Исследование функций
Задание №
1. Найти производную
; ;
Решение:
производная
сложной функции
Прологарифмируем
обе части, а затем найдём производную
Задание №
2. Найти пределы функций
; ; ;
Решение:
для
раскрытия неопределённости разделим числитель и знаменатель на
для
раскрытия неопределённости умножим и числитель и знаменатель на сопряжённое
для
раскрытия неопределённости числитель представим в виде произведения
Задание №
3. Провести полное исследование функции и построить ее график
Решение:
1. Область
определения функции: функция не определена при x=1. Область
определения состоит из двух интервалов , а
график из двух ветвей.
. Функция
нечетная, ни нечётная
. Точки
пересечения графика с осями координат: если x=0 , то точка пересечения О(0;-1)
4. Прямая x=1
является вертикальной асимптотой.
,
значит
x=1 точки разрыва 2го рода.
Проверим
наличие наклонной асимптоты в виде y=kx+b, где
производный функция экстремум график
Значит,
y=x+1 наклонная
асимптота
5. Найдём интервалы возрастания и убывания функции и её экстремумы.
при ,
Исследуем
критическую точку x=0
, значит
функция возрастающая на интервале .
, значит
функция убывающая на интервале .
Следовательно,
точка максимума, а максимум функции
Итак,
О(0;0) - максимум
Кроме
того, , значит функция возрастающая на интервале .
Следовательно,
точка минимума, а минимум функции
Итак,
О(2;3) - минимум
6. Найдём интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз; определим
точки перегиба.
и не
существует при
функция
выпукла вверх на интервале
функция
выпукла вниз на интервале
Функция
не существует в точке перегиба.
7. Построим график функции, используя полученные данные.
Задание № 4. Решить дифференциальные уравнения
;
Решение:
Имеем
дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Разделим переменные, а
затем проинтегрируем обе части
Задание
№ 5. Решить задачу
)
В туристической группе 15 человек, среди которых только 5 человек хорошо
говорят по-английски. В Лондоне группу случайным образом расселили в два отеля
(3 человека и 12 человек соответственно). Вычислите вероятность того, что из
членов группы в первом отеле:
а)
все туристы говорят хорошо по-английски;
б).
Только один турист хорошо говорит по-английски.
Решение:
число
исходов, благоприятствующих событию, равно числу способов выбрать троих из 5
хорошо говорящих, т.е.
Искомая
вероятность того, что из членов группы в первом отеле все туристы говорят
хорошо по-английски:
б)
Только один турист хорошо говорит по-английски.
общее
число элементарных исходов равно числу способов, которыми можно выбрать три
туриста из 15, т.е.
число
исходов, благоприятствующих событию, равно числу способов выбрать одного из 5
хорошо говорящих, т.е. и при этом остальные двое не должны хорошо говорить
по-английски, число способов
Искомая
вероятность того, что из членов группы в первом отеле только один турист
говорит хорошо по-английски:
2)
Дискретная случайная величина распределена по закону:
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное
отклонение
Решение:
Математическое ожидание:
Дисперсия:
среднее
квадратичное отклонение: