Исследование устойчивости простой системы автоматического регулирования и оценка качества переходных процессов в ней

Введение

Несмотря на то, что системы управления давно внедряются в производство и быт, многие процессы остаются нерегулируемыми или регулируются неоптимальным образом. В частности, до недавнего времени процессы водоснабжения, канализации, вентиляции регулировались вручную путем открытия и закрытия заслонок. Внедрение автоматического регулирования перечисленных процессов за счет изменения скорости вращения насосов и вентиляторов приводит к уменьшению электропотребления на 50…60 %.

В настоящее время возможности повышения точности технологических процессов за счет усовершенствования самих технологических процессов во многих случаях исчерпаны. Повышения точности можно добиться за счет совершенствования систем автоматического управления (САУ).

Целью работы является изучение и исследование устойчивости простой системы автоматического регулирования и оценка качества переходных процессов в ней.

Для исследования устойчивости и выбора параметров используются такие критерии, как D-разбиение по двум действительным параметрам, Михайлова и Найквиста, а также прямые показатели качества регулирования.

автоматический устойчивость переходный найквист

Задание по варианту 29

Структурная схема исследуемой АСР приводится на рисунке.

Исходные данные приводятся в таблице.

Таблице - исходные данные

Передаточная функция объекта

.

Передаточная функция регулятора

.

Задача 1.

Построение кривой D-разбиения

Передаточная функция разомкнутой системы

.

Выходная функция

   .

Передаточная функция по задающему воздействию

.

Все методы исследования устойчивости сводятся к определению расположения корней характеристического уравнения, а именно, для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо, чтобы корни лежали в левой полуплоскости, то есть, действительные части корней должны быть отрицательны.

В нашем случае характеристическим полиномом является знаменатель передаточной функции замкнутой системы.

Характеристический полином

Положим:  и приравняем к нулю

Приравнивая действительную и мнимую части к нулю, получим систему уравнений

Решая относительно w, получим

Или

Коэффициент передачи

.

Коэффициент передачи

.

разбиение в плоскости двух действительных параметров показано на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1 - D-разбиение в плоскости двух действительных параметров

Задача 2

.1 Определение области устойчивости

Выбираем точку устойчивости

Коэффициент передачи

.

Коэффициент передачи

.    

Коэффициент передачи

.

Выбираем точку неустойчивости

Коэффициент передачи

.

Коэффициент передачи

.

.2 Исследование устойчивости по критерию Михайлова

Критерий Михайлова - частотный критерий, позволяющий судить об устойчивости замкнутой (или разомкнутой) системы по поведению ее характеристического вектора на комплексной плоскости.

Положим:

.

Вторая формулировка критерия Михайлова (критерий перемежаемости корней): для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы корни уравнений мнимой и действительной частей  и  перемежались (чередовались).

Проверяем точку устойчивости.

Коэффициент передачи

.

Коэффициент передачи

.

Характеристический полином

 .

Мнимая часть характеристического полинома

 1/с.

1/с.

Действительная часть характеристического полинома

Корни:

 1/с.

1/с.

1/с.

Как легко заметить, корни перемежаются, то есть система устойчива.

.3 Исследование устойчивости по критерию Найквиста

Критерий Найквиста - частотный критерий, позволяющий судить об устойчивости системы, замкнутой единичной отрицательной обратной связью, по виду амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы.

Формулировка критерия для случая устойчивой разомкнутой системы: замкнутая система будет устойчивой, если амплитудно-фазовая характеристика устойчивой разомкнутой системы при изменении частоты w от  до ¥ не охватывает точку с координатами .

Проверяем точку неустойчивости.

Коэффициент передачи

.

Коэффициент передачи

.

Передаточная функция разомкнутой системы

w× ×w w.

Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы показана на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2

Как легко заметить, амплитудно-фазовая характеристика охватывает точку с координатами , то есть система не устойчива.

Задача 3.

Построение переходных процессов в АСР

Положив G=1/p, F=0, получим передаточную функцию САУ, как реакцию на единичное воздействие:

Передаточная функция САУ

.1 ПИ-регулятор

Коэффициент передачи

.

Коэффициент передачи

.

Передаточная функция по задающему воздействию

Переходная функция САУ

× ×.

Переходная функция САУ

.2 И-регулятор

Коэффициент передачи

.

Коэффициент передачи

.

Передаточная функция по задающему воздействию

 × ×.

Переходная функция САУ

 × ×.

Переходная функция САУ

.3 П-регулятор

Коэффициент передачи

.

Коэффициент передачи

.

Передаточная функция по задающему воздействию

.

Переходная функция САУ

.

Выполним обратное преобразование Лапласа, воспользовавшись теоремой вычетов для интеграла Меллина, что в случае рациональных выражений делается элементарно, для чего разложим выражение на простые дроби

Переходная функция САУ

.

Переходная функция САУ

Графики переходных функции АСР показан на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1 - Переходные функция АСР, сплошная линия - ПИ, пунктирная - И, штрихпунктирная - П

Задача 4.

Анализ качества регулирования при использовании различных законов регулирования

4.1 ПИ-регулятор

График переходной функции САУ показан на рисунке 4.1.

Рисунок 4.1 - Переходная функция АСР

Установившееся значение выходной величины

.

Статическая ошибка

.

Колебательность

.

Задаём отклонение от установившегося значения  %.

Определяем по графику:

Наибольшее значение выходной величины

.

Перерегулирование

 %.

Время переходного процесса

 с.

.2 И-регулятор

График переходной функции САУ показан на рисунке 4.2.

Рисунок 4.2 - Переходная функция АСР

Установившееся значение выходной величины

.

Статическая ошибка

.

Колебательность

.

Задаём отклонение от установившегося значения  %.

Определяем по графику:

Наибольшее значение выходной величины

.

Перерегулирование

 %.

Время переходного процесса

 с.

.3 П-регулятор

График переходной функции САУ показан на рисунке 4.3.

Рисунок 4.3 - Переходная функция АСР

Установившееся значение выходной величины

.

Статическая ошибка

.

Колебательность

.

Задаём отклонение от установившегося значения  %.

Определяем по графику:

Наибольшее значение выходной величины

.

Перерегулирование

%.

Время переходного процесса

с.

Список литературы

1. Теория автоматического управления Коновалов. / Электронный вариант.

. Исследование линейной автоматической системы регулирования. Методическое руководство к лабораторной работе./Составитель Аязян ПК./ Электронный вариант.

. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - М.: Наука, 1975. - 768 с.

. Лекции по курсу ТАУ. Аязян Г.К. Электронный вариант.

. Теория автоматического управления. Под ред. Нетушила А.В. ч. 1, М.: Высшая школа, 1968. - 424 с.