Применение дифференциальных уравнений первого порядка в экономике
МИНИСТЕРСТВО
ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ДОНЕЦКИЙ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Реферат
По
дисциплине: Высшая математика для экономистов
Тема:
Применение дифференциальных уравнений первого порядка в экономике
Работу выполнила:
Студентка группы:
УПЭТ 12а
Помелило Алина
г.
Введение
Дифференциальные уравнения.
Дифференциальным уравнением называется
уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти
переменные и производные различных порядков данной функции.
Дифференциальное уравнение первого
порядка.
Рассмотрим вопросы теории дифференциальных
уравнений на примере уравнений первого порядка, разрешенных относительно
производной, т.е. таких, которые допускают представление в виде
(1.1)
где f - некоторая функция нескольких
переменных.
Теорема существования и единственности решения
дифференциального уравнения. Пусть в дифференциальном уравнении (1.1) функция и
ее частная производная непрерывны на
открытом множестве Г координатной плоскости Оху. Тогда:
.Для всякой точки множества
Г найдется решение y=y(x) уравнения(1.1),удовлетворяющее условию y();
2.Если два решения y=(x)
и
y=(x)
уравнения
(1.1) совпадают хотя бы для одного значения x=, т.е. если то
эти решения совпадают для всех тех значений переменной х, для которых
они определены. Дифференциальное уравнение первого порядка называется
уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в
виде
g(y) (1.2)
или в виде
M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0, (1.3)
где , M(x), P(x) - некоторые
функции переменной х,
g(y), N(y),
Q(y) -
функции переменной у.
(рис.1)
1.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Для решения такого уравнения его следует
преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной х
окажутся в одной части равенства, а переменной у - в другой. Затем
проинтегрировать обе части полученного равенства. Например из (1.2) следует,
что =
и
=. Выполняя
интегрирование ,
приходим к решению уравнения (1.2)
Пример 1.
Решить уравнениеdx=xydy.
Решение. Разделив левую и правую части уравнения
на выражение х
(при х≠0), приходим к равенству . Интегрируя,
получим
(a)
или
+, (б)
(так как интеграл в левой части (а) табличный, а
интеграл в правой части может быть найден , например , заменой =t, , 2ydy=2tdt и
.
Решение (б) перепишем в виде x=±
или
x=C,где C=±.
2.
Неполные дифференциальные уравнения
Дифференциальное уравнение первого порядка (1.1)
называется неполным, если функция f явно зависит только от одной
переменной: либо от х, либо от у.
Различают два случая такой зависимости.
. Пусть функция f зависит только от х.
Переписав это уравнение в виде
, (2.1)
нетрудно убедиться, что его решением является
функция
.
2. Пусть функция f зависит только от у,
т.е. уравнение (1.1) имеет вид
. (2.2)
Дифференциальное уравнение такого вида
называется автономным. Такие уравнения часто употребимы в практике
математического моделирования и исследования природных и физических процессов, когда,
например, независимая переменная х играет роль времени, не входящего в
соотношения, описывающие законы природы. В этом случае особый интерес
представляют так называемые точки равновесия, или стационарные точки -
нули функции f(у), где производная у' = 0.
Решение уравнения (2.2) методом разделения
переменных приводит к функциональному уравнению для определения неизвестной
функции у = φ(x)
(или х = ψ(у)):
. (2.3)
Пример 2
Решить уравнение: .
(2.4)
Решение. Найдем решение в виде x=x(y).Полагая,
что y≠0 из (2.3) и (2.4), получаем и
,
(2.5)
откуда и
.
Полагая, что произвольная постоянная ,
получим .
(Заметим, что полученное общее решение уравнения при C=0 дает частное
решение y=0, «потерянное» в процессе преобразований).
3.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение вида
, (3.1)
где р(х) и q(x) - непрерывные
функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого
порядка.
Неизвестная функция и ее производная входят в
указанное уравнение в первой степени - линейно, что и объясняет название
уравнения.
Если q(x) 0, то
уравнение (3.1) называется линейным однородным уравнением; если же
функция q(x) не равна тождественно нулю, то уравнение (3.1) называется
линейным неоднородным уравнением.
Для линейного уравнения первого
порядка можно выписать общее решение с помощью метода вариации постоянной.
Здесь это решение приводится без вывода:
. (3.2)
Следует отметить, что некоторые нелинейные
уравнения приводятся к линейным уравнениям соответствующими заменами
неизвестной функции у(х). К таковым относится уравнение Бернулли
, (3.3)
где р и q - непрерывные функции, a
n - некоторое постоянное число. При п = 0 имеем линейное
неоднородное уравнение, а при n = 1 - линейное однородное уравнение
Пусть п ≠ 0, n ≠ 1. Введем новую функцию
, (3.4)
тогда
.
Поделим обе части уравнения (3.3) на :
.
Умножая обе части этого уравнения на (1 - n),
с учетом выражений для новой функции z и ее производной получаем
линейное дифференциальное неоднородное уравнение относительно неизвестной
функции z(x):
. (3.5)
4.
Применение дифференциальных уравнений первого порядка в экономике
Задача 4.1
Модель естественного роста выпуска[1].
Пусть y(t) - объем продукции некоторой
отрасли, реализованной к моменту времени t. Будем полагать,
что
вся производимая отраслью продукция реализуется по некоторой
фиксированной цене р,
т.е. выполнено условие ненасыщаемости рынка. Тогда доход к моменту времени t
составит Y(t)=py(t).
Обозначим через I(t) величину инвестиций [см.словарь[1]], направляемых на
расширение производства. В модели естественного роста полагают, что скорость
выпуска продукции (акселерация) пропорциональна величине инвестиций, т. е.
(t)=lI(t) (а)
(Здесь пренебрегаем временем между окончанием
производства продукции и ее реализацией, т.е. считаем, что инвестиционный лаг [см.словарь[2]]
равен нулю).
Полагая, что величина инвестиций I(t) составляет
фиксированную часть дохода [см. словарь[3]], получим
I(t)=mY(t)=mpy(t), (б)
где коэффициент пропорциональности m (так
называемая норма инвестиций) - постоянная величина, 0
m1.
Подставляя последнее выражение (б) для I(t) в
(а), приходим к уравнению
, (в)
где k=mpl.
Полученное дифференциальное уравнение - это
уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, приходим к функции y(t)=.
На практике условие насыщаемости рынка может
быть принято только для достаточно узкого временного интервала. В общем случае
кривая спроса, т.е. зависимость цены р реализованной продукции от ее
объема y является убывающей функцией p=p(y) ( с увеличением
объема произведенной продукции ее цена падает в результате насыщения
рынка).Поэтому модель роста в условиях конкурентного рынка примет вид
, (г)
оставаясь по-прежнему уравнением с
разделяющимися переменными.
Так как все сомножители в правой части уравнения
(г) положительны, то , и это уравнение описывает
возрастающую функцию y(t) на выпуклость естественно используется понятие
эластичности функции. Действительно, из (г) следует, что
.
Напомним, что эластичность спроса [см.словарь[4]]
(относительно цены) определяется формулой . Тогда выражение
для можно
записать в виде
и условие равносильно
равенству .
Таким образом, если спрос эластичен, т.е. или
, то и
функция y(t) выпукла вниз; в случае, если спрос неэластичен, т.е. , или - 1 , то и
функция y(t) выпукла вверх.
Задача 4.2 Об эффективности
рекламы[6].
Пусть торговой фирмой реализуется
некоторая продукция, о которой в момент времени t = 0 из рекламы получили
информацию x0 человек из общего числа N потенциальных покупателей.
Далее эта информация распространяется посредством общения людей, и в момент
времени t > 0 число знающих о продукции людей равно x(t). Сделаем предположение,
что скорость роста числа знающих о продукции пропорциональна как числу
осведомлённых в данный момент покупателей, так и к числу неосведомленных
покупателей. Это приводит к уравнению
.
Здесь k - положительный
коэффициент пропорциональности. Из уравнения получаем равенство дифференциалов
двух функций аргумента t:
.
Интегрируя левую и правую части,
находим общее решение дифференциального уравнения:
.
В общее решение входит
неопределенная константа С. Полагая NC = D, получим равенство:
,
из которого определим функцию x(t):
.
Здесь E = . Такого вида функция называется логистической, а её
график - логистической кривой.
Если теперь учесть, что х(0)
= х0 и положить х0 = N/, где
> 0, то можно найти значение константы Е. Логистичеcкая
функция примет вид:
.
На рис.2 приведены примеры логистических кривых,
полученных при различных значениях α. Здесь величина N
условно принималась за 1, а величина k бралась равной 0,5.
Задача 4.3 Динамическая модель
Кейнса.[7]
Рассмотрим простейшую балансовую модель,
включающую в себя основные компоненты динамики расходной и доходной частей
экономики. Пусть Y(t), E(t), S(t), I(t) - соответственно
национальный доход[см.словарь[5]], государственные расходы, потребление
и инвестиции. Все эти величины рассматриваются как функции времени t.
Тогда справедливы следующие соотношения: (а)
где a(t) - коэффициент склонности к
потреблению (0 < а(t) < 1), b(t) - автономное
(конечное) потребление, k(t) - норма акселерации. Все функции, входящие
в уравнения (а), положительны.
Поясним смысл уравнений (а). Сумма всех расходов
должна быть равной национальному доходу - этот баланс отражен в первом
уравнении. Общее потребление состоит из внутреннего потребления некоторой части
национального дохода в народном хозяйстве и конечного потребления - эти
составляющие показаны во втором уравнении. Наконец, размер инвестиций не может
быть произвольным: он определяется произведением нормы акселерации, величина
которой характеризуется уровнем технологии и инфраструктуры данного
государства, на предельный национальный доход.
Будем полагать, что функции a(t), b(t), k(t)
и E(t) заданы - они являются характеристиками функционирования и
эволюции данного государства. Требуется найти динамику национального дохода,
или Y как функцию времени t. Подставим выражения для S(t)
из второго уравнения и для I(t) из третьего уравнения в первое
уравнение. После приведения подобных получаем дифференциальное неоднородное линейное
уравнение первого порядка для функции Y(t):
. (б)
Проанализируем более простой случай, полагая
основные параметры задачи а, b и k постоянными числами.
Тогда уравнение (б) упрощается до линейного дифференциального уравнения первого
порядка с постоянными коэффициентами:
. (в)
Как известно, общее решение неоднородного
уравнения есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения
соответствующего однородного уравнения. В качестве частного решения уравнения
(в) возьмем так называемое равновесное решение, когда Y’ =
0, т.е.
. (г)
Нетрудно видеть, что эта величина положительна.
Общее решение однородного уравнения дается формулой ,
так что общее решение уравнения (в) имеет вид
. (д)
Интегральные кривые уравнения (в) показаны на
рис.4. Если в начальный момент времени Y0 < Yp
, то С = Y0 - Yp < 0 и кривые уходят
вниз от равновесного решения (г), т.е. национальный доход со временем падает
при заданных параметрах задачи а, b, k и Е, так как
показатель экспоненты в (д) положителен. Если же Y0 > Yp,
то С > 0 и национальный доход растет во времени - интегральные кривые
уходят вверх от равновесной прямой Y = Yр.Уравнение (в)
является автономным; точка Y = Yp представляет собой точку
неустойчивого равновесия.
(Рис.3)
5.
Словарь экономических терминов
1.ИНВЕСТИЦИИ (лат.
investice -
облачать) -
долгосрочные вложения капитала в экономику. Инвестиции используются на покупку
средств производства: оборудования, машин, земли и т. д. Затраты на эти
элементы производства окупаются не сразу, а в течение многих лет, поэтому
инвестиции носят долгосрочный характер.[2]
2.ДОХОД - денежные и
материальные ресурсы, поступающие юридическим и физическим лицам, после
завершения производственного цикла. В более широком плане - выручка и другие
денежные средства, поступающие на предприятие. В международной практике под Д.
понимают валовые поступления денежных и других средств, которые в процессе
обычной хозяйственной деятельности предприятия возникают от реализации
продукции, оказания услуг и от использования другими предприятиями ресурсов
данного предприятия (проценты, дивиденды, лицензионные платежи и т.п.) [3]
3. ЛАГ ИНВЕСТИЦИОННЫЙ -
временной разрыв между осуществлением инвестиций и их окупаемостью. Включает в
себя время оборота всех производственных капиталовложений (включая вложения в
оборудование).[4]
4. ЭЛАСТИЧНОСТ
СПРОСА ПО ЦЕНЕ показывает, на сколько процентов изменится величина спроса
при изменении цены на 1 %.Рассчитывается через коэффициент эластичности.[5]
5. НАЦИОНАЛЬНЫЙ ДОХОД - часть
стоимости созданного в стране совокупного общественного продукта, остающаяся
после возмещения потребленных средств производства; обобщающий показатель
экономического развития страны, в условиях товарного производства в стоимостном
выражении выступает как вновь созданная стоимость за определенный период
времени (обычно за год). Н.Д. страны равен валовому национальному продукту за
вычетом амортизационных отчислений (износ основных средств) и косвенных
налогов. С другой стороны, Н.Д. можно определить как сумму всех доходов за год
в виде заработной платы, промышленной и торговой прибыли, процента на вложенный
капитал и земельной ренты.[8]
переменная
дифференциал функция линейное уравнение
6.
Список литературы
1.Кремер Н.Ш. Высшая математика для
экономистов: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ, 2003. - 471 с.
.
http://enc-dic.com/economic/Dohod-4094.html
.
http://enc-dic.com/economic/Dohod-4094.html
.
http://www.bibliotekar.ru/bank-7-2/145.htm
. http://ru.wikipedia.org/
.Красс М.С.,Чупрынов Б.П.Основы
математики и ее приложения в экономическом образовании: Учеб. - 2-е изд., испр.
- М.: Дело, 2001. - 688 с.
.http://www.bank24.ru/info/glossary/?srch=%CD%C0%D6%C8%CE%CD%C0%CB%DC%CD%DB%C9+%C4%CE%D5%CE%C4