец х₁=(116+146)/2=131, х₂=131+31=162 и т.д.

Всего получится k + 1промежуток, в нашем случае 6+1=7.

x_max лежит внутри последнего промежутка.

После того как заполнены столбцы 1 и 2, переходим к столбцу 3. Для каждого элемента выборки находят классовый промежуток, которому принадлежит этот элемент, и в строке этого промежутка в столб. 3 ставят штрих. Рекомендуется четыре штриха ставить вертикально, а пятый - горизонтально, перечеркивая им четыре предыдущих. Сумма штрихов в ячейке равна частоте соответствующего значения и записывается рядом (в столб. 4). Частоты обозначаются,  и их сумма ставится в последней строке. При этом должно выполняться условие

.

Выбираем условный нуль А, совпадающий с тем значением , которое соответствует среднему классовому промежутку, а если таковых два, то тому из них, который имеет большую частоту Z_i.

Строке табл. 1, соответствующей условному нулю А (у нас это строка 6, z₆=10, A=286), соответствует a_i=0, строки над этой имеют соответственно a_{i -1}=- 1, a_{i -2} = -2, и т. д., а строки под i-й - a_{i +1} = 1, a_{i +2} = 2, a_{i +3} = 3 и т.д. После этого заполняются столбцы 6 - 9, а затем последняя строка - «Сумма» - для этих столбцов.

Для нахождения оценок параметров распределения случайной величины Х сначала определяются начальные условные моменты m_r.

,

где r = 1; 2; 3; 4.

Числители в для каждого момента уже получены в строке «сумма» таблицы 1. Оценка математического ожидания величины X - среднее арифметическое выборки - выражается через начальный условный момент первого порядка

Центральные условные моменты определяются по формулам:

Оценки остальных числовых характеристик случайной величины Х выражаются через эти моменты:

оценка среднего квадратичного отклонения

;

оценка коэффициента вариации

оценка коэффициента асимметрии

оценка коэффициента эксцесса

Тогда центральные условные моменты по формулам будут равны:

= 4,675 - (-1,425)² ≈2,6444;

= 15,825 - (-1,425)*(2*2,6444 + 4,675) ≈ 30,0234;

= 60,475 - 2*(-1,425)*(30,0234 + 15,825) +(-1,425)⁴ ≈ 195,266.

Теперь находим оценки параметров распределения прочности пряжи:

= 286 - 1,425*31 = 241,825≈242 мН;_В =31*(2,6444)^1/2 =50,411 мН;

С_В =(50,411/242)*100=20,83;_S =30/(2,6444*2,6444^1/2 )=6,98;_X =195,266/(2,6444)² =27,9.

Для нормальной случайной величины коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю. Так как оценки параметров - это их приближённые значения, найденные по результатам обработки выборки, то они могут, даже для выборки из нормальной генеральной совокупности, несколько отличаться от нуля.

Поэтому считается, что если , то распределение умеренно отличается от нормального.

Если же , то отличие от нормального распределения значительное. По асимметрии и по эксцессу распределение значительно отличается от нормального. Для определения теоретических частот нормального закона распределения используются таблицы функции Лапласа

.

Составим таблицу теоретических значений (табл. 2).

Первые два столбца табл. 2 соответствуют третьему и четвертому столбцам табл. 1. Для каждого определяется нормированное отклонение t_i:

,

которое вносится в столб. 3 табл. 2. Затем находят по указанным таблицам значения функции и записывают их в столб. 4. Теоретические частоты пропорциональны плотности нормального распределения. Коэффициент пропорциональности  определяется так, чтобы сумма теоретических частот равнялась объёму выборки, т. е.

.

Тогда теоретические частоты Z_i’ определяются по формуле

.

Для контроля вычислений следует проверить выполнение равенства

.

Так как теоретические частоты определяются по формуле (14) приближенно (рекомендуется находить их с точностью 0,01), то может отличаться от объема выборки на 0,01 - 0,02. В последний столбец вносят значения относительных квадратов отклонений фактических частот от теоретических и находят их сумму

которая сравнивается с табличным значением , определяемым по уровню значимости α и числу степеней свободы  по таблицам распределения Пирсона, где k - фактическое число классовых промежутков; α - уровень значимости.

Составим таблицу 2.

Если , то гипотеза о нормальности распределения отвергается. При этом вероятность отвергнуть верную гипотезу не превышает α.

Если , то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальности распределения.

Коэффициент пропорциональности для нахождения теоретических частот

λ=40/1,56212≈25,61

Расчётное значение критерия Пирсона .

Число степеней свободы f = 7 - 3 = 4.

Выбираем уровень значимости α = 0,05 и по таблицам распределения Пирсона находим =9,48773≈9,5.

Так как = 4,507 <  то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальности распределения прочности пряжи Т = 18,5 текс.

По данным столб. 1 и 2 строим на графике полигон частот. Для этого на график наносят точки , которые соединяют ломаной линией. На том же графике строится теоретическая кривая Гаусса. Для этого наносим точки с координатами  и дополнительную точку максимума, абсцисса которой равна , а ордината определяется по формуле .

Так для =242 имеем Z_max=25,61*0,3989≈10,22.

Построенные точки соединяем плавной кривой.

Задача №7

Найти по заданному вариационному ряду выборки выборочное среднее _b, выборочную дисперсию , исправленную выборочную дисперсию .

Решение:

Найдем объем выборки

n = ∑ n_i = 5 + 10 + 30 + 25 + 15 + 10 + 5 = 100.

Определим выборочное среднее

В нашем случае

_b = (110×5+ 115×10+120×30 +125×25+130× 15+135×10+140 ×5)/100=12425/100 = 124,25

Определим выборочную дисперсию

,

=[5×(110-124,25)²+10×(115-124,25)²+30×(120-124,25)²+25×(125-124,25)²+15×(130-124,25)²+10×(135-124,25)²+5×(140-124,25)²]/100=5318,75/100=53,1875

Определим исправленную выборочную дисперсию