Методы расчета электрических цепей

Методы расчета электрических цепей

Пояснительная записка к курсовой работе

Методы расчета электрических цепей

1. Расчет линейной электрической цепи постоянного тока

1.1 Определить все токи в ветвях с помощью уравнений составленных по законам Кирхгофа

Рис. 1

Рис. 2

Определим количество необходимых уравнений для первого и второго законов Кирхгофа:

n_I = n_у −1= 4−1= 3,

где n_у - количество узлов;

n_II = n_в − n_y +1= 6−4+1=3,

где n_в - количество ветвей;

По первому закону Кирхгофа составляем уравнения для первого, второго и третьего узлов соответственно:

- для узла 1: I₂ + I₆ − I₅ =0;

- для узла 2: I₅ + I₃ − I₄ =0;

для узла 3: I₄ - I₆ -I₁ =0.

По второму закону Кирхгофа составляем уравнения для трех независимых контуров:

для контура 1-2-3-1: R₆I₆+R₅I₅+R₄I₄ =E₅−E₄;

для контура 4-1-3-4: R₂I₂ − R₆I₆+R₁I₁= Е₂;

для контура 4-3-2-4: −R₁I₁− R₄I₄− R₃I₃= E₄.

₅−E₄=−72+56=−16 В;

Составляем матрицу:

0 1 0 0 −1 1 | 0

0 1 −1 1 0 | 0

− 1 0 0 1 0 −1 | 0

0 0 0 53 66 76 | −16

37 95 0 0 0 −76 | 96

−37 0 −80 −53 0 0 | −56

Получаем значения токов:

I₁ = 0,658 А;

I₂ = 0,429 А;

I₃ = 0,228 А;

I₄ = 0,252 А;

I₅ = 0,0230 А;

I₆ = −0,406 А.

1.2 Определить ток в ветви с R₁ методом эквивалентного генератора

Разорвем ветвь, содержащую сопротивление R₁. Тогда в ветви появится напряжение холостого хода U_xx, в остальных ветвях будут проходить токи I₁^’, I₂^’, I₃^’ соответственно. Определим эти токи с помощью уравнений Кирхгофа:

n_I = n_у −1= 2−1=1;

n_II = n_в−n_y +1=4−2+1=3.

Составим уравнения по первому закону Кирхгофа для одного узла:

₁^’ - I₂^’+ I₃^’ =0,

Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для двух контуров:

- для контура a-b-c-a:   R₅I₂^’ + R₄I₁^’ + R₆I₁^’ =E₅ - E₄;

- для контура b-d-a-c-b:        R₃I₃^’ + R₂I₃^’ − R₆I₁^’ − R₄I₁^’ =E₂ + E_4.

Рис. 3

Составляем матрицу:

1 −1 1 | 0

66 0 | −16

−129 0 175 | 40

Получаем значения токов:

I₁^’=−0,127 A;

I₂^’=0,00694 A;

I₃^’=0,1345 A;      

Определим значение напряжения холостого хода, рассмотрев контур

d-с-b-d по второму закону Кирхгофа:

−U_xx− R₄ I₁^’+R₃I₃−E₄ =0;_xx= −R₄ I₁^’+R₃I₃−E₄;

_xx=−53∙(−0,127)+ 80∙0,1345+56=73,49 В;

Определим значение сопротивления эквивалентного генератора

Рис. 4

Рис. 6

R₂₃ = R₂ R₃ /(R₂ + R₃ + R₅)=95*80/(95+80+66)=31,53 Ом;

R₃₅ = R₃R₅ /(R₂ + R₃ + R₅)=80*66/(95+80+66)=21,91Ом;

R₂₅ = R₂ R₅ /(R₂ + R₃ + R₅)=95*66/(95+80+66)=26,016 Ом;

R₂₅₆= R₂₅ + R₆ =26,016+76=102,016 Ом;

R₃₅₄= R₃₅ + R₄ =21,91+53=74,91 Ом;

Ом;

I₁ = U_xx /(R_ЭГ+R₁)=73/(74,723+37)= 0,653 А.

1.3 Составить уравнение баланса мощностей

P_прием.=R₁I₁²+ R₂I₂²+ R₃I₃²+ R₄I₄²+R₅I₅²+ R₆I₆²=37. 0,658² + 95. 0,429² +

+80. 0,228² + 53. 0,252² + 66. 0,023² + 76∙ (−0,406) ² = 53,6 Вт;

P_ист. = −E₄I₄+E₅I₅+E₂I₂ = −(−56). 0,252 + (−72). 0,023+96^. 0,429

=53,64 Вт.

P_прием = P_ист.

Баланс мощностей выполняется, следовательно токи рассчитаны верно.

1.4 Определить показания вольтметра

Примем, что потенциал в точке b больше, чем в точке d. Запишем уравнения для двух контуров, расположенных по разные стороны от вольтметра, приняв положительный обход по часовой стрелке:

−для контура d-e-f-d: 

−R₁I₁+U_v =0;_v= R₁I₁ = 37. 0,658 = 24,346 В;

для контура a-b-d-e:

_v −R₃I₃ − R₄I₄ + Е₄=0;

U_v= R₃I₃+ R₄I₄− Е₄ =80^. (−0,228) +53^. (0,252) +56=24,4В.

Рис. 7

2. Расчет электрической цепи однофазного переменного тока

.1 Определить показания приборов

Рассчитаем реактивные сопротивления цепи:

 Ом;

X_L2 =0 Ом;

Ом;

 Ом;

Пусть U=U e ^j0˚ =150 e ^j0˚ В;

Определим комплексы полных сопротивлений ветвей:

Z₁ = R₁+j(X_L1 -X_C1)= 27+j (13,816-34,996) =27 - j21,18=34,825 e ^-j38,11° Ом;

Z₂= R₂ - jX_С2=31 - j1,59 =34,84 e ^-j27,15° Ом;

Определим показания амперметров.

По закону Ома определим ток в первой ветви:

А.

Показания первого амперметра равно: pA₁=4,307 А.

Определим ток во второй ветви:

A.

Показания второго амперметра равно: pA₁=4,305 А.

По первому закону Кирхгофа определим входной ток:

А.

А.

Определим показания ваттметра. Ваттметр показывает действительную часть полной мощности.

pW= Re[U_ab ∙I ^*]=Re [150 e ^j0° ∙8,56 e ^j32,62°]=1081,467 Вт

Определим показания вольтметра.

Для этого воспользуемся вторым законом Кирхгофа. Рассмотрим контур 1-2-3-4, подставляя при этом токи I₁ и I₂ в алгебраической форме

U_ab+R₁I₁ -jX_C2I₂=0

U_ab= jX_C2I₂ - R₁I₁=-97 (1,999 - j 0,347)+29,164 (2,265+ j 5,99)=

-368,69+j99,715=381,93 e ^-j15,3°;

pV=381,93 В.

Определим показания фазометра:

.

2.2 Составить баланс активных, реактивных и полных мощностей

Активная мощность приемника вычисляется по формуле:

Вт;

Вт;

Баланс активных мощностей выполняется.

вар; вар.

Баланс реактивных мощностей выполняется.

Полная мощность цепи вычисляется как произведение напряжения на со - пряженное значение силы тока:

S= U ∙I ^* = 200 e ^j0°. 7,07 e ^-j52,9° = 1414 e ^-j52,9° =(852,936 - j1127,78) вар.

S_пр=S₁+S₂=I₁²Z₁+I₂²Z₂=2,03²(97+j17,0776)+6,41²(11-j29,164)=851,696 - j1127,918= 1413,359 e ^-j52,9°вар.

Баланс полных мощностей выполняется.

2.3 Повысить коэффициент мощности до 0,98 включением необходимого реактивного элемента Х (индуктивная катушка)

Так как по показаниям фазометра мы видим что , то значит что у меня активно-емкостной характер цепи, и для повышения коэффициента мощности нужно добавить индуктивный элемент.

На индуктивном элементе вектор тока отстает на  от вектора тока, построим его. В точке пересечения с осью будет конец вектора I_a. Мы знаем что у нас должен быть вектор I^’ с углом 11,5^˚.В точке пересечения I^’ c I_р, будет конец вектора I_L.

Теперь мы можем измерить длины векторов I_a, I_L, I_р и .

Из ВДТ видим, что:

) , отсюда следует, что

)

А;

А;

А;

А;

 Гн.

3. Расчет трехфазной цепи

В трехфазную сеть включены однофазные приемники, которые образуют симметричную и несимметричную нагрузки.

По исходной схеме электрической цепи и машинной распечатке индивидуального задания сформируем свою расчетную схему.

Вариант 597549-14

Цепи трехфазного тока U=127В

Нагрузка: симметричная.

Схема соединения приемников:

звезда

R=122; L=66;

Нагрузка: несимметричная.

Схема соединения приемников:

треугольник

3.1 Составить схему включения приемников

3.2 Составить схему включения ваттметров для измерения активной мощности каждого трехфазного приемника

3.3 Определить токи в проводах цепи. Построить векторные диаграммы токов и напряжений

Схема соединения приёмников в «звезду»

Наличие нейтрального провода обеспечивает симметричную систему фазных напряжений на приемниках. Напряжение сети - линейное напряжение.

U_л=U_н;

U_ф = U_л /√3 =73,323 В.

Система фазных напряжений в комплексной форме:

U_а= U_А= U_ф e ^j0°=73,323 e ^j0° В;

U_b= U_B= U_ф e ^-j120°=73,323 e ^-j120° В;

U_c= U_C= U_ф e ^j120°=73,323 e ^j120° В;

Комплексные сопротивления фаз:

X_L=2πf L=2. 3,14. 50. 66. 10^-3=20,724 Ом;

Z_a=R+jX_L=122+j20,724=123,748 e ^j9,64° Ом;

Так как нагрузка симметричная Z_a= Z_b= Z_c=123,748 e ^j9,64° Ом;

Для схемы «звезда» фазные и линейные токи равны между собой и составляют:

I_AY =U_a / Z_a =73,323 e ^j0°/ 123,748 e ^j9,64° =0,593 e ^{- j9,64°}=(0,584 - j0,099) A;

I_BY =U_b / Z_b =73,323 e ^-j120° / 123,748 e ^j9,64° =0,593e ^{- j129,64°}=(-0,378 - - j0.457) A;

I_CY =U_c / Z_c =73,323 e ^j120°/ 123,748 e ^j9,64° =0,593e ^j110,36°=(-0.2+ j0,56) A;

Ваттметр показывает активную мощность цепи. Активная мощность равна:

P=3 (R_ф I_ф²)=3 (122*0,593²)=42,9 Вт;

Схема соединения приёмников в «треугольник»

Напряжение сети - это линейное напряжение, в схеме «треугольник» U_ф = U_л = 127 В.

Фазные напряжения:

_ab= U_л e ^j30°=127 e ^j30° В;

U_bс= U_л e ^-j90°=127 e ^-j90° В;

U_са= U_л e ^j150°=127 e ^j150° В.

Комплексные сопротивления фаз:

Z_ab=R₁ - jX_C1=119 - j107=160,03 e ^j42° Ом;

Z_bc= R₂ - jX_C2=96 - j115= 149,8 e ^j50,1° Ом;

Z_ca=R₃ + jX_L3=88 + j98= 131,7 e ^j48,1° Ом.

Определим величины фазных токов:

I_ab=U_ab / Z_ab=127 e^j30°/ 160,03 e ^j42°= 0,79 e ^-12°= (0,77 - j0,16) А;

I_bс=U_bс / Z_bс=127 e ^{- j90°}/ 149,8 e ^j50,1°= 0,85 e ^-j140,1°= (-0,65 - 0,55) А;

I_са=U_са / Z_са=127 e^j150°/ 131,7 e ^j48,1° = 0,96 e ^j101,3°= (-0,19+j0,94) А.

Линейные токи находятся по первому закону Кирхгофа:

I_a = - I_са - I_ab = - (-0,19+j0,94) - (0,77+j0,16) = -0,58+ j1,1 =1.24e ^{- j62,2°} А;

I_b = I_ab - I_bс = (0,77+j0,16) - (-0,65 - j0,55) = 1.42+ j0.71 =1,59e ^j26.6° A;

I_с = I_bс - I_са= (-0,65 - j0,55) - (-0,19+j0,94) = - 0,46 - j1,49=1,56e ^-j72,84° A.

Активная мощность, потребляемая нагрузкой:

_ab+ P_bc+ P_ca =Re[U_ab I^*_ab]+Re[U_bс I^*_bс]+Re[U_са I^*_са]=Re [127 e ^j30° *0,79e¹²]+ +Re [127 e ^-j90° * 0,85 e ^j140,1°]+Re [127 e ^j150° *0,96 e ^j101,3°]=Re [100,33 e ^42°]+ +Re [107,95 e ^j50,1°]+Re [121,92 e ^j251,3°]=330,2 Вт.

Список литературы

электрический цепь ток фазный

1.      Касаткин А.С., Немцов М.В. Электротехника./А.С. Касаткин, М.В. Немцов. - Изд. - 8-е, перераб.-М.: «Высшая школа», 2005. - 542 с.

.        Рекус Г.Г. Сборник задач и упражнений по электротехнике и основам электроники: Учеб. Пособие для неэлектротех. спец. вузов/ Г.Г. Рекус, А.И.

.        Белоусов; Ред. Л.В. Честная, -2-е изд., перераб. - М.: Высш. шк., 2001.-416 с.

.        Электротехника и электроника. Электрические цепи: Учебное пособие для студентов неэлектротехнических специальностей. /Р.В. Ахмадеев, И.В. Вавилова, Т.М. Крымская: Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т.: - Уфа, 1999. -91 с.

5.      http://toe.ugatu.ac.ru