Исследование электрической цепи синусоидального тока

Исследование электрической цепи синусоидального тока

Московский государственный институт электронной техники

Кафедра «Электротехники»

Контрольная работа

Тема “Исследование электрической цепи синусоидального тока”

по курсу “Электротехника, электроника и схемотехника. Электротехника”

Выполнил Ильин П.А.

Работу принял Сапожников Б. И.

Москва 2012

Задание 1. Изобразить электрическую схему и ее направленный граф

Так как на напряжениях №1,5,6,7 jX>0 то в соответствующих цепях будут содержаться катушки индуктивности, в цепях №2,3,4,8 - конденсаторы, так как jX<0.

ω = 2 * π * f = 2 * 3.14 * 50 = 314 рад\с

Общие формулы:

L = ;

C = ;

Отсюда найдем значения:

L₁ = 0,19 Гн

L₅ = 0,12 Гн

L₆ = 0,19 Гн

L₇ = 0,25 Гн

C₂ = 3,98*10 ^-5 Ф

C₃ = 1,06*10 ^-4 Ф

С₄ = 1,59*10 ^-4 Ф

С₈ = 6,36*10 ^-5 Ф

Теперь посчитаем сдвиг фазы ЭДС по формуле

ϕ = arctg:

ϕ₁ = arctg = 0.9 => ϕ₁= 53.13  ͦ

ϕ₂ = arctg = 0.64 => ϕ₁= 36.86  ͦ

Теперь, когда нам известны все сопротивления, составим схему в Multisim

Задание 2. Составить уравнения методом контурных токов

Задаем в каждом независимом контуре схемы свой контурный ток: I11, I22, I33, I44 и выбираем произвольно условно-положительное направление каждого из них (по часовой стрелке или против)

I₁₁ (Z₁ + Z₆ + Z₅) + I₂₂ Z₆ + I₃₃ * 0 - I₄₄ Z₅ - J₉ ( Z₅ + Z₆ ) = 0;₁₁ Z₆ + I₂₂ (Z₆ + Z₂ + Z₇) - I₃₃ Z₇ + I₄₄ * 0 - J₉ Z₆ = E₂;₁₁ *0 - I₂₂Z₇ + I₃₃ (Z₇ + Z₈ + Z₃) + I₄₄ Z₈ = - E₃;

I₁₁ Z₅ + I₂₂ *0 + I₃₃ Z₈ + I₄₄ (Z₅ + Z₈ + Z₄) + J₉ Z₅ = 0;

Задание 3. Во всех ветвях рассчитать токи МКТ. Уравнения токов представить в алгебраической и полярной (показательной) форме

Из системы выпишем матрицу сопротивлений и напряжений для расчета матрицы токов с помощью MATLAB и сразу подставим в нее числовые значения:

Z =  =

Полученная система уравнений рассчитывается по методу Крамера:

= ∆11/ ∆; I22 = ∆22/ ∆; I33 = ∆33/ ∆ , I44= = ∆44/ ∆

где ∆- определитель системы уравнений

∆ =

∆₁₁ =

∆₂₂ =

∆₃₃ =

∆₄₄ =

Теперь найдем токи по вышеуказанным формулам:

I11 = 0.0105 - 0.0471i= 0.0891 + 0.0604i= - 0.3067 - 0.0285i= 0.2149 - 0.0845i

Учтем, что₁ = I₁₁

I₂ = I₂₂₃ = -I₃₃₄ = I₄₄

I₅ = I₄ - I₁ + J₉₆ = I₁ + I₂ - J₉

Тогда₁ = 0.0105 - 0.0471i₂ = 0.0891 + 0.0604i₃ = 0.3067 + 0.0285i₄ = 0.2149 - 0.0845i

I₅ = 0.2044 - 0.0375i

I₆ = 0.0996 + 0.0133i

I₇ = 0.3958 + 0.0889i

I₈ = 0.0918 + 0.1130i

Теперь представим значения токов в показательной форме. Для этого нужно найти модуль комплексного числа по формуле

=

и показатель числа, используя алгоритм:

) Если a>0 (1-ая и 4-ая координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле

.

) Если a<0, b>0 (2-ая координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле

.

) Если a<0,b<0 (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле

.

Отсюда:

 = 0.0482 arg(Z1) =77.4325= 0.0482*

 = 0.1076 arg(Z2) = 34.1329= 0.1076*

 = 0.3080 arg(Z3) = 5.3084= 0.3080*

 = 0.2309 arg(Z4) = -21.4650= 0.2309*

 = 0.2078 arg(Z5) = -10.3960= 0.2078*

 = 0.1004 arg(Z6) = 7.6059= 0.1004*

 = 0.4056 arg(Z7)= 12.6590= 0.4056*

 = 0.1455 arg(Z8 )= 50.9099= 0.1455*

Топологический метод

Составим матрицу B по принципу:

Каждая строка соответствует одному контурному току, и если его направление совпадает с током в ветви, то пишем 1, если противоположно то -1, если ток в ветви не относится к данному контурному то 0.

B =

Составим диагональную матрицу из Zn (n=1..8):

Z =

Составим матрицу E, поставив значение En в строки, с их порядковым номером:

E =

И матрицу J:

J =

Теперь составим матричное уравнение:

Решив его при помощи Matlab получим:

I₁ = 0.0105 - 0.0471i₂ = 0.0891 + 0.0604i₃ = 0.3067 + 0.0285i₄ = 0.2149 - 0.0845i₅ = 0.2044 - 0.0375i₆ = 0.0996 + 0.0133i₇ = 0.3958 + 0.0889i

I₈ = 0.0918 + 0.1130i

В показательной форме значения токов имеют вид:

 = 0.0482 arg(Z1) =-77.4325= 0.0482*

 = 0.1076 arg(Z2) = 34.1329= 0.1076*

 = 0.3080 arg(Z3) = 5.3084= 0.3080*

 = 0.2309 arg(Z4) = -21.4650= 0.2309*

 = 0.2078 arg(Z5) = -10.3960= 0.2078*

 = 0.1004 arg(Z6) = 7.6059= 0.1004*

 = 0.4056 arg(Z7)= 12.6590= 0.4056*

 = 0.1455 arg(Z8 )= 50.90998 = 0.1455*

Задание 4. Составить уравнения методом узловых потенциалов. Расчет матриц выполнить по методу Крамера. Рассчитать токи и напряжения во всех ветвях. Сравнить полученные токи с токами, вычисленными по МКТ. Потенциалы и напряжения представить в полярной форме

Заземлим узел E. Тогда ϕ_e = 0;

Вычислим проводимости в каждой ветви, как обратную величину к сопротивлению:

Y₁ = , Y₂ = , Y₃ = , Y₄ = , Y₅ = , Y₆ = , Y₇ = , Y₈ = .

Теперь составим систему уравнений для каждого из узлов (кроме Е):

А: (Y₁+Y₄+Y₅)∙φ_a - Y₁∙φ_b - 0∙φ_c - Y₄∙φ_d = J₉

B: -Y₁∙φ_a + (Y₁ + Y₂ + Y₆)∙φ_b - Y₂ ∙φ_c - 0∙φ_d = - J₉ + E₂Y₂

С: 0∙φ_a - Y₂∙φ_b + (Y₂ + Y₃ + Y₇)∙φ_c - Y₃∙φ_d = - E₃∙Y₃ - E₂∙Y₂

D: - Y₄∙φ_a - 0∙φ_b - Y₃∙φ_c + (Y₃ + Y₄ + Y₈ )∙φ_d = E₃∙Y₃

Из данной системы уравнений получим матричное уравнение:

∙ =

Где

Y₁₁ = Y₁+Y₄+Y₅, Y₁₂ = Y₁, Y₁₄ = Y₄;

Y₂₁ = Y₁, Y₂₂ = Y₁+Y₂+Y₆, Y₂₃ = Y₂;

Y₃₂ =Y₂, Y₃₃ =Y₂+Y₃+Y₇, Y₃₄ = Y₃;

Y₄₁ = Y₄, Y₄₃ = Y₃, Y₄₄ = Y₃+Y₄+Y₈.

j₁₁ = J₉

j₂₂ = - J₉ + E₂*Y₂,₃₃ = - E₃∙Y₃ - E₂∙Y₂ ,₄₄ = E₃∙Y₃.

Расчёт напряжений проведем по формулам:

U_ba = φ_b - φ_a,

U_bc = φ_b - φ_c,

U_dc = φ_d - φ_c,

U_da = φ_d - φ_a,

U_eb = φ_e - φ_b,

U_ec = φ_e - φ_c,

U_ed = φ_e - φ_d.

Расчёт токов по формулам:

I₁ = ,

I₂ = ,₃ = ,₄ = ,₅ = ,

I₆ = ,₇ = ,₈ = .

φ_a = 7.6316 + 7.0543iВ

φ_b = 3.1861 + 6.5077iВ

φ_c = -30.8600 -26.3300iВ

φ_d = 10.2397 + 1.0644iВ

φ_e = 0₁ = 0.0105 - 0.0471i₂ = 0.0891 + 0.0604i₃ = 0.3067 + 0.0285i₄ = 0.2149 - 0.0845i₅ = 0.2044 - 0.0375i₆ = 0.0996 + 0.0133i₇ = 0.3958 + 0.0889i₈ = 0.0918 + 0.1130i_ba = 4.4455 + 0.5466i_bc = 34.0461 +32.8377i_dc = 41.0997 +27.3944i_da = 2.6081 - 5.9899i_ea = 7.6316 + 7.0543i_eb = 3.1861 + 6.5077i

U_ec = -30.8600 -26.3300iU_ed = 10.2397 + 1.0644i

Теперь представим полученные значения в показательной форме:

φ_a = 10.393 * B

φ_b = 7.246 *B

φ_c = 40.566 *B

φ_d = 10.295 *B

φ_e = 0₁ = 0.0482*₂ = 0.1076*₃ = 0.3080*₄ = 0.2309*₅ = 0.2078*₆ = 0.1004*

I₇ = 0.4056*

I₈ = 0.1455*

Топологический метод:

Составим матрицу А, где каждая строка будет соответствовать узлу по принципу: если ток втекает в узел то пишем -1, если вытекает то 1 и 0 если не имеет отношения к узлу.

A =

Составим диагональную матрицу из Yn (n=1..8):

Y =

Составим матрицу E, поставив значение En в строки, с их порядковым номером:

E =

И матрицу J:

J =

Теперь составим матричное уравнение и решим его в MATLAB:

φ_a = 7.6316 + 7.0543iВ

φ_b = 3.1861 + 6.5077iВ

φ_c = -30.8600 -26.3300iВ

φ_d = 10.2397 + 1.0644iВ

φ_e = 0

Значения потенциалов совпали.

Задание 5. Определить режимы работы источников. Составить уравнение баланса мощности. Определить расхождение баланса мощностей источников и потребителей в процентах

Проверим выполнения баланса мощностей в цепи . Он устанавливает равенство (баланс) алгебраической суммы мощностей, развиваемых источниками энергии, сумме мощностей, расходуемых приемниками энергии.

,

где  - алгебраическая сумма мощностей источников ЭДС, причем мощность положительна, если направление  и  совпадают, и отрицательна - если не совпадают;

 - алгебраическая сумма мощностей источников тока .

Мощность положительна ,если ток источника тока подтекает к точке с большим потенциалом, и отрицательна, если это условие не выполняется;

 -сумма мощностей, потребляемых всеми сопротивлениями, где все слагаемые положительны.

Исходя из вышеуказанных правил составим уравнение:

∙Z₁ + ∙Z₂ + ∙Z₃ + ∙Z₄ + ∙Z₅ + ∙Z₆ + ∙Z₇ + ∙Z₈ + J₉∙U₉ = E₂∙I₂ + E₃∙I₃

11.3913 +16.3033i = 11.6700 +15.7170i

∙Z₁ + ∙Z₂ + ∙Z₃ + ∙Z₄ + ∙Z₅ + ∙Z₆ + ∙Z₇ + ∙Z₈ + J₉∙U₉ = 11.3913 +16.3033i

E₂∙I₂ + E₃∙I₃ = 11.6700 +15.7170i

.3913 +16.3033i ≈ 11.6700 +15.7170i

Таким образом баланс мощностей выполняется.

Задание 6. Определить число необходимых уравнений, составленных по законам Кирхгофа. Составить уравнения по законам Кирхгофа для расчета токов и рассчитать их

Электрическая схема содержит 9 ветвей и 5 узлов. Составляем уравнения по первому закону Кирхгофа. Число их на единицу меньше числа узлов y=Nуз-1(для схемы с пятью узлами нужно составить четыре таких уравнения которые являются линейно-независимыми):

a) -I₁ + I₄ - I₅ + J₉ = 0,) I₁ + I₂ - I₆ - J₉ = 0,) -I₂ - I₃ + I₇ = 0,

d) I₃ - I₄ - I₈ = 0,

Если к одному из узлов присоединен источник тока, то ток этого источника тоже должен быть учтен.

Выбираем произвольно направление обхода каждого контура и составляем уравнения по второму закону Кирхгофа.

Контуры, для которых составляются уравнения, нужно выбирать так, чтобы каждый из них включал в себя хотя бы одну новую ветвь. Только при этом условии уравнения будут независимы друг от друга, а контуры - независимыми. Число уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, вычисляется по формуле:

=Nв - Nуз + 1 - Nт = 9-5+1-1=4,

где Nв-число ветвей, уз- число узлов,т- число источников тока.

I_1*Z₁ - I_5*Z₅ + I_6*Z₆ =0,

I_2*Z₂ + I_6*Z₆ + I_7*Z₇ = E₂,_3*Z₃ + I_7*Z₇ + I_8*Z₈ = E₃,_4*Z₄ + I_5*Z₅ - I_8*Z₈ = 0.

В этих уравнениях все ЭДС и токи, совпадающие с направлением обхода контура, записываются со знаком плюс; ЭДС и токи, направленные навстречу обходу - со знаком минус.

Общее число уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, равно числу неизвестных токов, т.е. числу ветвей за исключением ветвей с источниками тока.

Уравнения Кирхгофа представим в матричной форме:

Вычислим значения токов в MATLAB:

I₁ = 0.0105 - 0.0471i₂ = 0.0891 + 0.0604i₃ = 0.3067 + 0.0285i₄ = 0.2149 - 0.0845i₅ = 0.2044 - 0.0375i₆ = 0.0996 + 0.0133i₇ = 0.3958 + 0.0889i

I₈ = 0.0918 + 0.1130i

Значения токов совпали с ранее найденными.

Задание 7. Рассчитать ток в одной ветви связи МЭГ

Разорвем цепь №2:

Запишем проводимости как величину, обратную сопротивлению для всех контуров:

Y₂ = , Y₃ = , Y₄ = , Y₅ = , Y₆ = , Y₇ = , Y₈ = .

Система уравнений для узлов a, b, c, d:

a) (Y₁+Y₄+Y₅)∙φ_a - Y₁∙φ_b - 0∙φ_c - Y₄∙φ_d = J₉,

b) 0∙φ_a + (Y₁ + Y₆)∙φ_b - 0 ∙φ_c - 0∙φ_d = - J₉,

c) 0∙φ_a - 0∙φ_b + (Y₃ + Y₇)∙φ_c - Y₃∙φ_d = - E₃∙Y₃,

d) - Y₄∙φ_a - 0∙φ_b - Y₃∙φ_c + (Y₃ + Y₄ + Y₈ )∙φ_d = E₃∙Y₃.

Из составленных уравнений получим матричное уравнение:

∙ = ,

где Y₁₁ = Y₁+Y₄+Y₅, Y₁₄ = Y₄;

Y₂₂ = Y₁+Y₆

Y₃₃ = Y₃+Y₇, Y₃₄ = Y₃;₄₁ = Y₄, Y₄₃ = Y₃, Y₄₄ = Y₃+Y₄+Y₈.₁₁ = J₉, j₂₂ = - J₉, j₃₃ = - E₃∙Y₃, j₄₄ = E₃∙Y₃.

Отсюда, воспользовавшись MATLAB получим:

φ_a = 7.6316 + 7.0543iВ

φ_b = 3.1861 + 6.5077iВ

φ_c = -30.8600 -26.3300iВ

φ_d = 10.2397 + 1.0644iВ

φ_e = 0

Найдем ток короткого замыкания.

Направление токов I11, I22, I33, I44:

Система уравнений для токов I11, I22, I33, I44:

_11*( Z₅+Z₆) + _22*Z₆ + _33* 0 - I_44*Z₅ - J_9*(Z₅+Z₆) = 0,_11*Z₆ + I_22*(Z₂+Z₆+Z₇) + I_33*Z₇ + I_44* 0 - J_9*Z₆ = 0,_11* 0 + I_22*Z₇ + I_33*(Z₃+Z₇+Z₈) - I_44*Z₈ = E₃,

I_11*Z₅ + I_22* 0 - I_33*Z₈ + I_44*( Z₄+Z₅+ Z₈) + J_9*Z₅ = 0.

Матричное уравнение:

∙ =

где Z₁₁ = Z₅+Z₆, Z₁₂ = Z₆, Z₁₃ = 0, Z₁₄ = -Z₅;

Z₂₁ = Z₆, Z₂₂ = Z₂+Z₆+Z₇, Z₂₃ = Z₇, Z₂₄ = 0;

Z₃₁ = 0, Z₃₂ = Z₇, Z₃₃ = Z₃+Z₇+Z₈, Z₃₄ = -Z₈;

Z₄₁ = -Z₅, Z₄₂ = 0, Z₄₃ = -Z₈, Z₄₄ = Z₄+Z₅+Z₈.

E₁₁ = J_9*(Z₅+Z₆), E₂₂ = J_9*Z₆, E₃₃ = E₃, E₄₄ = - J_9*Z₅.

Сопротивление нагрузки

Z_нагр =  =  = 288.64+264.67i

Ток вычислим по формуле

I₂ =

I₂ =  = = 0.0891 + 0.0604i

Задание 8. Рассчитать и построить топографические диаграммы

Топографическая диаграмма токов:

Топографическая диаграмма потенциалов и напряжений:

ток короткий замыкание мощность

Задание 9. Собрать схему в среде Multisim