Решение дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений

Контрольная работа №2

Вариант 4

Анастасия Рафальская

.02.11

Задача 1

Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде

Разделяем переменные:

Теперь интегрируем обе части полученного равенства:

Это и есть искомое общее решение уравнения.

Задача 2

Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее указанному начальному условию.

Решение. Перепишем исходное уравнение в виде

а искомую функцию  представим в виде произведения двух других: . Тогда

Или

В этом случае исходное уравнение сводится к виду

Интегрируя, получаем

А решение исходного уравнения примет вид:

. (*)

Выберем константу в (*) так, чтобы выполнялось дополнительное условие .

Следовательно, .

Таким образом, искомое частное решение имеет вид:

Задача 3

Вычислить определенный интеграл  с точностью до 0.001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

Решение. В разложении функции  в степенной ряд

заменим x на . Тогда получим

Умножая этот ряд почленно на , будем иметь

Следовательно,

Полученный числовой знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница. Восьмой член этого ряда по абсолютной величине меньше , поэтому для обеспечения требуемой точности нужно просуммировать первые семь членов ряда и результат округлить до 0,001. Итак,

Задача 4

Студент знает ответы на 15 из 20 вопросов программы. Какова вероятность того, что он знает ответы на все три вопроса, предложенные экзаменатором.

Решение. Рассмотрим события:

{студент знает ответ на первый вопрос};

{студент знает ответ на второй вопрос};

{студент знает ответ на третий вопрос}.

Тогда

Вероятность того, что второй вопрос окажется для студента известным, при условии, что он смог правильно ответить на первый вопрос, т. е. условная вероятность события , равна

Вероятность того, что третьим будет отобран знакомый вопрос, при условии, что уже отобраны два знакомых вопроса, т. е. условная вероятность события , равна

Искомая вероятность того, что все три вопроса окажутся ответными, равна

Задача 5

В группе из 18 студентов имеется 5 отличников. Выбираются наудачу три студента. Какова вероятность того, что все они отличники?

Решение. Рассмотрим события:

{первый студент является отличником};

{второй студент является отличником};

{третий студент является отличником}.

Тогда

Вероятность того, что второй студент окажется отличником, при условии, что первый студент оказался отличником, т. е. условная вероятность события , равна

Вероятность того, что третьим будет отобран отличник, при условии, что уже отобраны два отличника, т. е. условная вероятность события , равна

Искомая вероятность того, что все три отобранных студента окажутся отличниками, равна

Задача 6

Дана вероятность  того, что семя злака прорастет. Найти вероятность того, что

а) из  семян прорастет ровно ;

б) из  семян прорастет ровно ;

в) из  семян прорастет не менее , но не более .

Решение.

А) Пусть событие { из  семян прорастет ровно }; Вероятность  можно определить по формуле Бернулли

где  - число сочетаний из  элементов по .

В нашем примере искомая вероятность события A

Б) Вычислить искомую вероятность  по формуле Бернулли затруднительно из-за громоздкости вычислений. Поэтому применим приближенную формулу, выражающую локальную теорему Лапласа:

где .

Из условия задачи

.

Тогда .

Далее находим .

Искомая вероятность равна

В) Вероятность  того, что событие  в таких испытаниях наступит не менее  раз и не более  раз определяется по интегральной теореме Лапласа следующей формулой:

где .

функция Лапласа.

По условию задачи  . Из приведенных выше формул находим  и :

Тогда

Задача 7

Задан закон распределения двух независимых случайных величин  и . Требуется найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Решение. Найдем сначала математические ожидания и дисперсии случайных величин  и  (для вычисления дисперсий воспользуемся универсальной формулой):

Теперь, воспользовавшись свойствами математического ожидания и дисперсии, а также условием независимости случайных величин  и , получаем математическое ожидание

и дисперсию

Задача 8

Непрерывная случайная величиназадана интегральной функцией распределения

.

Найти:

) дифференциальную функцию распределения (плотность вероятностей);

) математическое ожидание ;

) дисперсию и с.к.о. .

Построить графики  и .

Решение.

) Дифференциальной функцией распределения  непрерывной случайной величины  называется производная от интегральной функции распределения , то есть .

Искомая дифференциальная функция имеет следующий вид:

) Если непрерывная случайная величина  задана плотностью вероятностей , то ее математическое ожидание определяется формулой

Так как в нашем случае функция  при  и при  равна нулю, то из последней формулы имеем

) Дисперсию  определим, например, по формуле

Тогда

Отсюда имеем:

Строим графики

и

Задача 9

Контролируемый размер деталей, выпускаемых цехом, распределен по нормальному закону. Стандартная величина размера детали (математическое ожидание) равна 30 мм, среднее квадратичное отклонение размера составляет 3 мм.

Требуется найти:

) вероятность того, что размер наудачу взятой детали будет больше 24 мм, но меньше 33 мм;

) вероятность того, что размер детали отклонится от стандартной величины не более чем на 1,5 мм;

) диапазон изменения размера детали.

Решение.

1) Пусть  – длина детали. Если случайная величина  задана дифференциальной функцией , то вероятность того, что  примет значения, принадлежащие промежутку , определяется по формуле

Если , то

где - функция Лапласа, .

У нас , то есть

) Если , то

По условию задачи , поэтому из последней формулы получаем

3) Для нахождения диапазона изменения длины детали воспользуемся правилом "3s":

если , то .

В рассматриваемом примере имеем

.

Задача 10

Признак  представлен таблицей, которая является выборкой его значений, полученных в результате 100 независимых наблюдений. Требуется:

1. Составить интервальное выборочное распределение.

. Построить гистограмму относительных частот.

. Перейти от составленного интервального к точечному выборочному распределению, взяв при этом за значения признака середины частичных интервалов.

. Построить полигон относительных частот.

5. Вычислить все точечные выборочные оценки числовых характеристик признака: выборочное среднее ; выборочную дисперсию  и исправленную выборочную дисперсию ; выборочное среднее квадратичное отклонение  и исправленное выборочное с.к.o. .

. Считая первый столбец таблицы выборкой значений нормально распределенного признака , построить доверительные интервалы, покрывающие неизвестные математическое ожидание и дисперсию этого признака с надежностью .

Решение.

1) Построим интервальное выборочное распределение значений признака. Для этого сначала отметим, что у нас , , поэтому размах выборочных значений

.

Теперь определим длину  каждого частичного интервала (их также называют классовыми интервалами), воспользовавшись формулой Стерджеса

,

где  – объем выборки. В рассматриваемом примере

Далее устанавливаем границы частичных интервалов: левую границу первого интервала принимаем равной , далее полагаем , ,…, . На этом указанная процедура заканчивается, т.к. последующие частичные интервалы не будут содержать выборочных значений признака.

Приступаем к распределению по частичным интервалам выборочных значений признака, ставя в соответствие интервалу с номером  частоту  как число выборочных значений признака, попавших в интервал. При этом договоримся, что если некоторое из выборочных значений совпадет с границей двух соседних интервалов, то будем относить его к предыдущему из них.

В итоге реализации данных рекомендаций получим таблицу 2, в первых двух столбцах которой разместим искомое интервальное распределение выборки, в третьем - относительные частоты , а в последнем четвертом - плотности распределения относительных частот на частичных интервалах: (величины  и  нам потребуются в дальнейшем).

Таблица 1

) Строим гистограмму относительных частот в нашем примере, используя при этом первый и последний столбцы таблицы 1.

Гистограмма относительных частот

) Перейдем от интервального распределения выборки к точечному (дискретному) распределению, взяв за новые выборочные значения признака середины частичных интервалов. В рассматриваемом примере такое распределение, очевидно, имеет вид следующей таблицы 2.

Таблица 2

4) По полученной таблице 2 может быть построен полигон относительных частот, который является, как и гистограмма относительных частот, статистической оценкой кривой распределения признака. Это ломаная линия, вершины которой находятся в точках . В рассматриваемом случае в соответствии с первой строкой таблицы 2 и третьим столбцом таблицы 1 полигон относительных частот имеет следующий вид.

Полигон относительных частот

5) Определим теперь основные числовые характеристиками признака , такие как математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение (с.к.o.). Точечными выборочными оценками этих параметров служат соответственно выборочное среднее , выборочная дисперсия  и исправленная выборочная дисперсия , выборочное с.к.o.  и исправленное выборочное с.к.o. , которые вычисляются по формулам

;

, где ;

;

; ,

где  – выборочные значения признака ,  – частоты этих значений,  – объем выборки.

Воспользовавшись перечисленными формулами, найдем точечные выборочные оценки генеральных параметров распределения признака , используя при этом данные из таблицы 3.

.

. Выборочная дисперсия:

.

5.  ;

) Для нормально распределенного признака  (первый столбец исходной таблицы), представленного выборкой объема , доверительные интервалы, покрывающие с надежностью  его неизвестные математическое ожидание  и дисперсию , имеют соответственно вид

, ; (1)

. (2)

Величины  и  являются критическими точками распределения. Их находят в зависимости от числа степеней свободы , а также уровней значимости  и  соответственно. При заданных условиях имеем

;

Погрешность математического ожидания при заданной надежности

Таким образом, доверительный интервал для математического ожидания при заданной надежности

Доверительный интервал неизвестной дисперсии , имеют соответственно вид

Задача 11

Даны таблицы с выборками пар значений признаков  и .

. Вычислить выборочный коэффициент корреляции  и сделать выводы о тесноте и направлении линейной корреляционной зависимости между признаками X и Y.

. При уровне значимости  проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции.

. Составить выборочное уравнение прямой регрессии Y на X, построить полученную прямую в системе координат вместе с исходными данными и дать оценку качества регрессии, основываясь на визуальных соображениях.

. Вычислить коэффициент детерминации  и оценить качество регрессии.

. При уровне значимости  оценить значимость регрессии с помощью критерия Фишера.

. При уровне значимости  получить доверительные интервалы для оценки генеральных параметров регрессии и сделать выводы об их значимости, а также о значимости регрессии.

Решение.

1. Проводим вычисление выборочного коэффициента корреляции:

Таким образом, линейная корреляционная зависимость сильная, прямая (положительная).

. Проверяем значимость коэффициента корреляции.

Вычисляем ошибку репрезентативности:

.

Находим  и (по таблицам приложения 6):

.

Так как , то при уровне значимости  можно утверждать достоверность коэффициента корреляции (значимость отличия от нуля), т.е. линейная корреляционная зависимость между рассматриваемыми признаками существует не только в выборочной, но и в генеральной совокупности.

. Подставляем полученные результаты в выборочное уравнение прямой регрессии

и получаем

или после простых преобразований

.

Построим и проанализировать график прямой и исходных данных.

Прямая регрессии, построенная в системе координат вместе с исходными данными в виде точек той же плоскости, хорошо «притягивает» эти точки, что свидетельствует о достаточно сильной корреляционной зависимости исходных данных.

. Находим модельные значения  () отклика Y, присоединив их к таблице исходных данных:

Теперь вычисляем

.

.

Полученное значение коэффициента детерминации  близко к 1, поэтому полученное выборочное уравнение прямой регрессии хорошо (адекватно) объясняет отклик Y.

. Исследуем зависимость с помощью критерия Фишера:

;

.

Находим по таблицам приложения 7

.

Так как , гипотеза  отвергается и регрессия признается значимой с 95% уровнем надежности.

. Теперь построим доверительные интервалы, покрывающие генеральные параметры регрессии и оценим значимость этих параметров.

Вычисляем

.

Подставляем полученные результаты в формулы для интервалов

,

В результате получаем доверительные интервалы, покрывающие генеральные параметры  регрессии с надежностью

Тот факт, что доверительный интервал для генерального коэффициента регрессии  не содержит нулевое значение, еще раз подтверждает гипотезу о значимости регрессии.

Задача 12

На предприятии имеется сырье видов I, II, III. Из него можно изготавливать изделия типов А и В. Пусть запасы видов сырья на предприятии составляют , ,  ед. соответственно, изделие типа А дает прибыль  ден. ед., а изделие типа В -  ден. ед. Расход сырья на изготовление одного изделия задан в условных единицах таблицей.

Составить план выпуска изделий, при котором предприятие имеет наибольшую прибыль. Решить задачу графически и симплексным методом.

Решение.

1. Составим математическую модель задачи. Обозначим:  - количество выпускаемых изделий типа ,  - количество выпускаемых изделий типа . Тогда с учетом расходов сырья на изготовление изделия каждого типа получим следующие ограничения на  и , учитывающие запасы сырья каждого вида:

 (1)

По смыслу задачи

 (2)

Прибыль  предприятия при плане ,  равна

. (3)

Итак, математическая модель задачи получена: необходимо найти значения , , удовлетворяющие неравенствам (1), (2), для которых функция (3) достигает max. Полученная задача - стандартная задача линейного программирования.

. Решим полученную задачу графически. Для этого введем систему координат  и изобразим в ней множество решений систем неравенств (1), (2) (область допустимых решений - ОДР) в виде множества точек плоскости.

Условию (2) удовлетворяют точки первой четверти. Для получения полуплоскостей, соответствующих неравенствам системы (1), построим их границы, т.е. прямые линии:

(а)          

(б)          

(в)          

,333

Пересечение построенных полуплоскостей с первой четвертью - искомая ОДР (многоугольник OABCD).

Ищем координаты вершин ОДР и значения целевой функции F в этих вершинах:

;

;

;

;

.

Отсюда

Вывод: предприятию выгодно выпустить 17 изделий типа B () и не выпускать изделия типа A (). При этом его прибыль будет наибольшая и составит 34 ден. ед. Такая же прибыль будет получена при выпуске 6 изделий типа A и 14 изделий типа B. Такая же прибыль получается при любых реализациях , расположенных на отрезке AB:

. Решим задачу симплексным методом. Для этого приведем стандартную задачу к каноническому виду, добавив в левые части неравенств (1) дополнительные неотрицательные переменные , равные разностям правых и левых частей этих неравенств и представляющие собой остатки сырья каждого вида после реализации намеченного плана выпуска изделий. Получим задачу:

; (4)

 (5)

 (6)

Выбираем в качестве базисных добавленные переменные . Тогда оставшиеся переменные  будут свободными. Положим  и . Тогда , т.е. получаем первое базисное решение . При этом .

АНАЛИЗ 1. Структура целевой функции  из условия (4) позволяет утверждать, что ее значения могут быть увеличены за счет увеличения значений как свободной переменной , так и свободной переменной  (коэффициенты при этих переменных в  положительные). Отсюда следует, что найденное базисное решение  оптимальным не является.

Назначим другой набор базисных переменных, который обеспечит увеличение значений целевой функции. С этой целью будем увеличивать значения свободной переменной , оставляя , и определим из системы (5), какая из базисных переменных  первой станет отрицательной (чего нельзя допустить!), и назовем ее проблемной.

Переписав систему (5) в более удобном для анализа виде

заключаем, что проблемной является базисная переменная  из второго равенства системы. Выводим ее из состава базисных и обмениваем ее на свободную переменную : . В результате новыми базисными переменными стали , а новыми свободными − . Выражаем в системе (5) новые базисные переменные через новые свободные, начиная с ее проблемного второго равенства. Через эти же свободные переменные выражаем целевую функцию  из условия (4):

В результате математическая модель решаемой задачи принимает следующий вид:

; (4')

 (5')

 (6)

Полагаем свободные переменные . Тогда базисные переменные согласно системе (5') принимают значения , т.е. получаем второе базисное решение. При этом из (4') .

АНАЛИЗ 2. Структура целевой функции  из условия (4') позволяет утверждать, что ее значения не могут быть увеличены за счет увеличения значений как свободной переменной , так и свободной переменной  (коэффициенты при этих переменных в  не положительные). Отсюда следует, что найденное базисное решение  является оптимальным: . При этом .

Поскольку F не зависит от свободной переменной , то ее увеличение не влияет на размер прибыли, так что найденное решение не является единственным.

Ответ. Для получения максимальной прибыли в количестве 34 ден. ед. предприятие должно выпустить 17 изделий типа B и не выпускать изделия типа A, либо выпустить 2, 4 или 6 изделий типа А и 16, 15 или 14 изделий типа B соответственно. При этом соответствующие остатки сырья приведены в следующей таблице:

Задача 13

уравнение интеграл вероятность дисперсия

Методом потенциалов решить следующую транспортную задачу.

На трех базах  имеется однородный груз в количествах  условных единиц соответственно. Этот груз требуется перевезти в четыре пункта потребления  в количествах  условных единиц соответственно. Стоимости перевозок единицы груза от поставщиков потребителям указаны в матрице стоимостей С.

Спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной.

Решение. Эта задача является закрытой транспортной задачей, так как . Для ее решения воспользуемся таблицей, в которой будем составлять последовательно планы перевозок.

Составим первый план перевозок. В этом плане отличными от нуля перевозками  могут быть лишь  значений (базисные переменные), где m - число поставщиков, n - число потребителей. Остальные значения заведомо равны нулю (свободные переменные). Будем их в таблице помечать прочерком.

Для составления плана последовательно заполняют клетки таблицы так, чтобы на каждом шаге исчерпывалась или потребность какого-либо потребителя, или возможность какого-либо поставщика. В соответствующем столбце или строке ставят в остальных пустых клетках прочерки. Если при этом одновременно исчерпывается и потребность и возможность, то вычеркивается что-то одно (столбец или строка). При таком построении плана перевозок заполненными окажутся ровно  клетки, а остальные прочеркнутся.

При построении первого плана (таблица 2) начнем с клетки с наименьшими затратами  и на каждом шаге будем выбирать такого типа клетку (метод наименьших затрат). Значения  будем записывать в левом верхнем углу клетки. В ее центре будем проставлять значения .

Заполняем клетку (14), так как  - наименьшее, значением . При этом вычеркивается четвертый столбец.

На втором шаге заполняем клетку (31), т.к.  - наименьшее, значением . При этом вычеркивается третья строка.

В оставшихся клетках наименьшее , поэтому заполняем клетку (13) значением . При этом вычеркивается третий столбец.

На четвертом шаге заполняем клетку (21), т.к.  - наименьшее, значением . При этом вычеркивается первый столбец.

На следующем шаге заполняем клетку (12), т.к.  - наименьшее, значением . При этом вычеркивается первая строка.

Оставшуюся клетку (22) с , заполняем оставшимся значением . При этом таблица становится полностью заполненной.

Число заполненных клеток при этом составляет . Стоимость перевозок F при данном плане=2·12+1·40+0·38+2·15+4·25+1·70=24+40+30+100+70=264 (ден. ед.)

Для проверки оптимальности полученного плана воспользуемся методом потенциалов. Введём строку потенциалов  и столбец потенциалов . Полагаем , а остальные  и  найдём так, чтобы для заполненных клеток выполнялись равенства

.

Вычисляем оценки прочеркнутых клеток  по формулам

.

Таблица 3

Оценки клеток будем записывать в правых верхних углах клеток. Для оптимального плана должно выполняться условие  для всех клеток.

Таким образом, построенный нами план перевозок является оптимальным.

По этому плану поставщик  перевозит 12 ед. потребителю , 40 ед. потребителю , 38 ед. потребителю ; поставщик  - 15 ед. потребителю , 25 ед. потребителю ; поставщик А₃ - 70 ед. потребителю .

Так как среди оценок  в прочеркнутых клетках есть нули, это говорит о том, что оптимальный план не единственный.

Задача 14

Двум предприятиям выделено  единиц средств на 4 года. Как распределить эти средства между ними для получения максимального дохода, если в первый год средства распределяются между предприятиями в полном объеме, во второй год распределяется неосвоенная за первый год часть средств (остаток) и т.д., а также известно, что

доход от  единиц средств, вложенных на год в первое предприятие, равен ;

доход от  единиц средств, вложенных на год во второе предприятие, равен ;

остаток средств к концу года на первом предприятии составляет ;

остаток средств к концу года на втором предприятии составляет .

Решение. Решим эту задачу методом динамического программирования.

Пусть в начале года (произвольного) мы должны распределить  единиц средств. Обозначим через  средства, выделяемые второму предприятию. Тогда первое получит  ед. средств. Обозначим суммарный доход за этот год при таком распределении через . Очевидно,

.

Остаток средств через год обозначим через . Очевидно,

.

Здесь состояние системы в начале года определяется имеющимися средствами, т.е. числом , а управление - способом распределения средств, т.е. числом . Для состояния  при управлении  система к концу года перейдет в состояние, определяемое остатком средств, т.е. значением .

Обозначим характеристику состояния  в начале года  через , а условное оптимальное управление для этого состояния через . Тогда для

.

Так как функция  убывает по переменной  на отрезке , то ее наибольшее значение достигается при , т.е.

,

где - условное оптимальное управление на четвертом этапе.

Для  справедливо рекуррентное соотношение

,

поэтому для  имеем

.

Функция  возрастает по  на отрезке , поэтому

.

Для

Функция  возрастает по  поэтому ее максимальное значение на отрезке  достигается при , т.е.

.

Для

.

Функция  возрастает по, поэтому

.

Теперь вычисляем

 (ед.).

Получили наибольший суммарный доход, который может быть получен при заданных условиях за 4 года. При этом средства следует распределять следующим образом: в первые три года все отдавать второму предприятию , а в последний год - первому предприятию .