Расчёт переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами
Министерство
Образования Украины
Кафедра
электротехники
Курсовая
работа
по
курсу “Теория электрических и электронных цепей”
на
тему “Расчёт переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными
параметрами”
Вариант
№ 12
Содержание
курсовой работы
1. В
электрической цепи, (схема которой представлена на рис.1, а параметры цепи
приведены в таблице 1, причём R4=R3 ), происходит
переходной процесс. На входе цепи действует постоянное напряжение величиной Еm.
2. Классическим методом
расчёта найти выражения для мгновенных значений всех токов цепи и напряжений на
реактивных элементах после коммутации. Построить графики изменения этих величин
в одних осях. Графики изменения построить на интервале, равном времени
переходного процесса tnn.
Это
время определить по следующим формулам:
tnn= или tnn=
где λmin
– наименьший из двух вещественных корней;
δ -
вещественна часть комплексного корня.
3.
Операторным методом расчёта найти выражение для тока в катушке индуктивности.
4. На
входе цепи (рисунок 1) действует источник, напряжение которого меняется по
синусоидальному закону
e(t)=Emsin(ωt
+φ).
Определить
выражение для мгновенного значения тока в катушке индуктивности.
Построить
график переходного процесса тока катушки индуктивности.
5.На
входе цепи,(рисунок 2) действует источник, напряжение которого меняется по
закону(заданное графиком 1). Найти выражение для величины, указанной в 17-м
столбце таблицы исходных данных (таблица 1). Построить совместные графики
измерения заданного напряжения и искомой величины. В таблице исходных данных
даны абсолютные значения напряжений U0, U1, U2, U3.
Принимая значение времени: t1=τ , t2=1,5τ
, t3=2τ , t4= 2,5τ .
Здесь τ
– постоянная времени рассматриваемой цепи.
Таблица
1:
Номер
варианта
|
Номер схемы
|
Параметры
источника
|
Параметры
цепи
|
Параметры источника
для интеграла Дюамеля
|
Номер схемы по рисунку 2
|
Исследуемая
величина ƒ(t)
|
Напряжение
U, В
|
Частота
ƒ, Гц
|
Нач.
фаза
φ,град.
|
R1
Ом
|
R2
Ом
|
R3
Ом
|
L
мГн
|
C
мкФ
|
№
графика
|
Uо
В
|
U1
В
|
U2
В
|
U3
В
|
12
|
12
|
70
|
30
|
75
|
26
|
10
|
10
|
100
|
25
|
12
|
20
|
5
|
10
|
0
|
4
|
UR2
|
Рисунок
1:
Рисунок
2:
График 1:
1
этап курсовой работы
Расчет цепи с двумя реактивными элементами в переходных процессах классическим
методом
1 этап
Запишем
начальные условия в момент времени t(-0)
i2(-0)=i1(-0)=== 1.52 (A)
Uc(-0)=
i2.R2=Uc(+0)
Напишем
уравнения по законам Кирхгофа для цепи:
i1-i2-ic=0
(1)
i1.R1+ i2.
R2+L=U (2)
i1.R1+
Uc=U (3)
Из (2)
уравнения выразим i1
i1= (2.1)
i1
из уравнения (2.1) подставим в (1) и выразим ic
ic= (1.1)
i1
подставим в (3) и выразим Uc
U= (3)
Uc=U-U-
i2. R2- (3)
Uc=i2.R2+ (3.1)
Uc= (3.2)
Подставим
в место Uc и ic в уревнение (3.2), получим:
(3.3)
Продифференцируем
уравнение (3.3) и раскроем скобки:
(3.4)
В
дифференциальном уравнении(3.4) приведём подобные слогаемые:
2 этап
Во втором этапе мы решим
дифференциальное уравнение относительно i2, для этого мы представим
i2 как сумму двух составляющих i2св – свободная составляющая
и i2вын – вынужденная составляющая
i2=i2св+i2вын
i2вын найдём
по схеме
i2вын=
i2св найдём из
дифференциального уравнения подставив численные значения в уравнение и заменив через l, а через l2 получим:
Ll2+R2l+l+=0 (3.5)
Решим характеристическое
уравнения (3.5) найдя его корни l1
и l2
0.1l2+10l+l+
15384,6+153,85l+40000+10l+0,1l2=0
Д=b2-4ac=(163,85)2-4.0,1.55384,6=26846,82-22153,84=4692,98
l1,2=; ;
l1l2 – вещественные
l1=
l2=
i2св=А1е-477t+А2е-1162t
(3.6)
i2=1.94+
А1е-477t+А2е-1162t (3.7)
3 этап
Найдём А1 и А2
исходя из начальных условий, законов коммутации и на основании системы
уравнений Кигхгофа записаных на 1 этапе.
Найдём ток i2
для момента времени t = +0. Для этого продифференцируем уравнение (3.6) при
t=0.
i2(+0)=i2вын(+0)+
А1+А2
-477 А1-1162 А2
Из уравнения
(2) найдём для момента времени t+0
(3.8)
Из
уравнения (3) выразим i1 для момента времени t+0 при Uc=i2R2
i1= (3.9)
Найдём подставив значение i1 из
уравнения (3.9) в уравнение (3.8)
(4.0)
Подставим
значение , i2(+0), i2вын в
систему и найдём коэффициенты А1 и А2
1,52=1,94+ А1 + А2 (4.1)
2=-477 А1-1162
А2 (4.2)
Из уравнения
(4.1) выразим A1 и подставим в (4.2)
А1=-0,42-А2
2=-477(-0,42-А2)-1162А2
(4.3)
Из уравнения
(4.3) найдём А2
2=200,34+477А2-1162А2
2=200,34-685А2
А2=
А1=-0,42-0,29=-0,71
Подставим
найденные коэффициенты А1 и А2 в уравнение (3.7)
i2=1,94-0,71е-477t+0,29е-1162t
(А)
4 этап
Определяем
остальные переменные цепи UL, Uc, ic, i1
UL= (В)
Uc=
+i2R2=
= (В)
ic= (А)
i1=ic+i2=(0,044е-477t+0,014е-1162t)+(
1,94-0,71е-477t+0,29е-1162t) =
=1,94-0,666е-477t+0,304е-1162t
(А)
Построим
графики изменения найденных величин в одних осях. Графики изменения построим на
интервале, равном времени переходного процесса tnn.
Это
время определим по формуле:
tnn=
Найдём tпп
время переходного процесса
tпп= (с)
Таблица
переменных
Время переходного процесса tnn (c)
|
Значение тока
i1
(A)
|
Значение тока
i2
(A)
|
Значение тока
ic
(A)
|
Значение напряжения
UL
(B)
|
Значение напряжения
UC
(B)
|
0.000
|
1.578
|
1.520
|
0.058
|
0.20
|
15.22
|
0.001
|
1.622
|
1.590
|
0.032
|
10.49
|
16.95
|
0.002
|
1.713
|
1.695
|
0.018
|
9.75
|
17.92
|
0.003
|
1.790
|
1.779
|
0.011
|
7.07
|
18.50
|
0.004
|
1.844
|
1.837
|
0.006
|
4.70
|
18.84
|
0.005
|
1.879
|
1.875
|
0.004
|
3.02
|
19.06
|
0.006
|
1.902
|
1.899
|
0.0025
|
1.90
|
19.19
|
0.0063
|
1.907
|
1.905
|
0.0022
|
1.65
|
19.21
|
Рисунок
3 - График токов
где
i1 i2
ic
Рисунок 4 – График напряжений
где
UL UC
2 этап
курсовой работы
2. Найдём
выражение для тока в катушке при действии в цепи источника синусоидального
напряжения:
e(t)=E
msin(wt+j)
R1
где Em=100 (B)
w=2pf =2 3,14 50=314 (Гц)
j=300
R1=R2=10
(Ом) L=100 (мГн)
R3=9
(Ом) С=100 (мкФ)
w=314 (Гц)
XL=wL=314. 0,1=31,4
(Ом)
XC= (Ом)
Найдём
начальные условие:
U(t)=Umsin(wt+j)=100sin(314+30);
Um=100ej30=86,603+j50
(В)
UC(-0)=0
(B)
Найдём полное
сопротивление цепи
Zп=R1+R3+jXL=10+9+j31,4=19+j31,4
(Ом)
Зная
сопротивление и напряжение найдём I3m
I3m=I1m=(А)
Найдём
мгновенное значение тока
i3(t)=I3msin(wt+j)=2.725sin(314t-28.82) (A)
Для времени t=0
ток будет равен
i3(-0)=2.725sin(-28.82)=-1.314
(A)6 (A)
Таким образом
UC(-0)=UC(+0)=0
(B)
i3(-0)=
i3(+0)=-1.314 (A)
1 этап
Напишем
уравнения по законам Кирхгофа для цепи:
i1-i2-i3=0 (1/)
i1.R1+
i3.R3+L=U(t) (2/)
i1.R1+i2.R2+Uc=U(t)
(3/)
Из (2/)
уравнения выразим i1
i1= (2/.1)
i1
из уравнения (2/.1) подставим в (1/) и выразим i2
i2= (1/.1)
U(t)=U(t)-i3.R3-L+R2
- (3.1)
Продифференцируем
уравнение (3.1) раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
(3.2)
2 этап
Вид решения для
i3св при действии в цепи источников постоянного и переменного напряжений
одинаков, так как в однородном дифференциальном уравнении отсутствует параметр
U, а значит, вид i3св не зависит от входного напряжения.
Таким образом,
выражение, которое было найдено в 1этапе, будет иметь следующий вид:
i3св=А1е-406t+А2е-234t
Теперь найдём
вынужденную составляющую тока катушки i3вын
i3вын
находим для цепи в послекоммутационном режиме. Расчёт параметров схемы при
действии e(t);
Найдём
вынужденную составляющую амплитудного тока I1, а для этого найдём Zп
вын сопротивление цепи:
Zп вын= (Ом)
I1m= (A)
Найдём Uab
вын
Uab m= I1m (В)
I3 m= (A)
Найдём i3
вын
I3 вын= I3 msin(wt+j)=2.607sin(314t-43.60)
(A)
Таким образом
i3=2.607sin(314t-43.60)+А1е-406t+А2е-234t
3/
этап
Найдём А1 и А2
исходя из начальных условий, законов коммутации и на основании системы
уравнений Кигхгофа записаных на 1/ этапе.
i3=2.607sin(314t-43.60)+А1е-406t+А2е-234t
i3(+0)=i3(-0)=-1.314
(A)
i3(+0)=2.607sin(-43.60)+A1+A2=-1.798+A1+A2
R1i1=U(t)-R2i2-UC
=
=
Подставим
значение , i3(+0), и найдём коэффициенты А1
и А2 для времени t+0
-1.314=-1.798+A1+A2
433.96=592/806-406A1-234A2
A1=-1.314+1.798-A2=0.484-
A2
433.96=592.806-406(-0.484-
A2)-234 A2
433.96-592.806+406
.0.484= A2(406-234)
37.658=172A2
A2=0.219
A1=0.265
Ток i3
будет равняться
I3=2.607sin(314t-43.600)+0.265е-406t+0.219е-234t (A)
Таблица переменных
Время t, c
|
0.000
|
0.001
|
0.002
|
0.003
|
0.004
|
0.005
|
0.006
|
0.0063
|
Ток i2, A
|
1.115
|
1.327
|
1.528
|
1.671
|
1.7428
|
1.7430
|
1.6745
|
1.6413
|
3 этап
курсовой работы
Найдём
выражение для тока катушки операторным методом:
R1 R2
I3(-0)=== 5.263 (A)
Uc(-0)=0
(В)
Нарисуем
схему замещения цепи для расчёта тока катушки операторным методом.
В ветви
с реактивными элементами добавим ЭДС, так как у нас не нулевые начальные
условия. Причём в ветвь катушки по на правлению тока, а в ветвь конденсатора
против тока.
Определим
операторное изображение тока катушки. Для этого составим систему уравнений по
законам Кирхгофа, направление ЭДС катушки указанo на схеме.
I1(p)-I2(p)-IC(p)=0 (1.3)
(2.3)
(3.3)
Из
уравнения (2.3) выразим ток I1(p) и подставим в уравнение (3.3):
Из
уравнения (3.3)
(2.3.1)
(2.3.2)
Подставим
численные значения элементов
По
полученному изображению найдём оригинал тока .
Операторное
решение тока имеет вид правильной дроби I=. Оригинал
тока найдём при помощи теоремы разложения.
Определим
корни знамена теля, для этого приняв его равным нулю.
p1=0
0,000065p2+0,1065p+36=0
Д=(0б1065)2-4.0,000065.36=0,0019
I2(p)=
Найдём A1
A2 A3
Коэффициент
An будем искать в виде, где N(p) – числитель, а
M(p) – знаменатель
A1=
A2=
A3=
Таким
образом, i2(t) будет равняться
i2(t)=A1.exp(p1t)+
A2.exp(p2t)+ A3.exp(p3t)=1,944-0,71e-477t+0,3e-1162t
Искомый ток
катушки i2 равняется :
i2=1,944-0,71e-477t+0,3e-1162t
(A)
Токи сходятся.
4 этап
курсовой работы
Начертим
схему для расчёта цепи интегралом Дюамеля и рассчитаем её
Определим
переходную характеристику h1(t) цепи по напряжению UR2.
Для этого рассчитаем схему при подключении цепи в начальный момент t=0 к
источнику единичного напряжения. Рассчитаем схему классическим методом. Так как
нулевые начальные условия UC(-0)=UC(+0)=0, это значит
дополнительных ЕДС не будет.
Напишем
уравнения по законам Кирхгофа для цепи:
i1-i2-ic=0
i1.R1+
i2.R2=U iс=
iс.R3-i2.R1+Uc=0
i1=i2+iс
i1=i2+iс
i2(R1+R2)+iсR1=U
i2=
iс.R3-i2.R1+Uc=0
iс.R3+Uc-+
ic+
+
+
0,00043l+1=0 l= -2322,58 ()
UC
св=Ae-2322,58t
UC
вын= (B)
UC=UC св+UC вын=0,278+Ae-2322,58t
A=-0,278
UC=0,278-0,278e-2322,58t
(B)
iс==25.10-6.0,278.2322,58e-2322,58t=0,016e-2322,58t
(A)
Uab=icR3+UC=0,278-0,12e-2322,58t
(B)
Таким
образом переходная характеристика h1(t) будет равна
h1(t)=UR2(t)=0,28-0,12.e-2322,58t
(В)
t= (c)
5
этап курсовой работы
Для
расчета переходного процесса используем интеграл Дюамеля.
Переходную
характеристику h1(t) возьмем из предыдущего этапа
h1(t)=0,28-0,12.e-2322,58t
(В)
tпп=(c)
Найдём t, t1,
t2, U1/(t), U2/(t):
t= (с)
t1=t=0.00043 (c) t2=1,5t=0.00065 (c) t3=2t=0.00086 (c)
U0=20
(В); U1=-5 (B); U2=-10 (B);
U1/(t)=0 () U2/(t)= ()
U3/(t)= ()
Запишем
уравнение UR2(t) для интервала :
UR2=U0.h1(t)+ (B)
t (c)
|
0
|
0.0001
|
0.0002
|
0.0003
|
0.0004
|
0.00043
|
UR2 (B)
|
3.2
|
3.697
|
4.092
|
4.404
|
4.652
|
4.716
|
Запишем
уравнение UR2(t) для интервала :
UR2=U0.h1(t)+
+
-
(B)
t (с)
|
0,00043
|
0.00045
|
0.0005
|
0.00055
|
0.0006
|
0.00065
|
UR2 (B)
|
4,14
|
3,64
|
2,37
|
1,06
|
-0,27
|
-1,64
|
Запишем
уравнение UR2(t) для интервала :
UR2=U0.h1(t)+
+=
- )+
+ (B)
t (c)
|
0.00065
|
0.0007
|
0.00075
|
0.0008
|
0.00085
|
0.00086
|
UR2(B)
|
-5,145
|
-4,396
|
-3,653
|
-2,914
|
-2,179
|
-2,03
|
Запишем
уравнение UR2(t) для интервала :
UR2=U0.h1(t)+
+
-
+ (B)
t (c)
|
0.00086
|
0.0009
|
0.00095
|
0.001
|
0.0013
|
UR2(B)
|
-1,97
|
-1,79
|
-1,60
|
-1,42
|
-0,707
|
Строим
графики U(t) и UR2(t) по данным таблиц.