Исследование функции. Вычисление производных функции

Федеральное агентство связи

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

Межрегиональный центр переподготовки специалистов

Контрольная работа

По дисциплине: Математический анализ

Выполнил: Калинин Максим

Проверил: Агульник Ольга Николаевна

Новосибирск, 2015 г

1. Найти пределы

а) б) в) .

Решение.

Воспользуемся формулами:

 (19)

(20)

 (21)

 (22)

(23).

 - воспользуемся тождественными преобразованиями: разделим числитель и знаменатель выражения на .

.

Поскольку ~, то ~, тогда

.

в)

Ответ: а) , б) 0, в).

. Найти производные  данных функций

б)

г) .

Решение.

Свойства производной:

 (24)

 (25)

 (26)

 (27)

.

.

.

 - функция задана неявно.

Продифференцируем обе части равенства:

;

;

;

Выразим производную :

;

;

.

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

3. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию . Используя результаты исследования, построить её график

Решение. Схема исследования функции

. Найдем область определения функции: . Точек разрыва нет. 2. Проверим, не является ли функция четной или нечетной; проверим также, не является ли она периодической.

функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат, непериодическая

. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

Пересечение с :  точка

Пересечение : .

. Найдем производную функции и ее критические точки.

 ,  - критические точки.

5. Найдем промежутки монотонности и экстремумы функции.

Определим знак производной на каждом из интервалов методом частных значений:

, ,

.

, .

Табл.1.

Значит  при (-2;2),  при и

точка минимума ; - точка максимума .

. Найдем вторую производную, ее нули и интервалы знакопостоянства.

.

, , .

, , ,

Табл.2.

В интервалах, где < 0 , то есть при  и  график функции выпуклый, а где >0 -  и  - вогнутый.

. Найдем асимптоты.

Уравнения наклонных асимптот , где , тогда наклонных асимптот не существует.

Горизонтальная асимптота  (ось )

График данной функции имеет вид:

Рис.3.

4. Дана функция . Найти все её частные производные второго порядка

Решение.

Для вычисления частных производных будем пользоваться правилом: все переменные, кроме той, по которой дифференцируем, считаем постоянными. Тогда учитывая (24) - (27). Найдем вначале производные первого порядка.

 - считаем  постоянной, а  - переменной.

- считаем  постоянной, а - переменной.

Найдем производные второго порядка:

 - дифференцируем  по , считая  постоянной.

 - дифференцируем  по , считая  постоянной.

 - дифференцируем  по , считая  постоянной.

Ответ: ,

, .

. Найти неопределенные интегралы

а)б)

в)г).

Решение.

Воспользуемся свойствами интеграла:

 (28)

. (29)

 (30) - внесением под знак дифференциала необходимой переменной.

 (31)

Воспользуемся формулой понижения степени , тогда

.

Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби и воспользуемся формулами

, если  (32)

 (33).

экстремум дробь монотонность подынтегральный

Воспользуемся для разложения методом неопределенных коэффициентов:

 получим систему: . Тогда

.

 - выполним замену переменной , тогда .

.

Выполним обратную замену, тогда .

Ответ: а) , б) , в) , г) .

Список использованной литературы

1.      Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. 8-е изд. - М.: Наука, 1966 - 872 с.

2.      Демидович Б.П.. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - М.: Наука, 1972 - 544 с.

3.      Задачи и упражнений по математическому анализу для втузов.: Учебное пособие для студентов высших техн. учебн. заведений/под. ред. Б.П. Демидовича. - М.; ООО «Издательство Астрель» , 2004 - 495с.

4.      Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. 4-е изд. - М.: Высшая школа, 1966 - 460 с.

5.      Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Том 2 -М. :Наука, 1985. - 560с.

6.      Справочник по математике для экономистов/В.Е. Барбаумов, В.И. Ермаков, Н.Н. Кривенцова и др.; Под ред. В.И. Ермакова. - М.: Высшая школа, 1987. - 336 с.