Теория вероятности

Теория вероятности

Задача 1

Вероятность появления события  в каждом из  испытаний . Найти вероятность того, что в  испытаниях событие  появится:

а) ровно  раз;

б) не более  раз;

в) не меньше  раз.

РЕШЕНИЕ

а) Вероятность того, что событие произойдет ровно 2 раза из 5, найдем по формуле Бернулли.

где  - общее количество испытаний,  - количество появлений события ,  - вероятность появления события ,  - вероятность появления события .

б) Вероятность того, что событие произойдет не более 2х раз равносильно сумме событий .

Вероятность указанных событий найдем по формуле Бернулли.

б) Вероятность того, что событие произойдет не меньше 4х раз равносильно сумме событий .

Вероятность указанных событий найдем по формуле Бернулли.

Задача 2

Задана дискретная случайная величина . Найти функцию распределения случайной величины . Построить ее график. Найти .

РЕШЕНИЕ

Найдем функцию распределения

Построим график функции распределения.

Математическое ожидание дискретной случайной величины найдем по формуле

Дисперсию дискретной случайной величины  найдем по формуле

Найдем среднее квадратическое отклонение

.

Задача 3

Исходя из свойств интегральной функции распределения , определить неизвестные параметры. Найти плотность распределения . Построить графики . Найти

.

РЕШЕНИЕ

Функция  является непрерывной по определению. Чтобы в точках  не было разрыва должны выполняться следующие условия:

Т.о. интегральная функция распределения равна

Найдем плотность распределения .

По свойству плотности вероятности:

.

Значит параметр  найден верно.

Построим графики функции распределения  и плотности распределения .

Математическое ожидание находим по формуле:

Найдем дисперсию:

Среднее квадратическое отклонение:

Задача 4

Непрерывная случайная величина  распределена по нормальному закону:

Найти функцию распределения, .

РЕШЕНИЕ

Найдем функцию распределения непрерывной случайной величины.

Найдем параметр . По определению функция распределения является непрерывной, следовательно, должно выполняться следующее условие:

Тогда функция распределения приобретает вид:

Найдем вероятность попадания в интервал .

Задача 5

Исходя из свойств плотности распределения, определить параметр , построить график . Найти функцию распределения .

РЕШЕНИЕ

По свойству плотности распределения

Плотность распределения имеет вид:

Построим график

Найдем функцию распределения по формуле:

событие дискретный интегральный распределение