Исследование регрессии и корреляции

Исследование регрессии и корреляции

1. Парная регрессия и корреляция

По территориям региона приводятся данные за 199X г.

Таблица 1

Требуется:

1.      Построить линейное уравнение парной регрессии  от .

2.      Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

.        Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью -критерия Фишера и -критерия Стьюдента.

.        Выполнить прогноз заработной платы  при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума , составляющем 107 % от среднего уровня.

5.      Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

6.      На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.

Решение

1.      Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу 2.

Таблица 2

;

.

Получено уравнение регрессии:     .

С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,95 руб.

2.      Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

;         .

Это означает, что 70 % вариации заработной платы () объясняется вариацией фактора  - среднедушевого прожиточного минимума.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

.

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как  не превышает 8-10 %.

3.      Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью -критерия Фишера. Фактическое значение -критерия:

.

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы  и  составляет . Так как , то уравнение регрессии признается статистически значимым.

Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью -статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Табличное значение -критерия для числа степеней свободы  и  составит .

Определим случайные ошибки , , :

;

.

Тогда

;

.

Фактические значения -статистики превосходят табличное значение:   

поэтому параметры ,  и  не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии  и . Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

;

.

Доверительные интервалы

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью  параметры  и , находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т. е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

4.      Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит:  руб., тогда прогнозное значение заработной платы составит:  руб.

5.      Ошибка прогноза составит:

.

Предельная ошибка прогноза, которая в  случаев не будет превышена, составит:

.

Доверительный интервал прогноза:

 руб.;

 руб.

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы является надежным () и находится в пределах от 120,37 руб. до 161,99 руб.

6.      В заключение решения задачи построим на одном графике исходные данные и теоретическую прямую (рис. 1):

Рис. 1.

. Множественная регрессия и корреляция

По  предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника  (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов  ( от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих  ().

Требуется:

1.      Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.

2.      Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.

3.      Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.

4.      С помощью -критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации .

5.      С помощью частных -критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора  после  и фактора  после .

6.      Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

Решение

Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:

Найдем средние квадратические отклонения признаков:

;

;

.

1.      Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.

Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии

необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , , :

либо воспользоваться готовыми формулами:

;         ;

.

Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:

;

;

.

Находим

;

;

.

Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:

.

Коэффициенты  и  стандартизованного уравнения регрессии  находятся по формулам:

;

.

Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:

.

Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.

Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:

.

Вычисляем:

;      .

Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1 % увеличивает в среднем выработку продукции на 0,83 % или 0,035 % соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат  фактора , чем фактора .

2.      Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:

;        ;       .

Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы  и  явно коллинеарны, т. к. ). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.

При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:

;

.

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

,

где

- определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

определитель матрицы межфакторной корреляции.

;

.

Коэффициент множественной корреляции

.

Аналогичный результат получим при использовании других формул:

;

;

.

Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом.

3.      Нескорректированный коэффициент множественной детерминации  оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет  и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами - на весьма тесную связь факторов с результатом.

Скорректированный коэффициент множественной детерминации определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более ) детерминированность результата  в модели факторами  и .

4.      Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи  дает -критерий Фишера:

.

В нашем случае фактическое значение -критерия Фишера:

.

Получили, что  (при ), т. е. вероятность случайно получить такое значение -критерия не превышает допустимый уровень значимости . Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т. е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .

5.      С помощью частных -критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора  после  и фактора  после  при помощи формул:

;

.

Найдем  и .

;

.

Имеем

;

.

Получили, что . Следовательно, включение в модель фактора  после того, как в модель включен фактор  статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака  оказывается незначительным, несущественным; фактор  включать в уравнение после фактора  не следует.

Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения  после , то результат расчета частного -критерия для  будет иным. , т. е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта . Следовательно, значение частного -критерия для дополнительно включенного фактора  не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора  является существенным. Фактор  должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора .

6.      Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами  и  с  содержит неинформативный фактор . Если исключить фактор , то можно ограничиться уравнением парной регрессии:

,  .

. Системы эконометрических уравнений

Дана система эконометрических уравнений.

Макроэкономическая модель (упрощенная версия модели Клейна):

где  - потребление;  - инвестиции;  - доход;  - налоги;  - запас капитала;  - текущий период;  - предыдущий период.

Требуется

1.      Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицируемо ли каждое из уравнений модели.

2.      Определите метод оценки параметров модели.

3.      Запишите в общем виде приведенную форму модели.

Решение

Первое уравнение - функция потребления, второе уравнение - функция инвестиций, третье уравнение - тождество дохода.

Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает три эндогенные переменные  и две предопределенные переменные (экзогенную переменную -  и лаговую переменную - ).

Проверим необходимое условие идентификации для каждого из уравнений модели.

Первое уравнение: . Это уравнение содержит две эндогенные переменные  и  и одну предопределенную переменную . Таким образом, , а , т. е. выполняется условие . Уравнение сверхидентифицируемо.

Второе уравнение: . Оно включает две эндогенные переменные  и  и одну экзогенную переменную . Выполняется условие . Уравнение сверхидентифицируемо.

Третье уравнение: . Оно представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в идентификации нет.

Проверим для каждого уравнения достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели.

В соответствии с достаточным условием идентификации ранг матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, должен быть равен числу эндогенных переменных модели без одного.

Первое уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Ранг данной матрицы равен двум, так как определитель квадратной матрицы не равен нулю:

.

Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.

Второе уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Ранг данной матрицы равен двум, так как определитель квадратной матрицы не равен нулю:

.

Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.

Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицируемы. Приведенная форма модели в общем виде будет выглядеть следующим образом:

Для оценки параметров необходимо применить двухшаговый метод наименьших квадратов.

. Временные ряды

корреляция регрессия линейный уравнение

Имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии () жителями региона за 16 кварталов.

Требуется:

1.      Построить автокорреляционную функцию и сделать вывод о наличии сезонных колебаний.

2.      Построить мультипликативную модель временного ряда.

3.      Сделать прогноз на 2 квартала вперед.

Решение

Построим поле корреляции:

Рис. 1

Уже исходя из графика видно, что значения  образуют пилообразную фигуру. Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. Для этого составляем первую вспомогательную таблицу.

Таблица 2

Следует заметить, что среднее значение получается путем деления не на 16, а на 15, т. к. у нас теперь на одно наблюдение меньше.

Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка по формуле (4.1):

.

Составляем вспомогательную таблицу для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка.

Таблица 3

Следовательно

.

Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все полученные значения заносим в сводную таблицу.

Таблица 4.

Коррелограмма:

Рис. 2.

Анализ коррелограммы и графика исходных уровней временного ряда позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала.

Построим мультипликативную модель временного ряда.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

.1. Просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (гр. 3 табл. 5).

.2. Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр. 4 табл. 5). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

.3. Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних - центрированные скользящие средние (гр. 5 табл. 5).

Таблица 5.