Переходные процессы в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Министерство
образования Российской Федерации
Томский
Политехнический Университет
Кафедра
ТОЭ
Задание
4
Переходные
процессы в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами.
Выполнил: студент гр. 8а32 Курганкин В.В.
Проверил преподаватель: Купцов А.М.
Томск 2004 г
Переходные процессы в линейных электрических цепях с
сосредоточенными параметрами
В заданной цепи с нулевыми начальными условиями с момента времени t = 0 действует источник ЭДС e(t) или тока J(t), изменяющиеся по линейному закону
или 
,
где
- заданное время срабатывания ключа К.
После
срабатывания ключа К в момент времени 
ЭДС
источника или ток источника тока принимают постоянные значения: 
; 
.
Параметры элементов цепи и источников указаны в табл. 4.1, 4.2.
Требуется
. На
интервале времени 
определить закон изменения тока в катушке
индуктивности (схема RL) или напряжения на конденсаторе (схема RC)
классическим методом и методом интеграла Дюамеля.
. На
интервале времени 
определить закон изменения той же величины, что и в
п. 1, классическим и операторным методами.
. Составить
систему уравнений состояния цепи после срабатывания ключа К (с момента времени 
).
. Построить
в одних осях график изменения искомой величины на интервалах времени и 
, где 
- постоянная времени цепи второго порядка (большая по
величине, если их две).
Схема
Расчетные данные
1.
Расчёт цепи классическим методом и методом интеграла Дюамеля на интервале 
а)
Классический метод
Составим
уравнения цепи по I и II законам Кирхгофа:
По
законам коммутации
.
На
промежутках 
и 
электрическая
цепь имеет один накопитель энергии - конденсатор (рис. 1), поэтому
.
Корень
характеристического уравнения найдем с помощью межузловой проводимости.
Рис.
1
;
;
;
Т.к.
, то до коммутации 
, потому
что 
.
После
коммутации 
, т. е. линейно возрастает, тогда 
. Подставим 
в
дифференциальное уравнение цепи:
; 
;
Тогда
.
Следовательно,
.
Т.к.
, то 
;
.
б)
Метод интеграла Дюамеля
Найдем
переходную характеристику цепи. Для этого найдем напряжение на конденсаторе при
единичном воздействии.
.
(из
найденного выше).
, т.к. 
. Т.к. , то 
и, значит, 
.
Тогда
(по методу двух узлов). 
Из
условия, что 
, получим 
.
Следовательно
, а значит 
.
Воспользуемся
основной формой записи интеграла Дюамеля:
.
Т.к.
и 
, то 
; 
;
.
2. Расчёт цепи классическим и операторным методами на
интервале
а) Классический метод
В цепи два накопителя энергии - катушка индуктивности и конденсатор (рис.
2). Поэтому, по законам коммутации,
и
,
ток
индуктивность конденсатор напряжение
где
- время размыкания ключа К.
Поэтому
Рис. 2
;
;
Корни
уравнения:
Т.к.
, то принужденная составляющая 
, 
,
и 
.
Тогда
по II закону Кирхгофа:
Начальные
условия (при 
:
и 
(из найденного выше).
Определение
постоянных интегрирования (A и 
):
Значит
б)
Операторный метод
Чтобы
рассчитать цепь операторным методом, преобразуем исходную схему после
коммутации, используя прямое преобразование Лапласа, т.е.
.
На
основе операторных изображений элементов цепи (резисторного, емкостного и
индуктивного) получим схему, изображённую на рис. 3. При имеем и 
.
Найдём
изображение напряжения на конденсаторе 
с
помощью метода двух узлов (узловых потенциалов).
, тогда 
.
Чтобы
найти 
, необходимо найти корни уравнения 
и производную
,
где
, и учесть, что коммутация происходит в момент времени
.
Поскольку
,
то
нужно найти
B.
3.
Система уравнений состояния цепи после срабатывания ключа К
По
I и II законам Кирхгофа для цепи после срабатывания ключа К
имеем:
В
качестве переменных состояния используем и 
, тогда
и 
.
Итоговая
система состояния цепи для момента времени
4.
График изменения напряжения на конденсаторе в интервалах времени и
