Интегрирование в системе Mathcad

Интегрирование в системе Mathcad

Введение

В процессе выполнения домашних заданий по математике большая часть времени у студента уходит на выполнение элементарных действий над числами - сложение, вычитание, извлечение корней, возведение в степень и пр. Эти действия он обычно выполняет на калькуляторе. Однако калькулятор имеет ограниченные возможности вычислений в математике, и не позволяет выполнить задачу полностью, без дополнительных действий в тетради. Решить эту задачу, с необходимыми промежуточными вычислениями и действиями в самой программе, призвана система математических вычислений - Mathcad. Эта система была создана разработчиками как инструмент работы инженеров-расчётчиков, проектировщиков, исследователей. Mathcad создавался как мощный калькулятор, позволяющий решать рутинные задачи инженерной практики, ежедневно встречающиеся в работе. Главными преимуществами Mathcad перед другими расчётными средами являются наглядность и легкость программирования задачи, отображение сложных математических выражений в том виде, в каком они обычно оформляются на листе бумаги. Именно поэтому при подготовке высококвалифицированных специалистов в МордГПИ им. М.Е. Евсевьева по специальности «математика с доп. спец. информатика» введено преподавание системы Mathcad, наравне с другими общетехническими дисциплинами.

.       
Первообразная и неопределённый интеграл

1.1    Основные понятия и определения раздела

Прежде чем перейти к вычислению неопределённых интегралов в системе Mathcad, необходимо вспомнить основные понятия и определения, касающиеся данного раздела курса математики.

Функция  называется первообразной для функции  на интервале  (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала  является производной для , т.е.

Из этого определения следует, что задача нахождения первообразной обратна задаче дифференцирования. Необходимо по заданной функции  найти функцию , производная которой равна .

Первообразная определена неоднозначно: например для функции  первообразными будут и функция , и функция .

Операция интегрирования обратна операции дифференцирования. В методических указаниях по работе в системе Mathcad для первого курса было показано, каким образом можно осуществить операцию дифференцирования. Необходимо напомнить, что наравне с операцией символьного дифференцирования, когда результатом вычисления производной была функция от одной или нескольких переменных, существует также операция численного дифференцирования, т.е. вычисление производной какой-то функции в точке. В определённых задачах такой способ бывает предпочтительней - так как нет необходимости знать скорость изменения какой-то функции в зависимости от времени. Достаточно знать скорость изменения этой функции в определённый момент времени.

Хочется также напомнить, что при выполнении каких-либо действий с исследованием функций, вычисления производных и прочее, рекомендуется всегда строить её график. Это во многом способствует лучшему пониманию материала, а главное - смысла исследования функции.

1.2    Описание вычисления неопределенного интеграла в системе Mathcad

Для вычисления неопределённого интеграла на панели Матанализ используется оператор Неопределённый интеграл, значок которого полностью соответствует применяемому значку интеграла в математике. При нажатии на этот значок на рабочем столе системы Mathcad появится шаблон, который необходимо будет заполнить для вычисления неопределённого интеграла функции.

При нажатии на значок на рабочем столе системы Mathcad появится шаблон, который необходимо будет заполнить для вычисления неопределённого интеграла функции. В чёрный квадратик, который располагается между знаком интеграла и символом «d» необходимо вписать имя функции вместе с переменной, от которой эта функция зависит. На это место можно вписывать либо непосредственно имя функции или саму функцию. Во второй черный квадратик необходимо вписать переменную, по которой будет происходить интегрирование заданной функции. Для получения результата необходимо воспользоваться командой Символьный знак равенства, который располагается на панели Вычисления.

1.3    Рассмотрение свойств неопределенного интеграла

Для примера вычислим интеграл от тригонометрических функций.

Вычисление неопределённого интеграла от тригонометрических функций.

Далее на примере работы в системе Mathcad рассмотрим несколько свойств неопределённого интеграла. Необходимо вспомнить таблицу неопределенных интегралов, а также свойства неопределённого интеграла, непосредственно следующего из определения. Это свойство отражает то, что операция интегрирования обратна операции дифференцирования, и наоборот, операция дифференцирования обратна операции интегрирования.

Демонстрация в системе Mathcad одного из свойств интегрирования и дифференцирования.

На следующем примере продемонстрируем одно отличительное свойство вычисления определённого интеграла в системе Mathcad. Из курса математики известно, что

 и .

Однако при вычислении этих же интегралов в системе Mathcad мы получим:

Вычисление неопределённого интеграла в системе Mathcad от «0» и «1».

Как и в этом случае, так и в случае вычисления неопределённого интеграла от  и от  Mathcad не выдаёт константу C. Это объясняется тем, что для Mathcad воспринимает её как переменную, поэтому это всегда надо учитывать, когда в дальнейшем будут решаться задачи связанные с дифференциальными уравнениями, где будут существовать начальные условия. На следующих примерах посмотрим, как при помощи системы Mathcad можно продемонстрировать другие свойства неопределённого интеграла. Для примера возьмём интегрирование показательной и степенной функций.

Из курса математики известно, что = + C и .

1.4    Примеры вычисления неопределенного интеграла и первообразной

Далее приведём примеры вычисления этих функций в системе Mathcad.

Для степенной функции в общем и частном видах (необходимо также обратить внимание на то, что Mathcad не выдаёт константу интегрирования).

Пример вычисления неопределённого интеграла от степенной функции в общем и частном видах.

Для показательной функции в общем и частном видах.

Пример вычисления неопределённого интеграла от показательной функции в общем и частном видах.

Приведём пример ещё нескольких наиболее распространённых функций из таблицы неопределённых интегралов, которые наиболее часто встречаются в задачах.

Пример вычисления неопределённого интеграла от дробной функции.

Здесь стоит обратить внимание на то, что константа а, которая располагается в подынтегральной функции, необязательно должна иметь квадратную степень. Например, если стоит константа 4, то её можно представить, как . Если же стоит константа 3, то её можно представить как (. Аналогично и с другими табличными значениями интегралов.

Приведём ещё несколько примеров.

Примеры вычисления неопределённых интегралов в системе Mathcad.

Следует помнить, что Mathcad не всегда корректно может вычислить неопределённый интеграл в общем виде, однако в частном случае вычисление будет произведено верно.

«Некорректное» вычисление неопределённого интеграла в общем виде. Появляется комплексная составляющая.

Фактически операция вычисления неопределенного интеграла является бесполезной, и предназначена только для того, чтобы увидеть, как собственно выглядит первообразная для данной функции. Это объясняется тем, что невозможно вычислить какое-то значение у получившейся функции, не говоря уже о том, что невозможно будет построить график этой функции. Всё это делает операцию символьного дифференцирования, показательной операцией, чтобы просто «воочию увидеть» первообразную от заданной функции. Такой способ вычисления интеграла, когда из панели Матанализ вызывается оператор Неопределённый интеграл, после чего вписывается подынтегральная функция и при помощи символьного знака равенства выводится результат вычисления, является достаточно редким и при больших расчётах применяется только как проверочный способ. В большинстве случаев необходимо вычислить как неопределённый, так и определённый интеграл от функции, которая была уже задана ранее, причём результат вычисления неопределённого интеграла необходимо также записать в функцию и при дальнейших расчётах найти значение этой функции в какой-либо точке или построить её график. Ниже приведу пример, который иллюстрирует, каким образом, вычисляется неопределённый интеграл от функции, которая была задана ранее и как результат вычисления записывается в функцию.

Пример вычисления неопределённого интеграла от функции, заданной ранее.

Приведу ещё один пример.

Пример вычисления неопределённого интеграла от более сложной функции, заданной ранее.

Помимо необходимости вычисления интеграла от функции, которая была задана ранее, а также необходимости записи результата вычисления в функцию, существует также необходимость нахождения значения результирующей функции в какой-либо точке.

Рассмотрим следующий пример.

Пример вычисления значения результирующей функции в какой-либо точке.

Обратите внимание на следующее. Для того чтобы вычислить значение функции в какой-либо точке, необходимо произвести вычисление в качестве «символьного вычисления». При этом Mathcad может выдавать значения типа  или  и прочее, т.е. не выводя само число. Поэтому для того, чтобы получить сам результат, необходимо скопировать выражение символьного результата при помощи оператора Вычислить численно на панели Калькулятор и получить это число, как показано на примере выше. Помимо того, что данные могут вноситься непосредственно вместо переменной в результирующей функции, также можно задаваться переменные, которые уже заранее содержат численные значения. Их можно использовать для вычисления значения функции, как подынтегральной, так и функции, которая является результатом интегрирования подынтегральной функции.

На следующем примере разберём этот случай.

Пример вычисления значения функции от переменной, заданной выше.

На рисунке ниже показано, что Mathcad «отказывается» строить график первообразной функции. Как построить график первообразной функции разберём в разделе «Определённый интеграл».

Mathcad «отказывается» строить график первообразной функции. Для построения графика см. раздел «Определённый интеграл».

Помимо того, что приходится вычислять неопределённые интегралы от функции одной переменной, в большинстве как математических, так и инженерных задач приходится вычислять как неопределенные, так и определенные интегралы функции нескольких переменных. Приведем несколько примеров на вычисление интегралов от функции нескольких переменных.

Пример вычисления неопределенного интеграла от функции двух переменных.

Пример вычисления неопределённого интеграла от функции трёх переменных.

Зачастую, помимо того, что есть необходимость вычислять неопределённый интеграл от функции нескольких переменных, также существует необходимость вычислять значения первообразной нескольких переменных в заданной точке.

Приведем ниже пример такого вычисления.

Мы разобрали возможности системы Mathcad для вычисления неопределенных интегралов. В следующем разделе будут приведены примеры вычисления неопределённых интегралов в системе Mathcad.

2. Вычисление неопределённых интегралов

В курсе математики были изучены такие способы нахождения неопределённого интеграла, как непосредственное подведение функции под знак дифференциала, непосредственная замена переменной, метод интегрирования по частям. Также были показаны способы интегрирования рациональных дробей типа  и интегрирование тригонометрических выражений.

Задача этого раздела - показать, как можно при помощи системы Mathcad вычислять интегралы сложных функций, а также применять различные способы интегрирования в системе Mathcad.

2.1 Способ непосредственного подведения функций под знак дифференциала

Первый способ, который следует разобрать - это непосредственное подведение функции под знак дифференциала.

Если интеграл имеет вид , то замена переменной осуществляется подведением множителя t'(x) под знак дифференциала: t'(x)=dt, и задача сводится к вычислению интеграла .

Откуда А = 1, В = 1.

5) Таким образом, исходный интеграл разбивается на два простых:

В Mathcad он может быть решён в одно действие.

Пример вычисления неопределённого интеграла.

Однако необходимо любые вычисления сопровождать проверкой. Поэтому этот пример может быть выполнен следующим образом:

Пример вычисления неопределённого интеграла.

Может получиться так, что Mathcad не сможет взять интеграл от этого выражения и выдаст ошибку - т.е. не будет считать. Тогда для того, чтобы избавиться от ненужных вычислений «на бумаге» можно применять систему Mathcad непосредственно как обычный калькулятор. К примеру, уравнение

можно решить при помощи пары операторов Given - Find. В Mathcad это может выглядеть следующим образом.

Пример решения квадратного уравнения в Mathcad.

В следующем примере рассмотрим интегрирование тригонометрических выражений.

Проинтегрируем выражение .

Пример интегрирования тригонометрического выражения.

Обратите внимание на этот пример: после проверки исходной подынтегральной функции не получилось, даже после упрощения полученного выражения - функции g(x). Поэтому для того, чтобы проверить правильность полученного значения неопределённого, необходимо построить графики исходной функции f (x) и проверочной функции g(x).

Проверка правильности вычисления неопределённого интеграла.

Поскольку графики данных функций совпадают, то можно считать, что интеграл был взят системой Mathcad верно, несмотря на то, что при проверке результатов было получено совсем другое выражение.

В данном разделе была поставлена цель показать, как при помощи системы Mathcad могут быть решены относительно сложные задачи по вычислению неопределённых интегралов и какие сложности могут встречаться при их вычислении.

После того, как были разобраны неопределённые интегралы, перейдём к изучению определённых интегралов.

.       
Определённый интеграл

3.1 Вычисление определенного интеграла в системе Mathcad

Вычисление определенного интеграла в системе Mathcad.

В предыдущих разделах было показано, каким образом можно при помощи системы Mathcad вычислять неопределённые интегралы. Как было сказано выше, процедура вычисления неопределённого интеграла сводится к вычислению первообразной функции и не несёт в себе большой смысловой нагрузки.

Теперь перейдем к применению системы Mathcad для вычисления определённого интеграла.

Разберём пример.

Вычислим площадь под синусоидой (вычисление определённого интеграла):

Вычислим площадь под параболой (вычисление определённого интеграла):

Прежде чем перейти к инструменту системы Mathcad для вычисления определённого интеграла, давайте посмотрим, каким образом, основываясь на определении определённого интеграла по Ньютону-Лейбницу, можно вычислить определённый интеграл.

Вычисление определённого интеграла средствами неопределённого интеграла.

Аналогичный пример рассмотрим со степенной функцией.

Вычисление определённого интеграла средствами неопределённого интеграла.

Хочется обратить ваше внимание на подчеркивание функции F(x), как в первом, так и во втором примере. Это подчеркивание связано не с ошибкой, которая возникает в процессе вычисления в системе Mathcad, а с тем, что данная функция была либо определена и использована ранее (имеется в виду её идентификатор, название функции), либо переопределяет какую-то внутреннюю функцию системы, т.е. ведётся её перезапись.

А теперь познакомимся собственно с возможностями системы Mathcad по вычислению определённого интеграла. Для того, чтобы вызвать оператор вычисления определённого интеграла, необходимо на панели Исчисления найти значок Определённый интеграл. После его нажатия на экране системы появится следующий символ.

Значок определённого интеграла.

Его основные отличия от значка неопределённого интеграла заключаются в том, что в нём есть черные квадратики для внесения туда пределов интегрирования. Соответственно верхний значок - это верхний предел интегрирования, нижний значок - это нижний предел интегрирования. Например, выражения, которые были вычислены ранее при помощи неопределённого интеграла, могут быть вычислены при помощи определённого интеграла следующим образом.

Пример вычисления определённого интеграла.

Необходимо обратить внимание на следующую вещь. Для того, чтобы получить результат в неопределённом интеграле, необходимо было использовать оператор Символьное вычисление, который располагается на панели Символьная. Это было сделано для того, чтобы при вычислении неопределённого интеграла результат был выдан в виде функции, т.е. был выдан символьный результат. Однако в случае определённого интеграла мы получаем численное значение. Поэтому для получения результата необходимо использовать оператор Вычислить численно, который располагается на панели Калькулятор. Однако это не исключает возможность использования оператора Символьное вычисление, который располагается на панели Символьная при решении численных задач.

Обратим внимание на следующий пример.

Применение символьного оператора для вычисления числовых значений.

Иногда полезно получать результат вычисления именно в таком виде, нежели в числовом. Смотрите пример ниже.

Применение численного оператора.

Далее рассмотрим основные свойства определённого интеграла и докажем их на примере вычислений в системе Mathcad.

3.2 Первое свойство определенного интеграла

Константу можно выносить за знак определенного интеграла

.

Данное свойство можно пояснить на примере вычисления в системе Mathcad определённого интеграла, например, от степенной функции

Демонстрация первого свойства определённого интеграла.

Обратите внимание в этом примере, что результат нахождения определённого интеграла можно записать в переменную и в дальнейшем применять её для расчётов.

3.3 Второе свойство определенного интеграла

Демонстрация второго свойства определённого интеграла.

Если обращать внимание на синтаксис записи определённого интеграла в системе Mathcad, то также справедлива следующая запись.

Демонстрация второго свойства определённого интеграла.

3.4 Третье свойство определенного интеграла

Если f (x) интегрируема по отрезку [a, b] и точка c принадлежит этому отрезку, то

В системе Mathcad это может выглядеть следующим образом.

Демонстрация третьего свойства определённого интеграла.

Помимо демонстрации третьего свойства определённого интеграла, здесь также можно обратить внимание на то, что сами пределы интегрирования могут задаваться непосредственно через переменную, которая была определена выше или значение которой было получено как результат вычисления каких-либо выражений.

3.5 Четвертое свойство определенного интеграла

Смена знака равносильна смене пределов интегрирования

Докажем это при помощи системы Mathcad.

Демонстрация четвёртого свойства определённого интеграла.

После того как были даны основные определения определённого интеграла, а также разобраны примеры о том, как работает с определёнными интегралами система Mathcad, перейдём непосредственно к приложению определённого интеграла.

4.      
Приложение определённого интеграла

4.1 Теория

Один из ярких примеров применения определённого интеграла, следующий из определения, которое было дано выше, - это вычисление площадей фигур. Это приложение относится к геометрическому смыслу определённого интеграла. Вспомним теорию.

Пусть f (x) и g(x) - две непрерывные функции, заданные на отрезке [a; b], причём f (x) g(x) при всех x[a; b]. Между графиками y = f (x) и y = g(x) лежит область D, с боков ограниченная отрезками прямых x = a и x = b.

Если обе функции неотрицательны, то есть f (x)  0, то для вычисления площади области D достаточно заметить, что она равна разности площадей областей  и , лежащих между отрезком [a; b] (снизу) и, соответственно, графиком y = g(x) и y = f (x) (сверху). Для нахождения площадей областей  и  применим формулу Ньютона-Лейбница и получим:

4.2 Примеры нахождения площади под кривой в системе Mathcad

Для степенной функции.

Вычисление площади под кривой при помощи определённого интеграла.

Однако для того, чтобы процедура вычисления определённого интеграла была более наглядна, т.е. чтобы можно было визуально увидеть ту площадь, которая вычисляется, Mathcad предоставляет такую возможность визуализации. Смотрите пример ниже.

Визуализация геометрической трактовки определённого интеграла.

Заштрихованная площадь соответствует той площади, которую вычисляет определённый интеграл. Другими словами, заштрихованная площадь на приведённом выше рисунке равна A = 4,174.

Этот пример наглядно показывает, какую площадь и между какими интервалами вычисляет определённый интеграл. В данном случае пределами, как интегрирования, так и пределами для построения площади являются числа a и b. При изменении их значения буде меняться пределы интегрирования, а также будет меняться заштрихованная область на рисунке.

Теперь давайте вспомнить из курса математики, что если график функции находится выше оси Ox, т.е. функция на всем промежутке интегрирования принимает положительные значения, то интеграл получается положительным. Если же график функции располагается ниже оси Ox, т.е. функция на всем промежутке интегрирования принимает отрицательные значения, то интеграл получится отрицательным. Если на всем промежутке интегрирования функция принимает как положительные, так и отрицательные значения, то числовое значение определённого интеграла будет складываться из «положительной» части интеграла и его «отрицательной» части. Наглядно это может демонстрировать следующий пример. Сравните его с предыдущим.

Визуализация геометрической трактовки определённого интеграла.

В данном случае при изменении пределов интегрирования меняется и значение этого интеграла. Несмотря на то, что заштрихованная площадь стала больше, само значение интеграла стало меньше, чем в предыдущем примере.

Может получиться и так, что значение определённого интеграла будет нулевым. Такое обычно происходит, когда функция периодическая и пределы интегрирования для неё заданы симметрично.

Пример интегрирования тригонометрической функции.

4.3 Рассмотрение некоторых простых физических приложений интеграла

Если тело в период времени с  по  имеет скорость v(t) (скорость меняется со временем), тогда перемещение (расстояние между начальной и конченой точкой маршрута) будет вычисляться по формуле:

Таким образом, скорость является производной перемещения, а перемещение - интегралом от скорости.

Путь тела (длина траектории или то расстояние, которое фактически проехало) вычисляется по следующей формуле:

.

Если скорость тела не меняет знака (тело движется в одном направлении), то его путь и перемещение совпадают.

Разберём следующий пример:

Скорость тела меняется по закону (м/с).

Определить перемещение и путь тела за первые 6 и 9 секунд. Решение этой задачи может выглядеть следующим образом.

Решение задачи на нахождение перемещения и пройденного пути по заданной формуле скорости движения тела.

Таким образом, в момент времени  тело начинает двигаться в обратном направлении. При этом перемещение начинается уменьшаться - как это видно из графика зависимости изменения скорости от времени. Однако само перемещение - т.е. пройденный путь постоянно увеличивается. Данные результаты вычисления достигаются вводом в подынтегральную функцию знака модуля.

первообразный mathcad интегрирование дифференциал

Заключение

В данной курсовой работе я разобрал возможности системы Mathcad для вычисления неопределенных, определенных и несобственных интегралов.

Мною была поставлена цель показать, как при помощи системы Mathcad могут быть решены относительно сложные задачи по вычислению интегралов и какие сложности могут встречаться при их вычислении.

Были даны основные определения интегралов, а также разобраны примеры о том, как работает с интегралами система Mathcad.

Список источников

1.   Денисов-Винский Н.Д. Mathcad при решении задач по курсу Математика. I курс. - М.: МИЭЭ, 2009, 132 с.

2.       Макаров Е.Г. Mathcad: Учебный курс (+CD). - СПб.: Питер, 2009 - 384 с.: ил.

.        Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad: математический практикум для экономистов и инженеров: Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 1999. - 656 с.: ил.

.        Сеидова С-Ф.Г. Решение задач высшей математики при помощи системы Mathcad. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008.

.        Мажухин В.И., Королева О.Н. Математическое моделирование в экономике.

.        Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на баз Mathcad. - СПб.: БХВ - Петербург, 2005. - 465.: ил.

.        Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Вычислительные методы для инженеров. - М.: Высшая школа, 1994.

.        Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Численные методы. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.