|
Параметр
|
Обозначение
|
Значение
|
Единица измерения
|
|
Масса груза
|
m
|
8
|
кг
|
|
Скорость начальная груза
|
v0
|
10
|
м/сек
|
|
Постоянная сила
|
Q
|
16
|
Н
|
|
Сила сопротивления среды
|
R
|
0,5v2
|
Н
|
|
Расстояние АВ
|
l
|
4
|
М
|
|
Переменная сила
|
Fx
|
6t2
|
Н
|
Найти: закон движения груза D на участке
ВС
Решение
1. Рассмотрим
движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз
(в произвольном положении) и действующие на него силы 
и
.
Проводим ось ВZ и составляем дифференциальное
уравнение движения груза в проекции на эту ось.
или
Проекция силы N на ось z
равна 0
Далее находим 
Rz=R=0,5v2
Qz=Q=
16 H
Принимая g=10 м/сек и деля части равенства на m
и подставляя известные значения величин находим
После преобразований и
разделения переменных проинтегрируем правую и левую части равенства
Учитывая начальные
условия (v=v0 и z=0) найдем постоянную С1
Тогда полученное
равенство примет вид
=>
=>
И подставляя все
известные значения (v=v0 = 10 м/сек, и z
= l = 4 м) получаем
То есть скорость груза D в конце участка АВ будет равна vB =11,6 м/сек.
2. Теперь рассмотрим движение
груза на участке ВС. Найденная скорость vB будет для движения
на этом участке начальной скоростью v0 = vB =11,6 м/сек.
Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие yа него силы P, N и Fx. Проведем из точки
В ось Вх и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту
ось. Так как проекции сил N и Р на ось х равны 0, то
или, деля на m правую и левую части и учитывая что Fx= 6t2
Разделяя переменные
и интегрируя части равенства найдем
Будем теперь отсчитывать
время от момента когда груз находился в точке В, считая в этот момент t0 = 0. Тогда при t
= t0 = 0 vх =
v0 =vB
= 11,6 м/сек, и
C2
= v0 = 11,6 Тогда формула скорости примет вид
Умножая обе части на dt и снова интегрируя, найдем закон движения груза на участке ВС
так как при t = 0 х = 0 то С3 = 0 и окончательно искомый закон
движения груза будет иметь вид
где х - в метрах а t - в секундах
Ответ: 
Дано
|
Параметр
|
Обозначение
|
Значение
|
|
Масса плиты
|
m1
|
24
|
кг
|
|
Масса груза D
|
m2
|
8
|
кг
|
|
Закон движения груза
|
s=AD=F(t)
|
0,4sin(pt2)
|
м
|
|
Скорость движения плиты 1
|
u
|
|
м/сек
|
|
Скорость движения плиты 1 (начальная)
|
u0
|
0
|
м/сек
|
Найти: N1 - полную силу нормального давления плиты на направляющие в момент
времени t1 = 1 сек.
Рассмотрим механическую систему,
состоящую из плиты и груза D, и изобразим действующие на нее внешние силы Р1, Р2
и реакцию N.
Для определения N1 воспользуемся теоремой о движении центра масс системы и составим
дифференциальное уравнение его движения в проекции на ось Y.
или 
где
m - масса системы Р1=m1g Р2=m2g вес плиты и груза соответственно.
Из формулы определяющей
ординату уС центра масс системы, следует что для рассматриваемой
системы
где, как видно из
рисунка
yC1=h а 
Вычисляя производные и
учитывая, что h=const получим
Подставив это значение в
найдем зависимость N от t и из нее, полагая t = t1
найдем N1
Ответ: N1=
324 Н
Дано
|
Параметр
|
Обозначение
|
Значение
|
Единица измерения
|
|
Радиус шкива 4 (большая ступень)
|
R4
|
0,3
|
м
|
|
Радиус шкива 4 (меньшая ступень)
|
r4
|
0,1
|
м
|
|
Радиус шкива 5 (большая ступень)
|
R5
|
0,2
|
м
|
|
Радиус шкива 5 (меньшая ступень)
|
r5
|
0,1
|
м
|
|
Коэффициент трения
|
fтр
|
0,1
|
|
|
Масса груза 2
|
m2
|
4
|
кг
|
|
Масса шкива 4
|
m4
|
8
|
кг
|
m3
|
6
|
кг
|
|
Момент сопротивления шкива 5
|
M5
|
0,4
|
Нм
|
|
Перемещение
|
s1
|
|
м
|
|
Внешняя сила
|
F=f(s)
|
80 (3+4s)
|
Н
|
Найти: vC3 - скорость центра масс катка.
1. Рассмотрим движение
неизменяемой механической системы, состоящей из тел 2,3,4 и 5 соединенных
нитями. Изобразим все действующие на систему силы: активные F, P2, P3 P4 момент сопротивления М5,
реакции N2, N3 N4 N5 и силы трения F2тр и F3тр.
Для определения vC3 воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии системы
(1)
2. Определим Т0 и Т.
Так как в начальный момент система находилась в покое, то Т0=0.
Величина Т равна сумме всех тел системы
Т=Т2+Т3+Т4
где 
Все входящие сюда
скорости следует выразить через vC3.
Приняв во внимание, что точка К3 - мгновенный центр скоростей катка
и, обозначив радиус катка через r3,
получим
(2)
3.
Теперь найдем сумму работ всех действующих внешних сил при том перемещении,
которое будет иметь система когда точка С1 пройдет путь s1. Одновременно все перемещения следует выразить через заданную
величину s1
Работа остальных сил
равна 0, так как т.К3, где приложены силы N3
и Fтр3, - мгновенный центр скоростей, точки приложения сил N4, N5
и Р4 неподвижны, а реакция N2
перпендикулярна перемещению груза 2.
(3)
4. Подставляя (2) и (3) в (1) и
учитывая, что Т0=0 получим
Ответ: vC3=5,14
м/сек
Дано
|
Параметр
|
Обозначение
|
Значение
|
|
Угловая скорость вала
|
w
|
10 с-1
|
|
Отрезки вала АB=ВD=DE=EK
|
b
|
0,4 м
|
|
Длина стержня 1
|
l1
|
0,4 м
|
|
Масса точечная на
стержне 1
|
m1
|
6 кг
|
|
Длина стержня 2
|
l2
|
0,6 м
|
|
Масса стержня
2
|
m2
|
4 кг
|
|
Угол наклона стержня 1
|
a
|
60°
|
|
Угол наклона стержня 2
|
b
|
75°
|
Найти: реакции подпятника и подшипника.
Для определения искомых реакций
применим принцип Даламбера. Проведем вращающиеся вместе с валом оси AХУ так, чтобы стержни лежали в
плоскости ХУ и изобразим действующие на систему внешние силы - силы тяжести Р1
и Р2 составляющие ХА и YA реакции подпятника
и реакцию ХЕ подшипника.
где Dm - масса элемента.
Поскольку все Fkи
пропорциональны hk,
то эпюра этих параллельных сил образует треугольник и их можно заменить
равнодействующей R2и,
линия действия которой проходит через центр тяжести этого треугольника т.е. на
расстоянии Н2R
от вершины В, где Н2R
= 2/3 Н2 а Н2=l2cos 75°. Но равнодействующая любой системы сил равна ее главному вектору,
а численно главный вектор сил инерции стержня
Аналогично для силы
инерции груза найдем
Так как все действующие
силы и силы инерции лежат в плоскости ХУ то и реакции опор также будут лежать в
этой плоскости.
Согласно принципу
Даламбера все внешние силы и силы инерции образуют уравновешенную систему сил.
Составляя для этой плоской системы сил 3 уравнения равновесия, получим:
Подставив сюда все
числовые значения всех заданных и вычисленных величин и решив данную систему
уравнений найдем искомые реакции.
Ответ: XA=−173 H, YА= 98,1 Н ХЕ = −150,8 Н
Дано
|
Параметр
|
Обозначение
|
Значение
|
|
Радиус шкива 1 (большая ступень)
|
R1
|
R
|
|
Радиус шкива 1
(меньшая ступень)
|
r1
|
0,4R
|
|
Радиус шкива 2 (большая ступень)
|
R2
|
R
|
|
Радиус шкива 2 (меньшая ступень)
|
r2
|
0,8R
|
|
Вес шкива 1
|
Р1
|
10Р
|
|
Вес груза
4
|
Р4
|
2Р
|
|
Вес катка 5
|
Р5
|
Р
|
|
Момент сопротивления шкива 1
|
M1
|
0,3PR
|
|
Внешняя сила
|
F
|
4Р
|
Найти: угловое ускорение шкива 1 e1
) Система имеет одну степень
свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты угол поворота шкива j.
Составим уравнение Лагранжа
(1)
2) Определим кинетическую
энергию Т системы, равную сумме энергий всех тел.
Т=Т1+Т4+Т5 (2)
Так как груз 4 движется
поступательно, шкив 1 вращательно а каток 5 плоскопараллельно, то
где, поскольку масса
шкива распределена равномерно по ободу, а каток сплошной (его радиус обозначим r5)
) Все скорости
входящие в Т1, Т4 и Т5 выразим
через обобщенную координату 
равную очевидно w1.
Если учесть при этом, что 
а
и
что точка катка К является для катка 5 мгновенным центром скоростей, то получим
груз кинетический
подшипник лагранж
Подставляя значения
величин в указанные выше формулы, а затем значения Т1,Т4 и
Т5 в равенство (2), найдем окончательно, что
и
(3)
4) Найдем обобщенную силу Q. Для этого изобразим силы,
совершающие при движении системы работу., т.е. силы P1, P4 и Р5 и момент сил М1, направленный против
вращения шкива. Затем сообщим системе возможное перемещение, при котором
обобщенная координата j
получит положительное приращение dj и покажем перемещения каждого из тел: для груза 4 это будет
перемещение dS4, для шкива
1 - поворот на dj1, для катка 5 - перемещение dS5 его центра. После чего вычислим сумму элементарных
работ и момента сил на данных перемещениях. Получим
Все входящие сюда
перемещения выражаем через dj
Коэффициент при dj
в полученном выражении и будет обобщенной силой Q.
Следовательно
= 1,14RP (4)
5) Подставляя найденные
величины (3) и (4) в (1) получим
откуда 
Ответ: e1
= 4,27 сек-2