Применение дифференциальных уравнений первого порядка в экономике

Применение дифференциальных уравнений первого порядка в экономике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Реферат

По дисциплине: Высшая математика для экономистов

Тема: Применение дифференциальных уравнений первого порядка в экономике

Работу выполнила:

Студентка группы:

УПЭТ 12а

Помелило Алина

г.

Введение

Дифференциальные уравнения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.

Дифференциальное уравнение первого порядка.

Рассмотрим вопросы теории дифференциальных уравнений на примере уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной, т.е. таких, которые допускают представление в виде

 (1.1)

где f - некоторая функция нескольких переменных.

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения. Пусть в дифференциальном уравнении (1.1) функция  и ее частная производная  непрерывны на открытом множестве Г координатной плоскости Оху. Тогда:

.Для всякой точки  множества Г найдется решение y=y(x) уравнения(1.1),удовлетворяющее условию y();

2.Если два решения y=(x) и y=(x) уравнения (1.1) совпадают хотя бы для одного значения x=, т.е. если  то эти решения совпадают для всех тех значений переменной х, для которых они определены. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде

g(y) (1.2)

или в виде

M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0, (1.3)

где , M(x), P(x) - некоторые функции переменной х, g(y), N(y), Q(y) - функции переменной у.

(рис.1)

1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Для решения такого уравнения его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной х окажутся в одной части равенства, а переменной у - в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного равенства. Например из (1.2) следует, что  =  и  =. Выполняя интегрирование , приходим к решению уравнения (1.2)

Пример 1. Решить уравнениеdx=xydy.

Решение. Разделив левую и правую части уравнения на выражение х

(при х≠0), приходим к равенству . Интегрируя, получим

 (a)

или

 +, (б)

(так как интеграл в левой части (а) табличный, а интеграл в правой части может быть найден , например , заменой =t, , 2ydy=2tdt и .

Решение (б) перепишем в виде x=± или x=C,где C=±.

2. Неполные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка (1.1) называется неполным, если функция f явно зависит только от одной переменной: либо от х, либо от у.

Различают два случая такой зависимости.

. Пусть функция f зависит только от х. Переписав это уравнение в виде

, (2.1)

нетрудно убедиться, что его решением является функция

.

2. Пусть функция f зависит только от у, т.е. уравнение (1.1) имеет вид

. (2.2)

Дифференциальное уравнение такого вида называется автономным. Такие уравнения часто употребимы в практике математического моделирования и исследования природных и физических процессов, когда, например, независимая переменная х играет роль времени, не входящего в соотношения, описывающие законы природы. В этом случае особый интерес представляют так называемые точки равновесия, или стационарные точки - нули функции f(у), где производная у' = 0.

Решение уравнения (2.2) методом разделения переменных приводит к функциональному уравнению для определения неизвестной функции у = φ(x) (или х = ψ(у)):

. (2.3)

Пример 2

Решить уравнение: . (2.4)

Решение. Найдем решение в виде x=x(y).Полагая, что y≠0 из (2.3) и (2.4), получаем  и  , (2.5)

откуда  и . Полагая, что произвольная постоянная , получим . (Заметим, что полученное общее решение уравнения при C=0 дает частное решение y=0, «потерянное» в процессе преобразований).

3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение вида

, (3.1)

где р(х) и q(x) - непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Неизвестная функция и ее производная входят в указанное уравнение в первой степени - линейно, что и объясняет название уравнения.

Если q(x)  0, то уравнение (3.1) называется линейным однородным уравнением; если же функция q(x) не равна тождественно нулю, то уравнение (3.1) называется линейным неоднородным уравнением.

Для линейного уравнения первого порядка можно выписать общее решение с помощью метода вариации постоянной. Здесь это решение приводится без вывода:

. (3.2)

Следует отметить, что некоторые нелинейные уравнения приводятся к линейным уравнениям соответствующими заменами неизвестной функции у(х). К таковым относится уравнение Бернулли

, (3.3)

где р и q - непрерывные функции, a n - некоторое постоянное число. При п = 0 имеем линейное неоднородное уравнение, а при n = 1 - линейное однородное уравнение Пусть п ≠ 0, n ≠ 1. Введем новую функцию

_, (3.4)

тогда

.

Поделим обе части уравнения (3.3) на :

.

Умножая обе части этого уравнения на (1 - n), с учетом выражений для новой функции z и ее производной получаем линейное дифференциальное неоднородное уравнение относительно неизвестной функции z(x):

. (3.5)

4. Применение дифференциальных уравнений первого порядка в экономике

Задача 4.1 Модель естественного роста выпуска[1].

Пусть y(t) - объем продукции некоторой отрасли, реализованной к моменту времени t. Будем полагать, что вся производимая отраслью продукция реализуется по некоторой фиксированной цене р, т.е. выполнено условие ненасыщаемости рынка. Тогда доход к моменту времени t составит Y(t)=py(t).

Обозначим через I(t) величину инвестиций [см.словарь[1]], направляемых на расширение производства. В модели естественного роста полагают, что скорость выпуска продукции (акселерация) пропорциональна величине инвестиций, т. е.

(t)=lI(t) (а)

(Здесь пренебрегаем временем между окончанием производства продукции и ее реализацией, т.е. считаем, что инвестиционный лаг [см.словарь[2]] равен нулю).

Полагая, что величина инвестиций I(t) составляет фиксированную часть дохода [см. словарь[3]], получим

I(t)=mY(t)=mpy(t), (б)

где коэффициент пропорциональности m (так называемая норма инвестиций) - постоянная величина, 0 m1.

Подставляя последнее выражение (б) для I(t) в (а), приходим к уравнению

, (в)

где k=mpl.

Полученное дифференциальное уравнение - это уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, приходим к функции y(t)=.

На практике условие насыщаемости рынка может быть принято только для достаточно узкого временного интервала. В общем случае кривая спроса, т.е. зависимость цены р реализованной продукции от ее объема y является убывающей функцией p=p(y) ( с увеличением объема произведенной продукции ее цена падает в результате насыщения рынка).Поэтому модель роста в условиях конкурентного рынка примет вид

, (г)

оставаясь по-прежнему уравнением с разделяющимися переменными.

Так как все сомножители в правой части уравнения (г) положительны, то , и это уравнение описывает возрастающую функцию y(t) на выпуклость естественно используется понятие эластичности функции. Действительно, из (г) следует, что

.

Напомним, что эластичность спроса [см.словарь[4]] (относительно цены) определяется формулой . Тогда выражение для  можно записать в виде

и условие  равносильно равенству .

Таким образом, если спрос эластичен, т.е.  или , то  и функция y(t) выпукла вниз; в случае, если спрос неэластичен, т.е. , или - 1 , то  и функция y(t) выпукла вверх.

Задача 4.2 Об эффективности рекламы[6].

Пусть торговой фирмой реализуется некоторая продукция, о которой в момент времени t = 0 из рекламы получили информацию x₀ человек из общего числа N потенциальных покупателей. Далее эта информация распространяется посредством общения людей, и в момент времени t > 0 число знающих о продукции людей равно x(t).  Сделаем предположение, что скорость роста числа знающих о продукции пропорциональна как числу осведомлённых в данный момент покупателей, так и к числу неосведомленных покупателей. Это приводит к уравнению

.

Здесь k - положительный коэффициент пропорциональности. Из уравнения получаем равенство дифференциалов двух функций аргумента t:

.

Интегрируя левую и правую части, находим общее решение дифференциального уравнения:

.

В общее решение входит неопределенная константа С. Полагая NC = D, получим равенство:

,

из которого определим функцию x(t):

.

Здесь E = . Такого вида функция называется логистической, а её график - логистической кривой.

Если теперь учесть, что х(0) = х₀ и положить х₀ = N/, где  > 0, то можно найти значение константы Е. Логистичеcкая функция примет вид:

.

На рис.2 приведены примеры логистических кривых, полученных при различных значениях α. Здесь величина N условно принималась за 1, а величина k бралась равной 0,5.

Задача 4.3 Динамическая модель Кейнса.[7]

Рассмотрим простейшую балансовую модель, включающую в себя основные компоненты динамики расходной и доходной частей экономики. Пусть Y(t), E(t), S(t), I(t) - соответственно национальный доход[см.словарь[5]], государственные расходы, потребление и инвестиции. Все эти величины рассматриваются как функции времени t. Тогда справедливы следующие соотношения:  (а)

где a(t) - коэффициент склонности к потреблению (0 < а(t) < 1), b(t) - автономное (конечное) потребление, k(t) - норма акселерации. Все функции, входящие в уравнения (а), положительны.

Поясним смысл уравнений (а). Сумма всех расходов должна быть равной национальному доходу - этот баланс отражен в первом уравнении. Общее потребление состоит из внутреннего потребления некоторой части национального дохода в народном хозяйстве и конечного потребления - эти составляющие показаны во втором уравнении. Наконец, размер инвестиций не может быть произвольным: он определяется произведением нормы акселерации, величина которой характеризуется уровнем технологии и инфраструктуры данного государства, на предельный национальный доход.

Будем полагать, что функции a(t), b(t), k(t) и E(t) заданы - они являются характеристиками функционирования и эволюции данного государства. Требуется найти динамику национального дохода, или Y как функцию времени t. Подставим выражения для S(t) из второго уравнения и для I(t) из третьего уравнения в первое уравнение. После приведения подобных получаем дифференциальное неоднородное линейное уравнение первого порядка для функции Y(t):

 . (б)

Проанализируем более простой случай, полагая основные параметры задачи а, b и k постоянными числами. Тогда уравнение (б) упрощается до линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами:

. (в)

Как известно, общее решение неоднородного уравнения есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения. В качестве частного решения уравнения (в) возьмем так называемое равновесное решение, когда Y’ = 0, т.е.

. (г)

Нетрудно видеть, что эта величина положительна. Общее решение однородного уравнения дается формулой  , так что общее решение уравнения (в) имеет вид

. (д)

Интегральные кривые уравнения (в) показаны на рис.4. Если в начальный момент времени Y₀ < Y_p , то С = Y₀ - Y_p < 0 и кривые уходят вниз от равновесного решения (г), т.е. национальный доход со временем падает при заданных параметрах задачи а, b, k и Е, так как показатель экспоненты в (д) положителен. Если же Y₀ > Y_p, то С > 0 и национальный доход растет во времени - интегральные кривые уходят вверх от равновесной прямой Y = Y_р.Уравнение (в) является автономным; точка Y = Y_p представляет собой точку неустойчивого равновесия.

(Рис.3)

5. Словарь экономических терминов

1.ИНВЕСТИЦИИ (лат. investice - облачать) - долгосрочные вложения капитала в экономику. Инвестиции используются на покупку средств производства: оборудования, машин, земли и т. д. Затраты на эти элементы производства окупаются не сразу, а в течение многих лет, поэтому инвестиции носят долгосрочный характер.[2]

2.ДОХОД - денежные и материальные ресурсы, поступающие юридическим и физическим лицам, после завершения производственного цикла. В более широком плане - выручка и другие денежные средства, поступающие на предприятие. В международной практике под Д. понимают валовые поступления денежных и других средств, которые в процессе обычной хозяйственной деятельности предприятия возникают от реализации продукции, оказания услуг и от использования другими предприятиями ресурсов данного предприятия (проценты, дивиденды, лицензионные платежи и т.п.) [3]

3. ЛАГ ИНВЕСТИЦИОННЫЙ - временной разрыв между осуществлением инвестиций и их окупаемостью. Включает в себя время оборота всех производственных капиталовложений (включая вложения в оборудование).[4]

4. ЭЛАСТИЧНОСТ СПРОСА ПО ЦЕНЕ показывает, на сколько процентов изменится величина спроса при изменении цены на 1 %.Рассчитывается через коэффициент эластичности.[5]

5. НАЦИОНАЛЬНЫЙ ДОХОД - часть стоимости созданного в стране совокупного общественного продукта, остающаяся после возмещения потребленных средств производства; обобщающий показатель экономического развития страны, в условиях товарного производства в стоимостном выражении выступает как вновь созданная стоимость за определенный период времени (обычно за год). Н.Д. страны равен валовому национальному продукту за вычетом амортизационных отчислений (износ основных средств) и косвенных налогов. С другой стороны, Н.Д. можно определить как сумму всех доходов за год в виде заработной платы, промышленной и торговой прибыли, процента на вложенный капитал и земельной ренты.[8]

переменная дифференциал функция линейное уравнение

6. Список литературы

1.Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ, 2003. - 471 с.

. http://enc-dic.com/economic/Dohod-4094.html

. http://enc-dic.com/economic/Dohod-4094.html

. http://www.bibliotekar.ru/bank-7-2/145.htm

. http://ru.wikipedia.org/

.Красс М.С.,Чупрынов Б.П.Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учеб. - 2-е изд., испр. - М.: Дело, 2001. - 688 с.

.http://www.bank24.ru/info/glossary/?srch=%CD%C0%D6%C8%CE%CD%C0%CB%DC%CD%DB%C9+%C4%CE%D5%CE%C4