Вычисление интеграла по поверхности
Содержание
1)Поверхностный
интеграл второго рода
2)Вычисление
интеграла по поверхности
3)Теорема
Остроградского-Гаусса
4)Дивергенция
Литература
интеграл теорема доказательство
Интеграл
по поверхности
Поверхность
будем рассматривать
1.
как
образ замкнутой области при
непрерывном отображении
2.
Отображение
можно задать в векторном виде в каждой точке гладкой поверхности
3.
Для
существует нормаль , перпендикулярный к
касательным кривым в точке . Следовательно равен векторному произведению касательных
к векторов:
,
поверхность
-
направление
касательных прямых к и
в т. к поверхности
.
Направляющие
косинусы нормали к
поверхности
Задание
векторного поля характеризует задание вектор функции:
Примеры
векторных полей:
- поле скоростей текущей
жидкости или газа.
-
гравитационное поле
-
электростатистическое поле.
Если
в какой то области , заполненной жидкостью (или газом), текущей с
некоторой скоростью , к
каждой точке можно
поставить в соответствие векторное поле , то получим векторное поле скоростей текущей
жидкости.
Поверхностный
интеграл второго рода.
Определение
интеграла по поверхности.
Вычисление.
Дано:
-
область ограниченная поверхностью
Дано:
-
поверхность
-векторное
поле скоростей текущей жидкости или газа через поверхность в направлении нормали .
Функции
- непрерывны в области
с
границей .
Т/н
: поток жидкости (или газа) через поверхность в направлении .
Решение.
1.
Поверхность
разобьем
на произвольных
частей.
2.
Выберем
по точке
3.
Вычислим
скорость течения
жидкости в точке
4.
Определим
, где -скалярное произведение
-единичная нормаль к
поверхности в точке
- вектор в точке .
5.
Составим
6.
Найдем
Механический
смысл интеграла по поверхности
-
объем
цилиндра с основанием и
высотой .
Если
-скорость
течения жидкости , то равно
количеству жидкости или газа протекающий через поверхность за единицу времени в направлении
нормали .
- общее количество жидкости
или газа протекающей через поверхность в положительном направлении нормали равен
потоку векторного поля через
поверхность в
направлении нормали .
Вычисление
интеграла по поверхности
Пусть
нормаль :
Заметим,
что
Действительно,
как углы со взаимно
перпендикулярными сторонами. Следовательно , -угол между касательной плоскостью к и его проекцией на
плоскость
Следовательно
1.
Аналогично
Пример
1.
Найти
поток вектора через
часть поверхности параболоида
в направлении внутренней
нормали.
-проектируется на с двух сторон и образует с осью Ох углы (острый и тупой )
Аналогично
Пример
2. Вычислить , где -сфера , нормаль внешняя.
Пример
3. Найти поток вектора через
часть сферы в
направлении внешней нормали
Пример
4.
Пример
5.
Теорема
Остроградского-Гаусса.
Дивергенция.
-поток вектора через
поверхность в
направлении за единицу
времени есть разность между количеством жидкости вытекающей из области и количеством жидкости
втекающей в область .
1.
. Следовательно из
области жидкости
вытекает столько же сколько втекает.
2.
жидкости или газа вытекает
больше, внутри существует
источник.
3.
жидкости или газа
втекает больше чем вытекает , внутри существует сток.
Чтобы
оценить мощность источников и стоков внутри нам необходима теорема Остроградского-Гаусса.
Если
-непрерывна вместе с
частными производными в области то:
Поток
изнутри равен
суммарной мощности источников и стоков в области
за
единицу времени.
Величина
потока вектора через замкнутую поверхность :
является глобальной
характеристикой векторного поля в области и очень приблизительно позволяет судить о
наличии источников и стоков в области .
·
Поток
представляет собой избыток жидкости протекающей в сторону положительной нормали
, а не абсолютное
количество жидкости прошедшей через независимо от направления течения. В связи с
этим удобно ввести локальную характеристику распределения стоков и источников.
Такой характеристикой является дивергенция (плотность потока в точке):
Дивергенция:
Определение:- стягивается в точку.
Определение:
Дивергенцией векторного поля в точке называется предел отношения потока векторного
поля через поверхность к
объему , ограниченному
этой поверхностью, при условии что поверхность стягивается в точке .
Дивергенция
характеризует отнесенную к единице объема мощность потока векторного поля исходящего из точки , т.е. мощность источника и
стока находящегося в
точке .
- средняя объемная
мощность потока .
-существует источник в точке
.
- существует сток в точке
Теорема
2.
Доказательство:
ч.т.д.
Пример
1. . Найти поток
вектора через всю
поверхность тела , в направлении внешней
нормали.
Решение:
1.
2.
Литература
1. Ефимов А.В. Математический анализ
(специальные разделы). – М. Высшая школа, 1980
2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов
Б.Х. Математический анализ, I,II ч. М. Издательство МГУ, 1987
3. Шилов Г.Е. Математический анализ
функции нескольких вещественных переменных. ч. 1 – 2, М., Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1972.
4. Сборник задач по математике для
втузов. Специальные разделы математического анализа I,II ч. М. Наука 1981.
Размещено
на