Правила использования структурных схем для моделирования системы автоматического регулирования

Правила использования структурных схем для моделирования системы автоматического регулирования

Задача 1

Задача решается в соответствии пособия [1].

По последней цифре шифра выбираем структурную схему:

Рис. 1.1

Используя правила преобразования структурных схем представленных в таблице 1.3 [1], приведем структурную схему к простейшему виду - одному элементу с результирующей передаточной функцией (см. рис. 2). На рис. приводятся этапы преобразований. Выражения для эквивалентных (результирующих) передаточных функций САУ в разомкнутом и замкнутом состояниях -  и

Передаточная функция разомкнутой  будет иметь вид

Передаточная функция замкнутой  будет иметь вид

В соответствии с табл.1.1 выбираем соответствующие значения передаточных функций и подставляем их в соотношения для полученных передаточных функций  и . Выбор осуществляется по предпоследней цифре шифра

Значения передаточных функций представлены в таблице 1.1.

Таблица 1.1

Проведем подстановки значений передаточных функций в соотношения передаточных функций  и .

Записать уравнения динамики САР в операторной форме и в форме линейного дифференциального уравнения.

Проведем преобразования.

Уравнения динамики разомкнутой САР в операторной форме

, где

Уравнения динамики разомкнутой САР в форме линейного дифференциального уравнения.

Уравнения динамики замкнутой САР в операторной форме

где к-ты представлены выше

Уравнения динамики разомкнутой САР в форме линейного дифференциального уравнения.

где n - выходной сигнал; где n0 - выходной сигнал

Рис. 1.2 - 1 этап

Рис. 1.3 - 2 этап

Рис. 1.4 - 3 этап

Рис. 1.5 - Преобразование структурной схемы к простейшему виду

Задача №2

Построение динамических моделей типовых регуляторов оборотов ГТД

. Типовая принципиальная схема САР оборотов ГТД выбирается по последней цифре шифра в соответствии с таблицей 2.1 [1]. Последняя цифра шифра 8. Имеем по заданию изодромный регулятор.

Рис. 2.1 - Изодромный регулятор

. Функциональная схема изодромного регулятора на рис.6.

Рис. 2.2 - Для функциональной схемы: x1- входной сигнал (либо n0), x2- выходной сигнал (либо n)

Для каждого элемента функциональной схемы записываем уравнение динамики и передаточной функции. В уравнениях динамики переменные должны соответствовать входным и выходным величинам, показанным на структурной схеме. Уравнения динамики типовых звеньев сведены в таблицу 2.2 [1].

Таблица 2.1

. Структурная схема. Используя, данные таблицы 2.2 запишем передаточные функции типовых звеньев. Передаточная функция для типового звена, описываемого дифференциальным уравнением выводится с помощью формулы (1)

 (1)

Передаточные функции типовых звеньев представлены в таблице 2.2

Таблица 2.2

Структурная схема будет иметь вид:

Рис. 2.3 - Структурная схема

Используя правила преобразования структурных схем, находим передаточные функции замкнутой и разомкнутой систем регулирования.

Передаточная функция разомкнутой САР будет иметь вид

Передаточная функция замкнутой САР будет иметь вид

Уравнения динамики замкнутой и разомкнутой САР в форме обыкновенных линейных дифференциальных уравнений.

Дифференциальное уравнение разомкнутой САР в общем виде

где А5=

А4=

А3=

А2=

А1=

А0=

В1=

Дифференциальное уравнение замкнутой САР в общем виде

где А5=, А4=

А3=

А2=

А1=

А0=

В1=

В0=

По таблице 2.3. и 2.4. [1] значения постоянных коэффициентов (времени и усиления) подставляем в уравнения динамики САР и оцениваем устойчивость. Устойчивость целесообразно оценивать по алгебраическим критериям. Численные значения коэффициентов уравнений

Численные значения коэффициентов уравнений

Таблица 2.4

С учетом данных по таблицам 2.3 и 2.4 коэффициенты в дифференциальных уравнениях будут равны:

для разомкнутой САР

для замкнутой САР

Проведем оценку устойчивости разомкнутой системы САР с помощью алгебраических критериев Рауса и Гурвица. Раус и Гурвиц показали, что САУ (система автоматического управления) или САР, описываемая характеристическим уравнением четвертого порядка

,

будет устойчива, если помимо положительности коэффициентов, то есть Аn>O , будут выполняться неравенства вида

.

.

В нашем случае имеем для разомкнутой САУ следующее дифференциальное уравнение в операторном виде

Проверим неравенства

Задача №3

Оценка устойчивости разомкнутых и замкнутых САР

Оценить устойчивость работы систем автоматического управления авиационных ГТД.

Выбор вариантов - по трем последним цифрам шифра зачетной книжки.

Исходные данные:

Коэффициенты уравнения динамики чувствительного элемента (ЧЭ) выбираются по таблице 3.1. по последней цифре шифра (8)

= 1,83; 0,22; 0,95

Коэффициенты уравнения динамики преобразующего элемента (ПЭ) и регулирующего органа выбираются по таблице 3.2. по предпоследней цифре шифра (4)

1; 0,8

Коэффициенты уравнения динамики ГТД объекта регулирования (ОР) выбираются по третьей с конца номера зачетной книжки в соответствии с таблицей 3.3. (3)

= 0,37; 1,0

. Используя функциональную схему (рис. 3.1) и структурную схему (рис.3.2), запишем уравнение динамики разомкнутой и замкнутой систем автоматического регулирования в общем виде

В написании передаточной функции ЧЭ есть ошибка, поэтому рис.3.2 приводим с исправлением: вместо  записываем .

Рис. 3.1 - Функциональная схема регулятора оборотов двигателя ГТД

Рис. 3.2 - Структурная схема регулятора оборотов ГТД

Уравнение динамики разомкнутой САУ в общем виде будет иметь вид:

Уравнение динамики замкнутой САУ в общем виде будет иметь вид:

. С учетом исходных данных, выбранных по таблицам 3.1-3.3, запишем уравнения динамики в виде линейного дифференциального уравнения с известными уравнениями для разомкнутой и замкнутой САУ.

Конечная задача исследования устойчивости любой САУ состоит в получении обобщенного дифференциального уравнения системы, характеризующего протекание в ней динамических процессов. Одним из возможных путей получения такого уравнения САУ является совместное решение системы дифференциальных уравнений типовых звеньев, из которых состоит рассматриваемая система уравнений.

Для разомкнутой

с учетом подстановок и преобразований

Дифференциальное уравнение разомкнутой САУ будет иметь вид

Для замкнутой САУ

с учетом подстановок и преобразований

Дифференциальное уравнение замкнутой САУ будет иметь вид

. Оценка устойчивости разомкнутой системы с помощью алгебраических критериев Рауса и Гурвица

Устойчивой называется такая САУ, которая, будучи, выведенной из состояния равновесия, после устранения внешних воздействий возвращается к исходному состоянию равновесия. Оценить устойчивость САУ можно с помощью специальных критериев устойчивости, которые представляют собой некоторую совокупность алгебраических действий, в результате которых определяются знаки корней характеристического уравнения системы. Примером критерии устойчивости является критерий Рауса - Гурвица. Раус и Гурвиц показали, что САУ, описываемая характеристическим уравнением

автоматический регулирование система

,

будет устойчива, если при Аn>O все «n» определители Гурвица (Δn) будут положительны, т.е.

и т.д.

Произведем оценку по данному критерию устойчивости

.

Составим определитель Гурвица Δ

Определим все диагностические миноры

1=0,59

0,451

0,305

Т.о. САУ по критерию Рауса -Гурвица устойчива, т.к. А3= 0,6771>0 и все диагональные миноры положительны.

Считается, что САУ теряет свою устойчивость, когда хотя бы один числовой коэффициент будет отрицательным. Найдем критическое значение коэффициента А3 , начиная с которого, т.е. при А3> Акр данная САУ теряет свою устойчивость.

А1А2-А3А0=0 - САУ на границе устойчивости.

А3=Акр;

А1А2=АкрА0; Акр =А1А2/А0, Акр = 0,59∙ 1,91 /1 =1,128

Т.о., начиная с А3³ 1,128 САУ, теряет свою устойчивость.

. Устойчивость САУ можно, также, оценить с помощью графоаналитического критерия А.В. Михайлова. С этой целью необходимо в характеристическом уравнении системы заменить оператор Р на чисто мнимое выражениеw, где w- угловая частота. Полученный многочлен можно считать вектором, модуль и направление которого будут определяться значением частоты w

(jw)=X(w)+jY(w),

Где X(w)- вещественная часть;(w) мнимая часть.

Для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы вектор F(jw) брал начало на положительной вещественной оси X(w) при w=0 в т.А0 и затем монотонно вращался при изменении w от 0 до ¥ в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, совершая поворот на угол “n” квадранта.

Годограф вектора F(jw), т.е. кривая, которую описывает конец вектора называется кривой Михайлова при изменении w от 0 до ¥, выходит из точки А0 и обходит последовательно в положительном направлении “n” квадрантов, где n - показатель степени характеристического уравнения системы.

Оценим устойчивость САУ с помощью частотного критерия Михайлова А.В.

Р заменим на jw.

(jw)=А3 (jw)3+ А2 (jw)2 +А1 (jw)+ А0(jw)= 0,6771 (jw)3+1,91 (jw)2 +0,59 (jw)+1;(jw)=X(w)+jY(w) Þ X(w)=-1,91 w2 +1(w)=j(-0,6771 w3+0,59 w)

Зададимся рядом чисел w

Рис. 3.3

Мы построили кривую Михайлова на комплексной плоскости, для чего отложили две оси - вещественную X(w) и мнимую jY(w).

Таким образом, САУ устойчива, так как вектор F( jw) берет начало при w=0 на положительной вещественной оси X(w) в т. А0= (1;0) , далее вращается против часовой стрелки при изменении w от 0 до ¥, совершая поворот на 3 квадранта.

. Несколько особое место среди критериев устойчивости САУ занимает критерий Найквиста- Михайлова. Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой по АФЧХ разомкнутой САУ, которая может быть получена расчетным путем с использованием передаточной функции системы.

При построении АФЧХ разомкнутой АСУ вначале следует по известному дифференциальному уравнению этой системы получить выражение ее передаточной Wсау (Р). Далее необходимо оператор Р заменить на мнимое выражение jw

(P)=M(w)+jN(w).

Конец вектора W (Р) при изменении w от 0 до ¥ будет описывать кривую, которая совпадает с АФЧХ системы. Критерий Найквиста гласит: для того, чтобы АСУ, устойчивая в разомкнутом состоянии, была устойчивой и в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора АФЧХ W(jw) не охватывал точку с координатой (-1;0) на вещественной оси.

Оценим устойчивость замкнутой САУ с помощью критерия Найквиста, причем А3 кр=0,5 Акр=0,5∙1,128 = 0,563

W (Р)=

Вместо Р подставим jw

 (*)

Домножим уравнение (*) на сопряженный многочлен и после преобразований

Получим вид передаточной функции с учетом разложения на действительную и мнимую часть

(P)=M(w)+jN(w),

M(w)=;(w)=.

Зададимся рядом чисел w

Построим вектор АФЧХ

Т.о. САУ устойчива, т. к. годограф вектора АФЧХ разомкнутой системы при изменении w от 0 до ¥ не охватывает точку с координатой (-1;0) на вещественной оси.

Вывод: в завершении выполненного задания можно подвести итог, что рассматриваемая САУ устойчива - о чем свидетельствуют аналитический критерий Рауса - Гурвица и частотные критерии Михайлова А.В., а также критерий Найквиста- Михайлова.

Литература

1.   В.В. Никонов. Основы автоматики. Пособие по выполнению контрольной работы.: М.: МГТУ ГА, 2005 г. - 32 с.

2.      Черкасов Б.А. Автоматика и регулирование воздушно-реактивных двигателей. М.: Машиностроение, 1988 г.

.        Шевяков А.А. Системы автоматического управления авиационными воздушно-реактивными силовыми установками. М., 1992 г.

.        Гаевский С.А., Морозов Ф.П., Тихомиров Ю.П. Автоматика авиационных газотурбинных силовых установок. М.: Военное издательство МО СССР, 1980, 248 с.