Расчет статистических показателей

Задача 1

Какие из указанных ниже группировок являются типологическими:

а) населения по возрасту;

б) работников по тарифному разряду;

в) населения по общественным группам;

г) населения, занятого по отраслям;

д) производство средств производства и предметов потребления?

Назовите виды группировок и основные их назначения.

Все из указанных выше группировок являются типологическими.

Для решения задач, возникающих в ходе научного статистического исследования, применяют следующие виды группировок.

Типологическая группировка решает задачу выявления и характеристики социально-экономических типов. При этом виде в качестве группировочных выступают существенные признаки, которые и различают выделенные типы или группы по существу. Этот вид группировок в значительной степени определяется представлениями экспертов о том, какие типы могут встретиться в изучаемой совокупности.

Структурные группировки характеризуют структуру совокупности по какому-либо одному не обязательно существующему признаку. Число интервалов в таких группировках должно быть оптимальным. На основе данной группировки можно изучать динамику структуры совокупности. К структурным группировкам относятся группировки хозяйств по объему продукции, населения по размеру среднедушевого дохода.

Аналитическая группировка характеризует взаимосвязь между двумя и более признаками, один из которых рассматривается в качестве результата, а другой как фактор.

Простая группировка представляет собой группировку по одному признаку.

Сложная группировка - это группировка по двум или нескольким признакам.

Комбинационная группировка, в основании которой лежат несколько признаков, т. е. группы, образованные по одному признаку, делятся на подгруппы - по второму, а последние - по третьему признаку и т. д. Данный вид группировки позволяет выявить и сравнить различия и связи между исследуемыми признаками, которые нельзя обнаружить на основе изолированных группировок по ряду группировочных признаков.

Многомерная группировка основана на измерении сходства или различия между объектами, т. е. единицы, отнесенные к одному классу, различаются между собой меньше, чем единицы, отнесенные к различным классам. Задача многомерной группировки сводится к выделению или сгущению объектов в n-мерном пространстве.

Задача 2

Определите динамику и структуру изменения объема продукции в квартальном разрезе и в целом за год двух предприятий по следующим исходным данным:

Проанализируйте полученные результаты.

Решение.

Структура производства продукции предприятия № 1 в квартальном разрезе:

Структура производства продукции предприятия № 2 в квартальном разрезе:

Таким образом, как на первом, так и на втором предприятии большая часть произведенной за год продукции выпущено в четвертом квартале.

Объем производства продукции двух предприятий вместе за год составил:

+ 630 = 1090 млрд. р.

в том числе по кварталам:

I квартал: 110 + 150 = 260 млрд. р.

II квартал: 120 + 150 = 270 млрд. р.

III квартал: 100 + 160 = 260 млрд. р.

IV квартал: 130 + 170 = 300 млрд. р.

Таким образом, структура объема производства выглядит следующим образом:

Динамика объема продукции по кварталам представлена в таблице:

Таким образом, объем производства в четвертом квартале превысил значение производства в первом квартале на 40 млрд.р. (или на 15,4%).

Задача 3

Определите средний возраст работников и показатели вариации по следующим данным:

Проанализируйте полученные результаты.

Решение.

В условии задачи дается интервальный вариационный ряд распределения с открытыми интервалами. Чтобы определить средний объем продукции, нужно от интервального ряда перейти к дискретному, т.е. найти середину каждого интервала как полусумму нижней и верхней границ. При этом величина открытого интервала первой группы приравнивается к величине интервала второй группы, а величина открытого интервала последней группы - к величине интервала предпоследней группы.

После вышесказанных преобразований исходная таблица будет выглядеть следующим образом:

Средний объем возраст работников по предприятию рассчитаем по формуле средней арифметической взвешенной:

лет.

Для характеристики размеров колеблемости признаков в статистике используют ряд показателей.

Рассчитаем следующие показатели:

дисперсия:

среднее квадратическое отклонение:

σ =  = 12,8.

коэффициент вариации рассчитывается по формуле:

Так как коэффициент вариации больше 33 %, это говорит о неоднородности изучаемой совокупности.

Задача 4

группировка дисперсия вариация квадратичное отклонение

На основании данных о распределении предприятий по среднегодовой численности работников одной из отраслей народного хозяйства:

) определите, моду и медиану;

) постройте гистограмму;

) оцените характер асимметрии.

Решение.

Перейдем от интервального ряда перейти к дискретному.

Таким образом, среднее число работников:

 чел.

Разновидностью средней являются мода и медиана. Эти величины также используются в качестве характеристик вариационного ряда.

Мода (Мо) - варианта, встречающаяся в ряду распределения чаще всего, т.е. варианта, которой соответствует наибольшая частота.

Для дискретного ряда распределения мода определяется наиболее просто: варианта, против которой расположена наибольшая частота, и будет модой.

В интервальном ряду наибольшая частота указывает не на модальную варианту, а на содержащий моду интервал. Вычисление моды производится по следующей формуле:

где- начало (нижняя граница) модального интервала; - величина интервала; - частота модального интервала; - частота интервала, предшествующего модальному; - частота интервала, следующего за модальным.

Таким образом, мода равна:

 чел.

Медиана - варианта, находящаяся в середине ранжированного ряда распределения. Для ее определения достаточно расположить в порядке возрастания или убывания все варианты. Серединная варианта и будет являться медианой. Расчет медианы для интервального ряда производится по формуле:

- начало (нижняя граница) медианного интервала; i_Me - величина интервала; - сумма всех частот ряда; - сумма накопленных частот вариантов до медианного; - частота медианного интервала.

Для определения медианного интервала необходимо определять накопленную частоту каждого последующего интервала до тех пор, пока она не превысит 1/2 суммы накопленных частот (в нашем случае - 50.)

Таким образом, медианным является интервал с границами 1000 - 5000.

Медиана равна:

чел.

Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию. Т.к. < Мо, Me< Мо следует сделать вывод о левосторонней асимметрии ряда.

Это подтверждает построенная гистограмма:

Рис. 4.1. Распределение предприятий по числу работников

Задача 5

Рост выпуска продукции на предприятии за пять лет характеризуется следующими данными:

На основании этих данных исчислите: а) показатели ряда динамики (абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста, абсолютное значение одного процента прироста за весь период); б) средний уровень ряда; в) среднегодовой темп динамики (по абсолютным уровням ряда). Проанализируйте полученные результаты. Сделайте вывод о характере изменения выпуска продукции на данном предприятии по годам.

Решение.

В зависимости от задачи исследования абсолютные приросты (снижения,), темпы роста (снижения, Т) и темпы прироста (снижения, ) могут быть рассчитаны с переменной базой сравнения (цепные) и постоянной базой сравнения (базисные).

Абсолютные приросты:

цепные ........................................

базисные......................................

Темпы роста:

цепные...........................................

базисные..........................................

Темпы прироста:

цепные...................................

базисные..................................

или

Абсолютное значение одного процента прироста (снижения) - это отношение абсолютного цепного прироста к соответствующему цепному темпу прироста, выраженному в процентах. Оно определяется по формуле:

Результаты расчетов приведены в таблице:

Средний уровень ряда может быть исчислен по формуле средней арифметической простой:

 млрд.р.

Средний абсолютный прирост исчисляется двумя способами:

или

где  - цепные абсолютные приросты; m - число цепных абсолютных приростов.

Среднегодовой абсолютный прирост производства продукции за анализируемый период равен:

 (21,5 - 11,2) / 4 = 2,575 млрд.р.

Изучив динамику производства продукции можно сделать следующие выводы.

В целом за рассматриваемый период производство продукции увеличилось на 10,3 млрд.р. (или на 91,96 %). В среднем производство продукции за год увеличивалось на 2,575 млрд.р.

Задача 6

На основании следующих данных рассчитайте общий индекс производительности труда по группе предприятий. Определите также количество работников, которое было высвобождено в результате роста производительности труда.

Решение.

Общий индекс производительности труда рассчитаем по формуле:

Т.е. производительность труда увеличилась на 4%.

Разность числителя и знаменателя рассчитанного индекса показывает экономию живого труда (количество высвобожденных работников) за счет роста производительности:

∆Т = 1640 - 1570 = 70 чел.

Задача 7

Имеются следующие данные:

Определите: а) влияние динамики часовой выработки одного рабочего, продолжительности рабочего дня и рабочего месяца на динамику среднемесячной выработки; б) влияние каждого фактора в абсолютном выражении на функцию.

Решение.

Производительность труда одного работника за месяц (W) равна его среднечасовой выработке (а), умноженной на среднюю продолжительность дня (b) и на среднюю продолжительность рабочего месяца (с).

= cba.

Система многофакторных индексов:

=..

Таким образом, производительность труда в базисном периоде составила:

₀ = 100 ^. 7,7 ^. 20 = 15400 ед.

в отчетном периоде:

₁ = 120 ^. 7,8 ^. 22 = 20592 ед.

,337 = 1,1 ^. 1,013 ^. 1,2

Абсолютное изменение выработки:

ΔW = 20592 - 15400 = 5192 ед.

Количество продукции (в абсолютном выражении) в расчете на одного рабочего, полученное за счет роста часовой выработки одного рабочего:

ΔWа = (120 - 100)* 7,7 * 20 = 3080 ед.

Количество продукции (в абсолютном выражении) в расчете на одного рабочего, полученное за счет снижения продолжительности рабочего дня:

ΔW_b = 120 * (7,8 - 7,7) * 20 = 240 ед.

Количество продукции (в абсолютном выражении) в расчете на одного рабочего, полученное за счет снижения продолжительности рабочего месяца:

ΔWс = 120* 7,8 * (22 - 20) = 1872 ед.

Проверка:

ΔW = ΔWа + ΔWb + ΔWс

= 3080 + 240 + 1872

= 5192

Задача 8

Изобразите данные задачи 2 с помощью столбиковых графиков, круговых графиков и ломаной кривой. Какой из этих графиков наиболее наглядно изображает динамику и структуру объема продукции в квартальном разрезе?

Решение.

Столбиковый график:

Круговой график:

Ломаная кривая:

Таким образом, наиболее наглядным является график в виде ломаной кривой.

Задача 9

При 20%-ной разработке (по способу случайной бесповоротной выборки) данных текущего учета населения города удельный вес жителей в возрасте свыше 60 лет составил 8%, удельный вес населения в возрасте до 16 лет - 14%, удельный вес рабочих (без членов их семей) - 18%. Определите с вероятностью 0,954: а) предельную ошибку выборки удельного веса каждой из групп жителей; б) пределы (доверительный интервал), в которых будет находиться доля каждой из указанных групп жителей; в) какова должна быть доля выборки (объем выборки), чтобы предельная ошибка в оценке доли по указанным группам жителей была не более 0,20 %. Общая численность населения города составляет 300 тыс. человек.

Решение.

Возможные границы генеральной доли определяется по формуле:

где w - выборочная доля (удельный вес единиц в выборке, обладающих исследуемым признаком; w = m/n)

- предельная ошибка выборочной доли (для бесповторного отбора).

Так, удельный вес жителей в возрасте свыше 60 лет равен 0,08.

w = 0,08.

Предельная ошибка выборочной доли:

Тогда границы удельного веса данной группы:

,031  р  0,129

Т.е. доля жителей в возрасте свыше 60 лет находится в пределах от 3,1% до 12,9%.

Удельный вес населения в возрасте до 16 лет:

w = 0,14.

Предельная ошибка выборочной доли:

Тогда границы удельного веса данной группы:

,078  р  0,202

Т.е. доля жителей в возрасте до 16 лет находится в пределах от 7,8% до 20,2%.

Удельный вес рабочих:

w = 0,18.

Предельная ошибка выборочной доли:

Тогда границы удельного веса данной группы:

,112  р  0,248

Т.е. доля рабочих находится в пределах от 11,2% до 24,8%.

Необходимый объем выборки рассчитаем по формуле:

Объем выборки, чтобы предельная ошибка в оценке доли жителей в возрасте свыше 60 лет была не более 0,2%:

 59 101 чел.

Доля выборки = 59101 / 300000 ^. 100 = 19,7%.

Объем выборки, чтобы предельная ошибка в оценке доли жителей в возрасте до 16 лет была не более 0,2%:

 85 918 чел.

Доля выборки = 85918 / 300000 ^. 100 = 28,6%.

Объем выборки, чтобы предельная ошибка в оценке доли жителей в возрасте до 16 лет была не более 0,2%:

 98 928 чел.

Доля выборки = 98928 / 300000 ^. 100 = 33%.

Задача 10

Имеются следующие данные о связи между произведенной продукцией (в отпускных ценах) и переработкой сырья по 12 предприятиям:

Составьте линейное уравнение регрессии, вычислите параметры и оцените тесноту корреляционной связи.

Решение.

Видно, что при росте размера предприятия возрастает фондоотдача, т.е. между этими показателями существует прямая корреляционная зависимость.

Коэффициент парной корреляции определяет тесноту связи между результативным и факторным показателями:

Расчет показателя тесноты связи

0,826

1,303

Т.к. 0< <1, значит корреляция между x и y называется положительной, и она показывает, что с ростом одного показателя второй показатель возрастает. Связь между показателями довольно тесная

Определим параметры a и b уравнения регрессии y = a + bх

Уравнение регрессии y = 1,829 + 1,533х.

Графики, соответствующие эмпирическому ряду данных и уравнению

Проанализировав зависимость валовой продукции от количества переработанного сырья, можно сказать, что зависимость между этими показателями прямая и очень тесная. Это подтверждается значением коэффициента корреляции и при графическом анализе направления и тесноты связи.

Список использованных источников

1.     Гусаров В.М. Статистика: Учебное пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.

2.       Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 2000.

.         Ефимова М.Р., Рябцев В.М. Общая теория статистики. - М.: Финансы и статистика, 1991.

.         Теория статистики: Учебник / Под ред. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 1999.