Анализ прохождения сигналов

Анализ прохождения сигналов

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ

спектральный плотность сигнал усилитель

Задание 1. Для детерминированного сигнала заданной формы определить (в аналитической, табличной и графической формах):

.1 Спектральные характеристики (АЧХ и ФЧХ):

а) периодического сигнала (до 5-й гармоники), среднеквадратичную ошибку аппроксимации -

б) одиночного сигнала, верхнюю частоту - Fв (по условию учета (90+0,1N)% энергии сигнала.

.2 Корреляционные функции:

а) одиночного сигнала

б) периодического сигнала.

.3 По теореме Котельникова:

а) провести дискретизацию для одиночного (или периодического) сигнала

б) определить интервал дискретизация

в) спектральные характеристики дискретизированного сигнала.

Задание 2. Считая детерминированный сигнал заданной формы информационным сообщением (модулирующим колебанием) определить ( в аналитической, табличной и графической формах) при индексе модуляции М= (30+N)% :

.1 АМ - сигнал во временной области, спектральные характеристики в частотной области, несущую частоту принять из условия

.2 Корреляционную функцию АМ - сигнала

.3 Записать только в аналитической форме ЧМ и ФМ - сигналы, качественно проанализировать зависимости соответствующих индексов m,  от изменения частоты и амплитуды модулирующих колебаний , .

Задание 3. Провести анализ прохождения сигналов по 1-му и 2-му пунктам задания через линейные цепи - звенья систем передачи информации (в аналитической, табличной и графической формах)

.1 по 1-му пункту задания через звено первого порядка - апериодичный усилитель.

.2 по 1-му пункту задания через звено первого порядка - резонансо-избирательный усилитель.

Параметрами усилителей задаваться исходя из условия обеспечения линейного режима.

Задание 4. Для случайного процесса в виде аддитивной смеси сигнала по 2-му пункту задания и гауссовского белого шума со спектральной плотностью  соответствующей отношению С/Ш по мощности равной (5+0,1N) провести анализ прохождения сигналов такой аддитивной смеси через линейную цепь - резонансный избирательный усилитель ( в аналитической, табличной и графической формах). При этом определить и проанализировать изменения плотностей вероятностей математического ожидания, дисперсии, энергетического спектра и корреляционной функции на входе и выходе усилителя. Параметрами усилителей задаваться исходя из условия обеспечения линейного режима.

1.1 Определение спектров тригонометрического и комплексного ряда Фурье, спектральной плотности сигнала

Для детерминированного периодического сигнала произведем спектральный и анализ в аналитической, табличной и графической формах.

Сигнал можно описать следующим образом

Рис 1.1 Исходный заданный сигнал

Находим тригонометрический ряд Фурье, который имеет вид:

Коэффициенты ряда находятся по формулам:

Найдем коэффициент  

Найдем коэффициент

Найдем коэффициент ряда

Запишем окончательное выражение для s(t):

Строим спектры тригонометрического ряда Фурье, т.е. АЧХ и ФЧХ. АЧХ вычисляется выражением:

Т.к. ,

.

ФЧХ вычисляем выражением

Вычисляем АЧХ и ФЧХ, подставляя в выражения номера гармонических составляющих n=1 …5. Результаты измерений занесем в таблицу 1.1

Таблица 1.1

Рис 1.2 АЧХ тригонометрического ряда

Таблица № 1.2

Рис.1.3 ФЧХ тригонометрического ряда

Определим среднеквадратическую ошибку.

Среднеквадратическая ошибка определяется выражением:

.2 Определение корреляционной функции

А) Корреляционная функция одиночного импульса.

Для одиночного импульса корреляционная функция вычисляется выражением:

Для нашего сигнала корреляционная функция будет вычисляться следующим образом

Составим таблицу №5 значений половины корреляционной, а вторая отложится симметрично первой относительно оси ординат. Будем менять  от 0 до .

Таблица 1.3

                                                           S(t)

Рис. 1.4 Корреляционная функция одиночного импульса

Б) Корреляционная функция периодического сигнала

Выражение корреляционной функции для детерминированного периодического сигнала имеет вид:

Тогда для нашего случая корреляционную функция вычисляем следующим образом:

Найдем половину корреляционной функции, меняя от 0 до . Вторая половина ( меняется от 0 до  ) отложится симметрично относительно первой. Результаты вычислений занесем в таблицу №3.

Таблица 1.4.

Исходя из того, что энергию периодического сигнала будем считать бесконечной величиной, полученная корреляционная функция будет повторяться через каждый период.

Рис. 1.5 Корреляционная функция периодического сигнала

1.3 Определение спектральной характеристики одиночного импульса

Импульс описывается следующим образом:

Спектральная характеристика определяется выражением:

Составим таблицу значений АЧХ и ФЧХ спектральной плотности, придавая значения частоты гармоник  от  до . Частоты гармоник вычисляются по формуле.

АЧХ

ФЧХ

Таблица № 4

Спектральная характеристика

 10

           898  1796  2694  3592  4490  5388  6286 7184 8082 8980

Найдем энергию сигнала и граничную частоту спектра сигнала.

Т.к. спектр сигнала с ростом частоты гармонических составляющих очень быстро убывает, то при 99-% рассмотрении энергии можно записать следующее условие:

,

где  и  - амплитуды гармоник на основной и на граничной частотах сигнала.

Этому условию соответствует частота 11-й гармоники  рад/с, при которой получаем

2.1 Исследование АМ сигнала

Для АМ колебания общее выражение записывается в виде:

где  - гармоническое заполнение

 - несущая частота, которую при условии неискаженной передачи выбираем из условия:

 - наивысшая частота спектра передаваемого сообщения, в нашем случае

 рад/с (частота 10-й гармоники сигнала по первому пункту задания),

тогда возьмем  рад/с,

;(t) - огибающая АМ колебания

где s(t) - форма нашего сигнала, представленного в виде тригонометрического или комплексного ряда Фурье,

 - амплитуда несущего колебания,

 находим из формулы:

где m - коэффициент модуляции который при практически неискаженной передаче сообщения выбирается , берем ,

 - приращение амплитуды нашего сигнала  В

тогда

 В.

Запишем выражение передаваемого сигнала

, где

 - частота первой гармоники сигнала

Запишем окончательное выражение АМ колебания

Перепишем выражение для  в следующем виде:

Из полученного выражения видно, что спектр АМ сигнала состоит из составляющей с частотой  составляющих с частотами  со сдвигом фаз .

Амплитуда составляющей на частоте  равна  В.

Амплитуды боковых составляющих рассчитаем и занесем в таблицу №6.

Таблица №6

Спектральная характеристика

                                                                    6

                                                                      4

                                                                    2

.2 Корреляционная функция АМ колебания

Корреляционная функция АМ колебания равна произведению корреляционных функций огибающей и высокочастотного заполнения

Корреляционная функция  огибающей нами уже вычислена, остается только найти половину , отложить в области положительных ординат, затем симметрично отложить в области отрицательных ординат и заполнить высокочастотным с частотой  косинусоидальным заполнением.

График корреляционной функции АМ колебания

                                                                                                    4

.3 ЧМ и ФМ сигналы

Для ЧМ сигнала выражение имеет вид:

,

где  - девиация частоты.

Запишем выражение ЧМ колебания для нашего случая

.

Запишем выражение для ФМ колебания.

Общее выражение имеет вид:

- пределы изменения фазы ФМ колебания.

Выражение для ФМ сигнала запишется следующим образом:

.

3.1 Анализ прохождения сигналов через усилитель

Эквивалентная схема выходной цепи апериодического усилителя

Эквивалентная схема усилителя с разделительной RC цепью

Чтобы найти сигнал на выходе усилителя, воспользуемся спектральным методом, где формула для нахождения сигнала на выходе имеет вид:

 - передаточная функция усилителя;

 - модуль спектральной плотности.

В свою очередь,  вычисляется по следующей формуле:

где  - передаточная функция разделительной цепи,

 - постоянная времени этой цепи;

 - передаточная функция выходной цепи усилителя

Где  - максимальный коэффициент усиления (при ),

 и  - соответственно проводимости источника сигнала и нагрузки усилителя,

 - постоянная времени цепи на выходе усилителя.

Тогда выражение для  примет следующий вид:

.

Для наилучшего воспроизведения формы сигнала  должна быть как можно больше, а  как можно меньше по сравнению с периодом сигнала.

Возьмем для нашего случая

,

,

.

Определяем сигнал на выходе усилителя

Т.к. вычисление этого интеграла очень сложное, перейдем к более простому методу вычисления сигнала на выходе усилителя через временную функцию.

Вместо разложения сложного сигнала в спектральном методе на простые гармонические составляющие можно воспользоваться разбиением на короткие импульсы. Т.е. в данном случае находим отклик цепи в момент времени на элементарный импульс

где  - импульсная характеристика усилителя

(x) = s(t) = .

Находим сигнал на выходе

Сделаем замену

После подстановки выражение  примет следующий вид:

Переходим к исходному выражению

Определим АЧХ и ФЧХ сигнала на выходе усилителя по следующей формуле:

.

Запишем выражение для АЧХ и ФЧХ, подставляя значение ,  и .

Вычислим АЧХ и ФЧХ сигнала на выходе усилителя, результаты занесем в таблицу №7.

Таблица №7

Знак « - » показывает, что все составляющие спектра сигнала , а следовательно и сам сигнал на выходе усилителя будут инвертированы относительно входному сигналу. Также из полученных результатов расчета можно сделать вывод, что  влияет на постоянство коэффициента усиления усилителя в частотном диа позоне, а  влияет на фазовую характеристику.

График АЧХ сигнала на выходе усилителя

     30

      20

      10

                    1      2     3     4     5     6     7      8      9   10                 n

График ФЧХ

                     1     2     3     4      5     6     7     8     9    10                n

б) Найдем АМ сигнал на выходе апериодического усилителя

Надо сказать, что в данном случае параметры усилителя, т.е.  и  будут иными, нежели в пункте (а), т.к. частота спектра сместилась в область более высоких частот.

, .

Необходимо составить алгоритм цифровой обработки сигнала (по пункту №2), при этом цифровой фильтр должен быть согласован.

Цифровая обработка будет осуществляться в частотной области.

Выбираем шаг T разбиения на отсчеты спектральной характеристики по оси частот из условия

где  - граничная частота спектра сигнала.

.

Найдем число разбиений спектральной характеристики

где  - период входного сигнала, в нашем случае

Т.к. число N невелико, применяем алгоритм цифровой фильтрации, состоящий из дискретного преобразования Фурье ДПФ с последующим обратным преобразованием Фурье ОДПФ.

ДПФ вычисляется выражением

=0, 1,…, N-1 - номер отсчета в спектральной плотности.

Сигнал на выходе цифрового фильтра описывается выражением:

=0, 1,…, N-1

 - передаточная функция цифрового фильтра.

Для согласованного фильтра, максимизирующего отношение сигнал-помеха, коэффициент передачи равен:

где  - фаза составляющих спектра сигнала;

 показывает задержку сигнала, необходимую для создания необходимого выходного сигнала.  выбирается из условия ;

А - коэффициент, зависящий от конструктивных особенностей фильтра.

Напишем для  окончательное выражение в соответствии с нашим сигналом

.

4. Исследование случайного процесса

Случайный процесс представляет собой последовательность прямоугольных импульсов со случайной длительностью.

Выражение для плотности вероятности Пуассона имеет вид:

Корреляционная функция имеет вид:

Таким образом, получаем ряд:

т.к. выражение в скобках сводится к , графически корреляционную функцию можно представить:

Определим спектральную плотность:

.

Дисперсия процесса

Интервал корреляции

.

Интервал частотной корреляции:

Интервал частот:

Рассмотрим предельные случаи вырождения процесса:

а) при a®0 (Dt®¥) случайный процесс вырождается в детерминированный процесс.

б) при a®¥ (Dt®0) случайный процесс вырождается в белый Гауссовский шум.

Спектральная плотность случайного процесса на выходе усилителя определяется выражением:

где  - спектральная плотность процесса на входе усилителя;

 - коэффициент передачи апериодического усилителя (пункт 1.5)

Тогда

Корреляционная функция на выходе усилителя определяется следующим выражением:

Список литературы

1. Гоноровский И. С. «Радиотехнические цепи и сигналы»: Учебник для вузов. - 4-е издание, перераб. и доп. - М.: Радио и связь, 1986.