Вычисление пределов функций, производных и интегралов
Содержание
Задание № 1
Задание № 2
Задание № 3
Задание № 4
Задание № 5
Задание № 7
Задание № 8
Задача № 4
Задача № 5
Задача № 6
Список литературы
Задание № 1
3. б) Найти пределы функции:
Решение
Одна из основных теорем, на которой основано
вычисление пределов:
Если существуют
и , то:
Следовательно:
Ответ: предел функции
Задание № 2
3. б) Найти производную функции:
Решение
Воспользуемся правилом дифференцирования сложных
функций:
Пусть y
= f(x);
u
= g(x),
причем область значений функции u
входит в область определения функции f.
Тогда
Применим это правило к заданной функции:
Ответ:
Задание № 3
3. Исследовать функцию и построить ее график:
Решение
1. Найдем
область определения функции:
D(y)=R
2. Исследуем
функцию на четность и нечетность, на периодичность.
Условие четности: f(x)=f(-x)
Условие нечетности: f(-x)=-f(x)
при x=1:
y=0
при x=-1:
y=-4
Условия не выполняются, следовательно, функция не
является четной и нечетной.
Периодической называется такая функция, значения
которой не изменяются при прибавлении к аргументу некоторого (отличного от
нуля) числа – периода функции.
Функция
не периодична.
3. Найдем
промежутки знакопостоянства, выясним поведение функции на концах промежутков.
y=0 при
;
Следовательно, имеем три промежутка:
Определим знак на каждом промежутке:
при x=
-1 y=-4 < 0
при x=
0,5 y=0,125 > 0
при x=
2 y=2 > 0
Тогда: для
, для
Рассмотрим поведение функции на концах промежутков:
4. Найдем
промежутки монотонности функции, ее экстремумы.
при
,
- точки экстремума, они делят область определения
функции на три промежутка:
Исследуемая функция в промежутке
– возрастает
– убывает
- возрастает
5. Найдем
промежутки выпуклости графика функции, ее точки перегиба.
Найдем вторую производную функции:
при - точка перегиба
Для
,
следовательно, график функции на этом интервале
выпуклый вверх.
Для
,
следовательно, график функции на этом интервале
выпуклый вниз.
6. По
полученным данным построим график функции.
Рис. 3 График функции
Задание № 4
Найти интеграл:
3.
Решение
Неопределенным интегралом функции
f(x)
называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:
F(x)
+ C.
Записывают:
Условием существования неопределенного интеграла на
некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.
Замена переменной в неопределенном интеграле
производится с помощью подстановки:
Ответ: .
Задание № 5
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями,
используя определенный интеграл. Сделать чертеж.
, , , .
Решение.
Построим график функции:
при х=-2: y = 12
при х=-1: y = 5
при х=0: y = 0
при х=1: y = -3
при х=2: y = -4
при х=3: y = -3
при х=4: y = 0
при х=5:
y = 5
Рис. 1 График
Найдем точки пересечения графика функции с осью Оx:
Определим площадь полученной фигуры через
определенный интеграл:
кв. ед.
Ответ: площадь фигуры, ограниченной заданными
линиями = 13 кв. ед.
Задание № 7.
Найти общее решение или общий интеграл
дифференциального уравнения, решить задачу Коши для заданных начальных условий:
, при
Решение
Общий вид дифференциального уравнения:
Общим решением дифференциального уравнения первого
порядка называется функция от переменной x
и произвольной постоянной C,
обращающая уравнение в тождество. Общее решение, записанное в неявном виде , называется общим
интегралом.
Решение, полученное из общего при фиксированном
значении С: , где - фиксированное число,
полученное при заданных начальных условиях , называется частным решением, или решением
задач Коши.
Найдем общее решение или общий интеграл:
-
общее решение дифференциального уравнения
Найдем частное решение для при
Получаем:
Ответ: - любое число.
Задание № 8
Найти вероятность случайного события.
Условие: Брошена игральная кость. Какова вероятность
того, что выпадет нечетное число очков? Что выпадет шестерка»?
Решение.
Вероятностью события А называется математическая
оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность
события А равна отношению числа, благоприятствующих событию А исходов опыта к
общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу
событий.
..................................................................................................................
Исход опыта является благоприятствующим событию А,
если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление
события А.
Обозначим в данной задаче выпадение нечетного числа
– событие А, выпадение «шестерки» – событие В. На игральной кости шесть граней,
очевидно, что на трех из них число нечетное, на одной – «шестерка».
Тогда в соответствии с записанными выше формулами
получаем:
.
Ответ: 1. вероятность выпадения нечетного числа
равна ;
2. вероятность выпадения «шестерки» равна .
Методы вычислений и ЭВМ
Задача № 4.
Внедрение автоматизированного способа обработки
информации снизило расходы на ее обработку с 238200 руб. до 50175 руб.
Определите, на сколько процентов снизились расходы на обработку информации.
Приведите рациональный алгоритм вычислений на МК.
Решение:
Схема решения
|
Алгоритм
|
Результат
|
238200 – 100 %
50175 – х %
|
|
21,064 %
|
Задача № 5
Расходы на перевозку почты во II квартале
уменьшились на 2,5 % по сравнению с I кварталом; в III квартале увеличились на
2,9 % по сравнению со II кварталом; IV квартале они вновь увеличились на 3,1 %
по сравнению с III кварталом. Определите с точностью до 0,1 %, как изменились
расходы в IV квартале по сравнению с I кварталом. Запишите рациональный
алгоритм вычислений на МК.
Решение:
По условию задачи задано последовательное изменение
начального показателя N=100 процентов на
Р1=2,5 %, Р2=2,9 %, Р3= 3,1 %.
Тогда:
Nn = 100(1-2,5/100)(1+2,9/100)(1+3,1/100) =
100(1-0,025)(1+0,029)(1+0,031) = 100*0,975*1,029*1,031 = 103,4 %
Алгоритм выполнения этого вычисления на МК:
100 – 2,5 % + 2,9 % + 3,1 %
Задача № 6
Бригаде монтажников за месяц начислено 16713 руб.
Распределите заработную плату между членами бригады пропорционально следующим
данным. Приведите рациональный алгоритм вычислений на МК, а также решение
задачи с помощью табличного процессора (Excel, Super Calc и др.). Точность 0,01
руб.
Табельный номер
|
Часовая тарифная ставка, руб
|
Отработано часов
|
К оплате, руб
|
03
|
6,6
|
165
|
|
04
|
8,8
|
72
|
|
05
|
7,5
|
216
|
|
Алгоритм решения на МК:
6,6 * 165 М+
8,8 * 72 М+
7,5 * 216 М+
16713 /
MR MR * 1089 = М+
C C 633,6 = М+
1620 = М+
MR
C
Решение задачи с помощью табличного процессора Excel:
1. Ввод
названий граф документа:
Вводимая
строка
|
А1
|
Табельный
номер
|
А2
|
03
|
А3
|
04
|
А4
|
05
|
В1
|
Начислено,
руб. (всего)
|
С1
|
Часовая
тарифная ставка, руб.
|
D1
|
Отработано
часов
|
Е1
|
К
оплате, руб.
|
2. Ввод
исходных данных:
Адрес
ячейки
|
Исходные
данные
|
В2
|
16713
|
С2
|
6,6
|
С3
|
8,8
|
С4
|
7,5
|
D2
|
165
|
D3
|
72
|
D4
|
216
|
3. Ввод
расчетных формул:
Адрес
ячейки
|
Исходные
данные
|
F2
|
С2*D2
|
F5
|
=СУММ(F2:F4)
|
E2
|
$B$2/$F$5*F2
|
E5
|
=СУММ(Е2:Е4)
|
4. Конечный
результат:
Табельный
номер
|
Начислено,
руб. (всего)
|
Часовая
тарифная ставка, руб.
|
Отработано
часов, ч.
|
К
оплате, руб.
|
Ставка,
руб.
|
03
|
16713
|
6,6
|
165
|
5445,00
|
1089,00
|
04
|
|
8,8
|
72
|
3168,00
|
633,60
|
05
|
|
7,5
|
216
|
8100,00
|
1620,00
|
|
|
|
|
16713,00
|
3342,60
1.
Выгодский
М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: АСТ, 2005. – 991 с.
2.
Гусак
А.А., Гусак Г.М., Бричкова Е.А. Справочник по высшей математике. – Минск.
ТетраСистемс, 2004. – 640 с.
3.
Гмурман
В.Е. Теория вероятности и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1998.
– 479 с.
4.
Миносцев
В.Б. Курс высшей математики. Часть 2. М. 2005. – 517 с.
5.
Пономарев
К.К. Курс высшей математики. Ч. 2. – М.: Инфра-С, 1974. – 520 с.
Похожие работы на - Вычисление пределов функций, производных и интегралов
|