Функции и их производные

  • Вид работы:
    Контрольная работа
  • Предмет:
    Математика
  • Язык:
    Русский
    ,
    Формат файла:
    MS Word
    75,03 kb
  • Опубликовано:
    2010-09-15
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!

Функции и их производные

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4

ВАРИАНТ 4.3

№ 1.

а) Найти производные от данных функций:


б)

 

Применяем правило нахождения производной произведения функций



в)


№ 2

Дана функция

Найти:

а) координаты вектора grad u в точке А (-1,3,2)

По определению:


б) в точке А в направлении вектора а{2,-6,-3}

По определению:

Величины  найдены в п.а)

Найдем cosб, cosв, cosг.


По формуле получаем:


№ 3.

Дана функция .

Найти y”. Вычислить y”(-1).


№ 4.

Доказать, что функция  удовлетворяет уравнению


подставляем найденные выражения в уравнение, получаем: , что и требовалось доказать.

№5

Найти  если

Вычислить  если .

Воспользуемся формулами нахождения производных для функций, заданных параметрически


№ 6.

Функции задана неявно уравнением

Вычислить:

а)

Вычисления проводим по формуле


б)


№ 7.

На графике функции y=ln2x взята точка А. Касательная к графику в точке А наклонена к оси ОХ под углом, тангенс которого равен ј. Найти абсциссу точки А.

Из геометрического смысла производной  имеем


№ 8.

Найти dy, если у=х6. Вычислить значение dy, если

 

Для  имеем


№ 9.

Дана функция  и точки  и

Вычислить Дz и dz при переходе из точки М0 в точку М1 . Приращение функции Дz равно


Дифференциал функции dz равен


№ 10.

Дана функция . Найти ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке [0;6]. Найдем


Приравниваем числитель к нулю при условии


Решение  отбрасываем.

 совпадает с граничным значением.

Найдем значение функции в точках x=0 и x=6.


Наибольшее значение функции на отрезке [0;6] равно , наименьшее равно 3.


№ 11

Дана функция .

Найти ее наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве, ограниченном прямыми .

Найдем стационарные точки из системы уравнений


Решаем систему уравнений


Сделаем чертеж

На участке границы х=-1 функция z(х,у) превращается в функцию одной переменной


Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на обрезке [-1;2]. Имеем , отсюда . Это значение не принадлежит отрезку [-1;2]. Z(-1)=5. Z(2)=4+6+7=17.

На участке у=-1 получаем


Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке [-1;2]. Имеем , отсюда .

Находим

На участке границы у=1-х получаем функцию


Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на участке [-1;2].


На границах отрезка

Сравниваем все найденные значения функции

видим, что наибольшее значение достигается в точке (2;-1) и равно 23, а наименьшее равно 4 и достигается в точке (0;0).

Ответ: 23;4.

№ 12.

Провести полное исследование функции  и начертить ее график.

1. Найдем область определения функции .

Функция непериодична.

2. Установим наличие симметрии относительно оси OY или начала координат по четности или нечетности функции , симметрии нет.

3. Определим «поведение функции в бесконечности»


4. Точка разрыва х=-2

5. найдем пересечение кривой с осями координат

 т.А (0;2)


Корней нет, нет пересечения с осью OY.

6. Найдем точки максимума и минимума


в точке  производная меняет знак с <-> на <+>, следовательно имеем минимум, в точке  производная меняет знак с <+> на <->, имеем максимум.

При  первая производная отрицательна, следовательно, функция убывает, при  производная положительна, функция в этих промежутках возрастает.

7. Найдем точки перегиба

, точек перегиба нет. При  вогнутость вверх, при , вогнутость вниз.

8. Найдем горизонтальные и наклонные асимптоты в виде , где


Получили асимптоту у=х.

Найдем пересечение кривой с асимптотой

 Точек пересечения нет.

Строим график

Похожие работы на - Функции и их производные

 

Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу
Без плагиата!