Теория вероятности

Теория вероятности

Математический аппарат современной экономики часто используется на основе традиционной теории вероятности, однако сама теория вероятности основана на системе аксиом. Для этой теории характерна частотная интерпретация вероятности события: мы не знаем, каков будет исход данного конкретного эксперимента, но знаем, какова доля того или иного исхода во множестве всех возможных исходов эксперимента, многократно поставленного при неизменных начальных условиях. В теории вероятности предполагается, что случайные величины распределены по некоторому распределению. В этом случае расчеты существенно упрощаются. Такое предположение не лишено оснований, скажем, при планировании инвестиций, при моделировании физических процессов (существует теорема о том, что среднее от независимых случайных величин, распределенных по произвольным законам, распределено по Гауссу).  Итак, в своем эссе я рассмотрю случайные величины и функции распределения.

Случайные величины

Определение. Пусть — произвольное вероятностное пространство.

Случайной величиной называется измеримая функция , отображающая в множество действительных чисел , т.е. функция, для которой прообраз любого борелевского множества есть множество из -алгебры .

Примеры случайных величин. 1) Число выпавшее на грани игральной кости.

2) Размер выпускаемой детали. 3) Расстояние от начала координат до случайно брошенной в квадрат точки .

Множество значений случайной величины будем обозначать , а образ элементарного события — . Множество значений может быть конечным, счетным или несчетным.

Определим -алгебру на множестве . В общем случае -алгебра числового множества может быть образована применением конечного числа операций объединения и пересечения интервалов или полуинтервалов вида (), в которых одно из чисел или может быть равно или .

В частном случае, когда — дискретное (не более чем счетное) множество, -алгебру образуют любые подмножества множества , в том числе и одноточечные.

Таким образом -алгебру множества можно построить из множеств или , или .

Будем называть событием любое подмножество значений случайной величины : . Прообраз этого события обозначим . Ясно, что ; ; . Все множества , которые могут быть получены как подмножества из множества , , применением конечного числа операций объединения и пересечения, образуют систему событий. Определив множество возможных значений случайной величины — и выделив систему событий , построим измеримое пространство . Определим вероятность на подмножествах (событиях) из таким образом, чтобы она была равна вероятности наступления события, являющегося его прообразом: .

Тогда тройка назовем вероятностным пространством случайной величины , где

— множество значений случайной величины ; — -алгебра числового множества ; — функция вероятности случайной величины .

Если каждому событию поставлено в соответствие , то говорят, что задано распределение случайной величины . Функция задается на таких событиях (базовых), зная вероятности которых можно вычислить вероятность произвольного события . Тогда событиями могут быть события .

Функция распределения и ее свойства

Рассмотрим вероятностное пространство , образованное случайной величиной .

Определение. Функцией распределения случайной величины называется функция действительного переменного , определяющая вероятность того, что случайная величина примет в результате реализации эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа :

(1)

Там где понятно, о какой случайной величине , или идет речь, вместо будем писать . Если рассматривать случайную величину как случайную точку на оси , то функция распределения с геометрической точки зрения это вероятность того, что случайная точка в результате реализации эксперимента попадет левее точки .

Очевидно что функция при любом удовлетворяет неравенству . Функция распределения случайной величины имеет следующие свойства:

Доказательство. Пусть и и . Событие, состоящее в том, что примет значение, меньшее, чем , представим в виде объединения двух несовместных событий и : .

Тогда согласно аксиоме 3 Колмогорова, или по формуле (1)

, (2)

откуда , так как . Свойство доказано.

Теорема. Для любых и вероятность неравенства вычисляется по формуле

(3)

Доказательство. Справедливость формулы (3) следует из соотношения (2). Таким образом, вероятность попадания случайной величины в полуинтервал равна разности значений функции распределения вычисленных на концах полуинтервала и .

2) ; .

Доказательство. Пусть и — две монотонные числовые последовательности, причем , при . Событие состоит в том, что . Достоверное событие эквивалентно объединению событий :

; .

Так как , то по свойству вероятностей , т.е. .

Принимая во внимание определение предела, получаем ;

3) Функция непрерывна слева в любой точке ,

Доказательство. Пусть — любая возрастающая последовательность чисел, сходящаяся к . Тогда можно записать:

На основании аксиомы 3

Так как ряд справа состоит из положительных чисел и сходится к , то остаток ряда, начиная с некоторого номера , будет меньше , (теорема об остатке ряда)

.

Используя формулу (3), выразим вероятности событий через функцию распределения. Получим

,

откуда или , а это означает, что .

Теорема. Вероятность того, что значение случайной величины больше действительного числа , вычисляется по формуле .

Доказательство. Достоверное событие представим в виде объединения двух несовместных событий и . Тогда по 3-1 аксиоме Колмогорова или , откуда следует искомая формула.

Определение. Будем говорить, что функция распределения имеет при скачок , если , где и пределы слева и справа функции распределения в точке .

Теорема. Для каждого из пространства случайной величины имеет место формула

Доказательство. Приняв в формуле (3) , и перейдя к пределу при , , согласно свойству 3), получим искомый результат.

Можно показать, что функция может иметь не более чем счетное число скачков. Действительно функция распределения может иметь не более одного скачка , скачков — не более 3-х, скачков не более чем .

Иногда поведение случайной величины характеризуется не заданием ее функции распределения, а каким-либо другим законом распределения, но так, чтобы можно было получить из этого закона распределения функцию распределения .