Спектральный анализ

Спектральный анализ

Пользуясь парой интегральных преобразований Фурье, вычислить и изобразить на спектральной диаграмме спектр периодического процесса с амплитудой А и частотой w₀ (a(t)=Acosw₀t)

                                                                        (1)

,

Вычислить и изобразить амплитудный и фазовый спектры периодического импульсного процесса в виде прямоугольных импульсов амплитудой А, длительностью t и периодом Т.

Будем использовать пару преобразований Фурье в симметричной форме:

используем свойство

()

Умножим числитель и знаменатель на  , тогда получим

, ,

Вычислить и изобразить спектральную плотность одиночного прямоугольного импульса амплитудой А и длительностью t

Пусть данный сигнал располагается симметрично относительно начала отчета времени.

комплексная спектральная плотность

Спектральная плотность рассматриваемого сигнала есть вещественная функция частоты.

Удобно ввести безразмерную переменную  , и окончательно представим результат так:

                                                                         (2)

Отметим, что значение спектральной плотности на нулевой частоте равно площади импульса:

спектральный амплитуда частота фазовый

Вычислить и изобразить амплитудный спектр периодического процесса в виде отрезков синусоидальных колебаний амплитудой А, частотой w₀ и длительностью t (радиоимпульсов), следующих с периодом Т

Найдем спектральную плотность одиночного радиоимпульса, который получится путем произведения одиночного прямоугольного импульса длительностью  и амплитудой А = 1 на косинусоиду с частотой  и амплитудой А.

В соответствии со свойством преобразования Фурье о смещении спектра колебаний:

,

где  - спектр одиночного прямоугольного импульса

,

Для описания периодической последовательности радиоимпульсов с периодом Т, воспользуемся свойством преобразования Фурье при переходе от непрерывного спектра к дискретному:

Воспользовавшись тригонометрическими соотношениями последнее выражение можно привести к виду:

Изобразить амплитудный спектр суммы сигналов, спектры которых вычислены в задачах 1.1 и 1.2

Т.к. преобразование Фурье линейно, то спектр линейной комбинации сигналов представляет собой линейную комбинацию их спектров

, т.е.

, где

Вычислить и изобразить спектр амплитудно-манипулированного сигнала. Амплитудно-манипулированный сигнал (АМ) рассматривать как произведение гармонического колебания a₁(t)=Acosw₀t и сигнала а₂(t) в виде периодической последовательности прямоугольных импульсов с единичной амплитудой.

Если a₂(t) - функция, в каждый момент времени принимающая значение либо 0, либо 1, то амплитудно-манипулированный сигнал представляется в виде:

                                                            (3)

Считая, что амплитуда этих импульсов равна 1, на основании (3) имеем:

где q - скважность последовательности.

Вычислить и изобразить спектр фазоманипулированного сигнала. Фазоманипулированный сигнал (ФМ) представляет собой последовательность радиоимпульсов, имеющих одинаковую амплитуду А и длительность - t, отличающихся по фазе на p. Его целесообразно рассматривать как сумму двух АМ сигналов

Т.к. при смещении функции времени относительно начала координат, изменяется лишь фазовый спектр, а амплитудный не меняется, т.е. , то воспользовавшись тем, что преобразование Фурье линейно, а также тем, что для получения амплитудно-манипулированных сигналов необходимо сдвинуть спектры на ±w по оси частот. Получаем:

спектр АМ сигнала: прямоугольного и

спектр АМ сигнала: прямоугольного и

·   спектр фазоманипулированного сигнала.

Вычислить и изобразить спектры продифференцированной импульсной последовательности с параметрами из задачи 1.2.

Спектр исходной импульсной последовательности:

Воспользуемся свойством преобразования при дифференцировании функции времени:

Вычислите и изобразите спектр сигнала, построенного следующим образом. Записать четырёхразрядным двоичным числом n=5. Постройте периодический сигнал с периодом Т=4pt, где t означает длительность символа двоичного кода. Логическую единицу представьте напряжением +1В, логический нуль напряжением -1В. Длительность символа примите равной 1 мкс

Запишем число n = 5 четырехразрядным двоичным числом: n = 0101.

Данный сигнал можно представить в виде:

,                

Данный сигнал можно представить как сумму двух периодических последовательностей сдвинутых друг относительно друга по оси времени. Для этого воспользуемся свойством преобразования Фурье:

 и

Не проводя вычислений, в общей форме получим для амплитудного спектра:

Подставляя числовые значения получим: