Решение дифференциальных уравнений

  • Вид работы:
    Контрольная работа
  • Предмет:
    Математика
  • Язык:
    Русский
    ,
    Формат файла:
    MS Word
    136,43 kb
  • Опубликовано:
    2010-03-22
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!

Решение дифференциальных уравнений

Задача 4

С помощью метода наименьших квадратов подобрать параметры a и b линейной функции y = a + bx, приближенно описывающей опытные данные из соответствующей таблицы. Изобразить в системе координат заданные точки и полученную прямую.

xi

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

yi

0,9

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5


Решение

Система нормальных уравнений


в задаче

n = 6


Тогда

решая ее получаем .

y = 0,5714x + 0,9476


Задача 5

Найти неопределенный интеграл

Решение



Ответ:

Задача 6

Найти неопределенный интеграл

Решение



Ответ:

Задача 7

Найти неопределенный интеграл, применяя метод интегрирования по частям

Решение



Ответ:

Задача 8

Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами


Решение


Точки пересечения по х: х = -1, х = 5.

Площадь фигуры найдем из выражения



Ответ:

Задача 9

Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка

Решение

Разделим переменные


Проинтегрируем

Ответ: 

Задача 10

Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее начальному условию

              

Решение:


Запишем функцию  y в виде произведения y = u * v. Тогда находим производную:


Подставим эти выражения в уравнение


Выберем v таким, чтобы


Проинтегрируем выражение

,

Найдем u

 ,

 ,

,

,

Тогда

Тогда

Ответ:

Задача 11

Исследовать на сходимость ряд:

а) с помощью признака Даламбера знакоположительный ряд


Решение

Проверим необходимый признак сходимости ряда


n®¥

 

n®¥

 

n®¥

 
Т. к. , то необходимый признак сходимости ряда не соблюдается, и ряд расходится.

Используем признак Даламбера

 

Ответ: ряд расходится

б) с помощью признака Лейбница знакочередующийся ряд


Решение

Проверим необходимый признак сходимости ряда

n®¥

 

n®¥

 

n®¥

 
Т. к. , то необходимый признак сходимости ряда соблюдается, можно исследовать ряд на сходимость.

По признаку подобия


данный ряд аналогичен гармоническому ряду начиная с пятого члена, таким образом, т.к. гармонический ряд расходится, то и исходный ряд расходится.

Ответ: ряд расходится

в) Найти радиус сходимости степенного ряда и определить тип сходимости ряда на концах интервала сходимости

Решение

Используем признак Даламбера:

                           

 

При х =5 получим ряд



Ряд знакопостоянный, lim Un = n

Ряд расходится, так как состоит из суммы возрастающих элементов, каждый из которых больше 1.

При х = -5 получим ряд


Ряд знакочередующийся, lim Un = n

|Un| > |Un+1| > |Un+2| … - не выполняется.

По теореме Лейбница данный ряд расходится

Ответ:   Х Î (-5; 5)

Задача 12

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда


Решение

В разложении функции sin(x) в степенной ряд


заменим . Тогда получим


Умножая этот ряд почленно на   будем иметь

 

Следовательно


Ответ: » 0,006.

Похожие работы на - Решение дифференциальных уравнений

 

Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу
Без плагиата!