Напряжения и токи электрических цепей

Напряжения и токи электрических цепей

Реферат

Напряжения и токи электрических цепей

1. Электрическая цепь при последовательном соединении элементов с R, L и C

R, L, C - это параметры электрической цепи, причем активное сопротивление R характеризует активный (необратимый) процесс преобразования электрической энергии в другие виды энергии, а индуктивность L и емкость C - обратимый процесс преобразования энергии электромагнитного поля.

Под действием напряжения  источника питания в цепи возникает ток i. Ток создает падения напряжения на элементах цепи:  - на элементе с активным сопротивлением;  - на элементе с индуктивностью;  - на элементе с емкостью. По второму закону Кирхгофа для данной цепи запишем

 или

В результате решения данного уравнения найдем .

Найдем частное решение данного уравнения, то есть ток установившегося режима. Так как правая часть этого уравнения - синусоидальная функция, то и частное решение следует искать в виде синусоидальной функции

.

Функция  полностью определена, если известны амплитуда тока I_m и угол сдвига фаз φ между напряжением и током. Найдем эти величины.

Как было показано ранее, напряжение  изображается комплексным числом ; ток  - комплексным числом ; производная  - комплексным числом ; интеграл  - комплексным числом .

Перейдем от дифференциального уравнения к алгебраическому уравнению в комплексной форме

.

После преобразования имеем

а разделив обе части уравнения на , получим аналогичное линейное алгебраическое уравнение для комплексных действующих значения:

Коэффициент

является полным сопротивлением цепи в комплексной форме. Вещественная составляющая R полного сопротивления равна активному сопротивлению цепи, а мнимая составляющая X называется её реактивным сопротивлением. Реактивное сопротивление цепи равно разности индуктивного и емкостного сопротивлений:

.

; ,

откуда комплексное полное сопротивление

,

где модуль полного сопротивления

.

Таким образом, модуль полного сопротивления цепи равен отношению модулей действующих значений напряжения и тока, а аргумент комплексного сопротивления - сдвигу фаз φ между векторами напряжения и тока.

Модуль полного сопротивления цепи

то есть, полное сопротивление цепи равно корню квадратному из суммы квадратов активного и реактивного сопротивлений.

Можем найти амплитуду тока, определяющую функцию

.

Теперь, если воспользоваться равенством

,

можно определить угол сдвига фаз φ

.

Таким образом, значение угла φ зависит от соотношения между реактивным X и активным R сопротивлениями. Чем больше реактивное сопротивление, тем больше угол φ. Знак угла φ зависит от соотношения между индуктивным и емкостным сопротивлениями. Если , то угол φ положительный и ток можно определить по формуле , откуда видно, что ток отстает по фазе от напряжения на угол φ. Если , то угол φ отрицательный и ток , то есть опережает по фазе напряжение на угол φ.

На рисунке показано, как изменяются напряжение и ток в цепи с последовательно соединенными активным, индуктивным и емкостным сопротивлениями при условии :

При построении векторной диаграмм в качестве начального удобно выбрать вектор тока, так как при последовательном соединении ток во всех элементах один и тот же. Как было условлено, начальный вектор совмещаем с положительным направлением мнимой оси (здесь и далее оси обозначать не будем).

Падения напряжения в комплексной форме на участке цепи с активным, индуктивным и емкостным сопротивлениями соответственно

; ; .

Вектор  на участке с активным сопротивлением совпадает по фазе с вектором , и на векторной диаграмме его проводим в направлении тока. Падение напряжения  на участке с индуктивностью опережает ток по фазе на угол π/2, причем поворачивать вектор надо против часовой стрелки по отношению к вектору . Падение напряжения  на участке с емкостью отстает от тока на угол π/2, причем  следует повернуть на угол 90^º по направлению вращения часовой стрелки по отношению к вектору .

По второму закону Кирхгофа можно написать уравнение

.

Для нахождения вектора  полного напряжения цепи к концу вектора  пристраиваем вектор  путем параллельного переноса, а к концу вектора  пристраиваем вектор . Вектор полного напряжения  соединяет начало координат с концом вектора  (последнего слагаемого вектора).

Поскольку векторная диаграмма построена для случая, когда  (следовательно, и ), ток в цепи отстает по фазе на угол φ от полного напряжения, комплексное значение которого .

2. Треугольник напряжений и сопротивлений

Если электрическая цепь состоит из последовательно соединенных элементов с активным и реактивным сопротивлениями, то векторная диаграмма напряжений имеет вид прямоугольного треугольника. Гипотенуза этого треугольника равна полному напряжению U, а катеты треугольника - активной  и реактивной U_р составляющим полного напряжения, причем

Из треугольников напряжений можно получить ряд важных соотношений между напряжениями:

;

где

;

.

Если начальный вектор  расположен горизонтально, то при  треугольник напряжений находится сверху от него и снизу при . После деления всех сторон треугольника напряжений на ток I получим треугольник сопротивлений, подобный треугольнику напряжений:

; ; .

Из треугольника сопротивлений можно получить соотношения

; ,

а также известные уже равенства

; .

3. Резонанс напряжений

При последовательном соединении элементов с R, L и C ток в цепи

.

Из всех возможных соотношений между индуктивным X_L и емкостным X_C сопротивлениями особый интерес представляет случай, когда эти сопротивления равны, то есть . В этом случае реактивное сопротивление цепи  и полное сопротивление  минимально. Тогда ток в цепи  и при ,  значение его максимально.

; .

Таким образом, напряжения на индуктивном и емкостном элементах могут превышать напряжение сети в  раз, если . Сдвиг по фазе между напряжениями  и  равен π, то есть эти напряжения находятся в противофазе.

Такой режим цепи при последовательном соединении с R, L и C, когда , а напряжения на индуктивном () и емкостном () элементах, находящихся в противофазе, равны по значению и могут превышать напряжение всей цепи, носит название режима резонанса напряжений.

Векторная диаграмма напряжений для режима резонанса представлена на рисунке.

Реактивная составляющая напряжения равна нулю; следовательно, полное напряжение , а угол сдвига фаз ; .

Активная мощность такой цепи , а реактивная . Реактивные же мощности индуктивной катушки () и конденсатора () не равны нулю: их мгновенные значения в любой момент времени равны между собой, но обратны по знаку. Происходит непрерывный обмен энергией между магнитным полем катушки и электрическим полем конденсатора.

Равенство индуктивного и емкостного сопротивлений

можно добиться, изменяя угловую частоту ω, индуктивность L или емкость С. Угловая частота, при которой наступает резонанс напряжений

.

При этой, резонансной, частоте ток в цепи достигает максимального значения.

Явление резонанса широко используют в устройствах радиотехники, телевидения, автоматики и других электроустройствах. Если электрическая цепь имеет параметры L и C такие, что резонансной для цепи является частота , то ток этой частоты будет иметь максимальное значение. Поскольку резонансные явления связаны со значительным увеличением напряжения на элементах с индуктивностью и емкостью, это может привести к пробою их изоляции.

4. Электрическая цепь при параллельном соединении элементов с R, L и C

К цепи с параллельным соединением элементов с R, L и C подводим напряжение , под действием которого в ветвях создают токи  (в ветви с R),  (в ветви с L),  (в ветви с С).

Соответственно действующие значения токов в ветвях

; ;

а действующее значение полного тока

,

где ; ; ;  - активная, индуктивная, емкостная и полная проводимости цепи.

По первому закону Кирхгофа для данной цепи,

.

При построении векторной диаграммы токов за начальный удобно принять вектор напряжения. Векторы комплексных токов ,  и  в ветвях направлены с учетом их сдвига по фазе по отношению к вектору напряжения. В соответствии с уравнением  производят геометрическое сложение векторов токов на комплексной плоскости и находят вектор полного комплексного тока .

На предыдущем рисунке построен треугольник токов OAB, катеты которого равны активной I_а и реактивной I_р составляющим тока, а гипотенуза - полному току I. Активная составляющая тока совпадает по фазе с напряжением. Реактивная составляющая тока  сдвинута по фазе относительно напряжения на угол π/2. Если , то I_р отстает по фазе от напряжения на угол π/2, а полный ток - на угол φ (0≤φ≤π/2). Если , то I_р опережает напряжение на угол π/2, а полный ток - на φ (-π/2≤φ≤0).

Из треугольника токов следует соотношения:

; ;

;

;

.

Таким образом, полная проводимость цепи равна корню квадратному из суммы квадратов активной G и реактивной  проводимостей.

Полный ток в цепи при параллельном соединении элементов с R, L и C

.

Поделив стороны треугольника токов на напряжение U: ; ; , построим треугольник проводимостей, из которого можно получить следующие соотношения:

; ;

.

Полная проводимость цепи в комплексной форме

,

где G и B - активная и реактивная проводимости соответственно.

Как видно из последней формулы, если угол φ положительный, то есть полный ток имеет индуктивную реактивную составляющую, то реактивная проводимость в комплексной форме отрицательна, и наоборот.

Активная и реактивная мощность цепи

причем реактивная мощность отдельных ветвей , .

Полная мощность цепи .

5. Резонанс токов

В электрической цепи при параллельном соединении ветвей с R(G), L(B_L), C(B_C) ток определяется по формуле .

Особый интерес представляет случай, когда индуктивная и емкостная реактивные проводимости равны друг другу. Тогда полная проводимость цепи , так как , а полный ток

имеет минимальное значение и только активную составляющую . Следовательно, .

Токи в ветвях с проводимостями B_L и B_C

; ,

то есть равны по значению () и могут превышать полный ток в цепи в  раз, если . Векторная диаграмма токов для рассмотренного случая имеет вид

Режим цепи при параллельном соединении элементов с R, L и C, когда , а токи в ветвях с реактивными проводимостями I_L и I_C равны по значению и могут превышать полный ток цепи, называется режимом резонанса токов. Для этого режима характерно , если ;

; ; ;

;

; ; .

В режиме резонанса токов рассматриваемая цепь ведет себя по отношению к источнику питания так, как будто она состоит только из элементов с активной проводимостью. В действительности же в параллельных ветвях L и C могут протекать токи, даже превышающие полный ток, протекающий в источнике питания. Но эти токи всегда противоположны по фазе друг другу. Это означает, что через каждую четверть периода происходит обмен энергиями между магнитным полем индуктивной катушки и электрическим полем конденсатора, который поддерживается напряжением U источника питания.

. Повышение коэффициента мощности

Только активная составляющая тока определяет преобразование электроэнергии в другие виды энергии, то есть позволяет количественно оценить совершаемую работу. Реактивная же составляющая тока никакой работы не производит. Однако при её наличии увеличивается полный ток.

Представим электроприемник, потребляющий активную и индуктивную составляющие тока, схемой последовательного соединения элементов R_пр и X_Lпр.

На векторной диаграмме вектор приемника  составляет с вектором напряжения  угол φ_пр, причем

; .

В отсутствие емкости C, включенный параллельно с приемником Z_пр, ток  в линии передачи равен току  приемника. Если в проводах линии передачи (сопротивление которых R) протекает ток , то теряемая в них мощность . Так как в данном случае

,

то при  и  с уменьшением коэффициента мощности  увеличивается ток в линии, а следовательно, и потеря мощности

Таким образом, для уменьшения потерь мощности в передающих устройствах необходимо увеличить коэффициент мощности приемников электроэнергии.

Конденсаторы емкостью C включают параллельно электроприемнику. Ток  конденсатора является практически чисто реактивным, опережающим напряжение на угол π/2. Этот ток компенсирует реактивную индуктивную составляющую тока приемника, в результате чего общая реактивная составляющая тока уменьшается.

При емкости конденсатора, равной C₂, и токе  ток в линии

, или .

Угол сдвига фаз φ₂ между напряжением  и током  уменьшился, а коэффициент мощности увеличился ().

С увеличением емкости конденсатора ток  увеличивается так, что при некотором значении емкости C₃ можно получить равенство  (режим резонанса токов). В этом случае реактивная составляющая тока приемника I_Lпр полностью компенсируется и ток в линии достигает минимального значения, равного активной составляющей тока приемника I_а.пр. При дальнейшем увеличении емкости конденсаторов  и реактивная составляющая тока в линии, а следовательно, и полный ток в ней увеличиваются. Наступает режим перекомпенсации, когда реактивная составляющая тока в линии носит емкостной характер.

Следует помнить, что при подключении конденсаторов потребляемая реактивная индуктивная мощность электроприемника остается неизменной, но её источником становится батарея конденсаторов, установленная вблизи приемника. В результате в линии передачи реактивные токи уменьшаются.

Для обеспечения заданного значения коэффициента мощности предприятия необходимо устанавливать конденсаторы определенной мощности или емкости. Если электроприемники имеют мощность  и , то они потребляют из сети реактивную индуктивную мощность . При заданном значении , которое должно обеспечить предприятие (), потребляемая реактивная мощность .

Разность реактивных мощностей  компенсируется емкостной реактивной мощностью конденсаторов

.

Реактивную мощность конденсаторов можно также определить по формуле

.

Приравнивая правые части этих уравнений, получим

.

При этом емкость выражается в фарадах, если мощность выражена в ваттах, а напряжение - в вольтах. Для полной компенсации () необходимо, чтобы

электрический напряжение цепь резонанс

.

Литература

1. Алиев И.И. Электротехнический справочник / И.И. Алиев. - 4-е изд., испр. - М.: РадиоСофт, 2004 или 2006. - 383 с.

. Березкина Т.Ф. Задачник по общей электротехнике с основами электроники: Учеб. пособие для сред. спец. учеб. заведений / Т.Ф.

. Березкина, Н.Г. Гусев, В.В. Масленников. - 4-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2001. - 380 с.

. Иванов И.И. Электротехника: Основные положения, примеры и задачи / И.И. Иванов, А.Ф. Лукин, Г.И. Соловьев. - Изд. 3-е, стер. - СПб.: Лань, 2004. - 191 с.

. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976. 2. Владимиров В.С. и др. Сборник задач по уравнениям математической физики. М.: Наука 1982.

. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979.