Особые свойства Гамма-функции Эйлера
Реферат
Целью данной курсовой работы является изучение особых
свойств Гамма-функции Эйлера. В ходе работы была изучена Гамма-функция, её основные
свойства и составлен алгоритм вычисления с разной степенью точности. Алгоритм
был написан на языке высокого уровня - Си. Результат работы программы сверен с
табличным. Расхождений в значениях обнаружено не было.
Пояснительная
записка к курсовой работе выполнена в объёме 36 листов. Она содержит таблицу
значений гамма-функции при некоторых значениях переменных и тексты программ
для вычисления значений Гамма-функции и для построения графика, а также 2
рисунка.
Для написания
курсовой работы было использовано 7 источников.
Введение
Выделяют особый класс функций, представимых в
виде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не только от
формальной переменной, а и от параметра.
Такие функции называются интегралами
зависящими от параметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера.
Бета функции представимы интегралом Эйлера
первого рода:
Гамма функция представляется интегралом Эйлера
второго рода:
Гамма-функция
относится к числу самых простых и значимых специальных функций, знание свойств
которой необходимо для изучения многих других специальных функций, например,
цилиндрических, гипергеометрических и других.
Благодаря её
введению значительно расширяются наши возможности при вычислении интегралов.
Даже в случаях, когда конечная формула не содержит иных функций, кроме
элементарных, получение её всё же часто облегчает использование функции Г, хотя
бы в промежуточных выкладках.
Эйлеровы
интегралы представляют собой хорошо изученные неэлементарные функции. Задача
считается решённой, если она приводится к вычислению эйлеровых интегралов.
1.
Бэта-функция
Эйлера
Бэта – функции
определяются интегралом Эйлера первого рода:
=(1.1)
Он представляет
функцию от двух переменных параметров и : функцию B. Если эти параметры удовлетворяют условиям и ,то интеграл (1.1) будет
несобственным интегралом, зависящим от параметров и ,причём особыми точками этого интеграла будут
точки и
Интеграл (1.1) сходятся
при .Полагая получим:
= - =
т.e. аргумент и входят в симметрично. Принимая во внимание тождество
по формуле
интегрирования почестям имеем
Откуда получаем
=
(1.2)
При целом b = n
последовательно применяя (1.2)
Получим
(1.3)
при
целых = m,= n, имеем
но
B(1,1) = 1,следовательно:
Положим
в (1.1) .Так как
график функции симметрична
относительно прямой ,то
и в результате
подстановки , получаем
полагая в(1.1) ,откуда , получим
(1.4)
разделяя интеграл
на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до и применение ко второму интегралу подстановки
,получим
2. Гамма-функция
2.1 Определение
Восклицательный знак в математических трудах обычно
означает взятие факториала какого-либо целого неотрицательного числа:
n! =
1·2·3·...·n.
Функцию
факториал можно еще записать в виде рекурсионного соотношения:
(n+1)!
= (n+1)·n!.
Это соотношение
можно рассматривать не только при целых значениях n.
Рассмотрим
разностное уравнение
G(z+1)=zG(z).
(2.1)
Несмотря на
простую форму записи, в элементарных функциях это уравнение не решается. Его
решение называется гамма-функцией. Гамма-функцию можно записать в виде ряда или
в виде интеграла. Для изучения глобальных свойств гамма-функции обычно пользуются
интегральным представлением.
2.2
Интегральное
представление
Перейдем
к решению этого уравнения. Будем искать решение в виде интеграла Лапласа:
В этом случае
правая часть уравнения (2.1) может быть записана в виде:
Эта формула
справедлива, если существуют пределы для внеинтегрального члена. Заранее нам не
известно поведение образа [(G)\tilde](p) при p® ±¥. Предположим, что образ
гамма-функции таков, что внеинтегральное слагаемое равно нулю. После того, как
будет найдено решение, надо будет проверить, верно ли предположение о внеинтегральном
слагаемом, иначе придется искать G(z) как-нибудь по-другому.
Левая
часть равенства (2.1) записывается следующим образом:
Тогда уравнение (2.1)
для образа гамма-функции имеет вид:
Это уравнение
легко решить:
(2.2)
Нетрудно
заметить, что найденная функция [(Г)\tilde](p) на самом деле такова, что
внеинтегральный член в формуле (2.2) равен нулю.
Зная образ
гамма-функции, легко получить и выражение для прообраза:
Это
неканоническая формула, для того, чтобы привести ее к виду, полученному Эйлером,
надо сделать замену переменной интегрирования: t = exp(-p), тогда интеграл
примет вид:
Постоянная C
выбирается так, чтобы при целых значениях z гамма-функция совпадала с функцией
факториал: Г(n+1) = n!, тогда:
следовательно C =
1. Окончательно, получаем формулу Эйлера для гамма-функции:
(2.3)
Эта
функция очень часто встречается в математических текстах. При работе со специальными
функциями, пожалуй, даже чаще, чем восклицательный знак.
Проверить,
что функция, определенная формулой (2.3), действительно
удовлетворяет уравнению (2.1), можно,
проинтегрировав интеграл в правой части этой формулы по частям:
2.3 Область
определения и полюсы
В подынтегральной функции интеграла (2.3) при экспонента exp(-tz)
при R(z) > 0 убывает гораздо быстрее, чем растет алгебраическая
функция t(z-1). Особенность в нуле - интегрируемая, поэтому
несобственный интеграл в (2.3)
сходится абсолютно и равномерно при R (z) > 0. Более того, последовательным
дифференцированием по параметру z легко убедиться, что Г(z) -
голоморфная функция при R (z) > 0. Однако,
непригодность интегрального представления (2.3) при R (z) 0 не означает,
что там не определена сама гамма-функция - решение уравнения (2.1).
Рассмотрим
поведение Г(z) в окрестности нуля. Для этого представим:
где - голоморфная
функция в окрестности z = 0. Из формулы (2.1) следует:
Тогда
то есть Г(z)
имеет полюс первого порядка при z = 0.
Также
легко получить:
то есть в
окрестности точки функция Г(z) также имеет полюс первого
порядка.
Таким
же образом можно получить формулу:
(2.4)
Из этой формулы
следует, что точки z = 0,-1,-2,... - простые полюсы гамма-функции и других
полюсов на вещественной оси эта функция не имеет. Нетрудно вычислить вычет в
точке z = -n, n = 0,1,2,...:
2.4
Представление Ганкеля
через интеграл по петле
Выясним,
имеет ли гамма-функция нули. Для этого рассмотрим функцию
Полюсы этой
функции и есть нули функции Г(z).
Разностное
уравнение для I(z) легко получить, воспользовавшись выражением для Г(z):
Выражение
для решения этого уравнения в виде интеграла можно получить так же, как было
получено интегральное выражение для гамма-функции - через преобразование
Лапласа. Ниже приведены вычисления.ни такие же, как
и в п.1).ии теграла будут точки
или
После разделения
переменных получим:
Проинтегрировав получаем:
или
Переход к
прообразу Лапласа дает:
В полученном интеграле
сделаем замену переменной интегрирования:
тогда
Здесь важно
заметить, что подынтегральная функция при нецелых значениях z имеет
точку ветвления t = 0. На комплексной плоскости переменной t проведем
разрез по отрицательной вещественной полуоси. Интеграл по этой полуоси
представим как сумму интеграла по верхнему берегу этого разреза от до 0 и интеграла
от 0 до по
нижнему берегу разреза. Чтобы интеграл не проходил через точку ветвления,
устроим вокруг нее петлю.
Рис1: Петля в интегральном
представлении Ганкеля.
В результате
получим:
Чтобы выяснить
значение постоянной, вспомним, что I(1) = 1, с другой стороны:
Интегральное
представление
(2.5)
называется представлением
Ганкеля по петле.
Легко видеть, что
функция 1/Г(z) не имеет полюсов в комплексной плоскости, следовательно,
гамма-функция не имеет нулей.
С помощью этого
интегрального представления можно получить формулу для произведения
гамма-функций. Для этого в интеграле сделаем замену переменной , тогда:
то есть
2.5
Предельная форма Эйлера
Гамма-функцию
можно представить в виде бесконечного произведения. Это можно заметить, если в
интеграле (2.3)
представить
Тогда
интегральное представление гамма-функции:
В этой формуле
мы можем поменять пределы - предел интегрирования в несобственном интеграле и
предел при внутри
интеграла. Приведем результат:
Возьмем по частям
этот интеграл:
Если провести эту
процедуру n раз, получим:
Переходя к
пределу, получим предельную форму Эйлера для гамма-функции:
(2.6)
2.6
Формула для произведения
Ниже
понадобится формула, в которой произведение двух гамма-функций представляется
через одну гамма-функцию. Выведем эту формулу, используя интегральное представление
гамма-функций.
Повторный
интеграл представим как двойной несобственный интеграл. Это можно сделать,
воспользовавшись теоремой Фубини. В результате получим:
Несобственный
интеграл равномерно сходится. Его можно рассматривать, например, как интеграл
по треугольнику, ограниченному осями координат и прямой x+y = R при R. В двойном
интеграле сделаем замену переменных:
Якобиан этой
замены
Пределы
интегрирования: u меняется от 0 до ∞, v при этом меняется
от 0 до 1. В результате получим:
Перепишем опять
этот интеграл как повторный, в результате получим:
где
Rp > 0, Rv > 0.
2.
Производная
гамма функции
Интеграл
сходится при
каждом ,поскольку
,и
интеграл при сходится.
В области , где - произвольное
положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как и можно
применить признак Вейрштраса. Сходящимся при всех значениях является и весь интеграл так как и второе
слагаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом.Легко видеть что
интеграл сходится пов любой области где произвольно. Действительно для всех
указанных значений и для всех ,и так как сходится, то выполнены условия
признака Вейерштрасса. Таким образом , в области интеграл сходится равномерно.
Отсюда вытекает
непрерывность гамма функции при.Докажем дифференцируемость этой функции при .Заметим что функция
непрерывна
при и, и покажем ,что
интеграл :
сходится
равномерно на каждом сегменте , . Выберем число так , чтобы ; тогда при .Поэтому существует число такое , что и на.Но тогда на справедливо
неравенство
и так как
интеграл сходится,
то интеграл сходится
равномерно относительно на . Аналогично для существует такое число , что для всех выполняется неравенство
. При
таких и
всех получим
,
откуда в силу признака сравнения следует , что интеграл сходится равномерно относительно
на . Наконец ,
интеграл
в котором
подынтегральная функция непрерывна в области
, очевидно,
сходится равномерно относительно на . Таким образом , на интеграл
сходится равномерно
, а, следовательно , гамма-функция бесконечно дифференцируема при любом и справедливо равенство
.
Относительно
интеграла можно
повторить те же рассуждения и заключить, что
По индукции
доказывается , что Г-функция бесконечно дифференцируема прии для ее я -ой производной
справедливо равенство
Изучим теперь
поведение -
функции и построим эскиз ее графика. (см. Приложение 1)
Из выражения для
второй производной -функции видно, что для всех . Следовательно, возрастает.
Поскольку ,
то по теореме Роля на сегменте [1,2]производная при и при , т. е. Монотонно убывает на и монотонно
возрастает на .
Далее , поскольку , то при . При из формулы следует , что при .
Равенство , справедливое
при ,
можно использовать при распространении - функции на отрицательное значение .
Положим для, что . Правая часть
этого равенства определена для из (-1,0). Получаем, что так
продолженная функция принимает на (-1,0) отрицательные значения и
при , а
также при функция
.
Определив
таким образом на
, мы
можем по той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале
продолжением окажется
функция, принимающая положительные значения и такая, что при и . Продолжая этот процесс,
определим функцию , имеющею разрывы в целочисленных точках (см. Приложение
1.)
Отметим еще раз,
что интеграл
определяет
Г-функцию только при положительных значениях , продолжение на отрицательные
значения осуществлено
нами формально с помощью формулы приведения .
4. Вычисление некоторых интегралов.
Формула Стирлинга
Применим гамма функцию к вычислению
интеграла:
где m > -1,n
> -1.Полагая , что ,имеем
и на основании
(2.8) имеем
(4.1)
В интеграле
Где k >
-1,n > 0,достаточно положить
Интеграл
Где s >
0,разложить в ряд
=
где дзетта функция
Римана
Рассмотрим
неполные гамма функции (функции Прима)
связанные
неравенством
Разлагая, в ряд имеем
Переходя к
выводу формулы Стирлинга , дающей в частности приближенное значение n! при
больших значениях n ,рассмотрим предварительно вспомогательную функцию
(4.2)
Непрерывна на
интервале (-1,)
монотонно возрастает от до при изменении от до и обращаются в 0 при u = 0.Так как
то при u > 0 и
при u < 0 , далее имеем
И так
производная непрерывна и положительна во всем интервале ,удовлетворяет условию
Из предыдущего
следует, что существует обратная функция, определенная на интервале непрерывная и
монотонно возрастающая в этом интервале,
Обращающаяся в 0
при v=0 и удовлетворяющая условие
(4.3)
Формулу
Стирлинга выведем из равенства
полагая ,имеем
Положим далее введенная выше
обратная функция, удовлетворяющая условиям u = -1при ,и при .Замечая что(см.4.2)
имеем
,
полагая на конец
,,получим
или
в пределе при т.е. при (см 4.3)
откуда вытекает
формула Стирлинга
которую можно
взять в виде
(4.4)
где ,при
для достаточно
больших полагают
(4.5)
вычисление же
производится при помощи логарифмов
если целое
положительное число, то и (4.5) превращается в приближенную формулу
вычисления факториалов при больших значениях n
приведем без
вывода более точную формулу
где в скобках
стоит не сходящийся ряд.
5. Примеры вычисления интегралов
Для вычисления
необходимы формулы:
Г()
Вычислить
интегралы
ПРАКТИЧЕСКАЯ
ЧАСТЬ
Для вычисления
гамма-функции используется аппроксимация её логарифма. Для аппроксимации
гамма-функции на интервале x>0 используется следующая формула (для комплексных
z):
Г(z+1)=(z+g+0.5)z+0.5exp(-(z+g+0.5))[a0+a1/(z+1)+a2/(z+2)+...+an/(z+n)+eps]
Эта формула
похожа на аппроксимацию Стирлинга, но в ней имеется корректирующая серия. Для
значений g=5 и n=6, проверено, что величина погрешности ε не
превышает 2*10-10. Более того, погрешность не превышает этой
величины на всей правой половине комплексной плоскости: z > 0.
Для получения
(действительной) гамма-функции на интервале x>0 используется рекуррентная
формула Г(z+1)=zГ(z) и вышеприведенная аппроксимация Г(z+1). Кроме того, можно
заметить, что удобнее аппроксимировать логарифм гамма-функции, чем ее саму.
Во-первых, при этом потребуется вызов только одной математической функции - логарифма,
а не двух - экспоненты и степени (последняя все равно использует вызов логарифма),
во-вторых, гамма-функция - быстро растущая для больших x, и аппроксимация ее логарифмом
снимает вопросы переполнения.
Для аппроксимации
Ln(Г(х) - логарифма гамма-функции - получается формула:
log(Г(x))=(x+0.5)log(x+5.5)-(x+5.5)+
log(C0(C1+C2/(x+1)+C3/(x+2)+...+C7/(x+8))/x)
Значения
коэффициентов Ck - табличные данные (см. в программе).
Сама
гамма-функция получается из ее логарифма взятием экспоненты.
Заключение
Гамма функции являются удобным
средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех
интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.
Благодаря этому они широко применяются в
математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях
современной науки.
Список литературы
1. Специальные функции и их приложения:
Лебедев И.И.,М.,Гостехтериоиздат,1953
2. Математический
анализ часть 2:
Ильин О.А.,
Садовничий В.А., Сендов Бл.Х.,М.,”Московский университет”,1987
3. Сборник задач
по математическому анализу:
Демидович
Б.П.,М.,Наука,1966
4. Интегралы и
ряды специальные функции:
Прудников А.П.,
Брычков Ю.А.,М.,Наука,1983
5. Специальные
функции:
Кузнецов ,
М.,”Высшая школа”,1965
6.Асимптотика и
специальные функции
Ф.Олвер,
М.,Наука,1990.
7.Зоопарк чудовищ
или знакомство со спецмальными функциями
О.М.Киселёв,
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1 - График
гамма-функции действительного переменного
Приложение 2 –
График Гамма-функции
Таблица – таблица
значений гамма-функции при некоторых значениях аргумента.
Приложение 3 –
листинг программы, рисующий таблицу значений гамма-функции при некоторых
значениях аргумента.
Приложение 4 –
листинг программы, рисующей график гамма-функции
СОДЕРЖАНИЕ
Реферат.............................................................. ...................................3
Введение............................................................ ...................................4
Теоретическая часть…………………………………………………….5
Бета функция Эйлера…………………………………………….5
Гамма функция.................................................. ...................................8
2.1.
Определение………………………………………………...8
2.2. Интегральное
представление………………………………8
2.3. Область определения и
полюсы…………………………..10
2.4. Представление Ганкеля через
интеграл по петле………..10
2.5. Предельная форма
Эйлера………………………………...12
2.6. Формула для
произведения………………………………..13
Производная гамма функции .......................... ..................................15
Вычисление интегралов. Формула
Стирлинга...........................18
Примеры вычислений интегралов.................... ..................................23
Практическая
часть…………………………………………………….24
Заключение....................................................... ..................................25
Список литературы……………………………………………..............26
Приложения……………………………………………………………..27
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
График
гамма-функции действительного переменного
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
График
Гамма-функции
ТАБЛИЦА
|
х
|
g(x)
|
|
1.450
1.452
1.454
1.458
1.460
1.462
1.464
1.466
1.468
1.470
1.472
1.474
1.476
1.478
1.480
|
0.8856616058
0.8856432994
0.8856284520
0.8856170571
0.8856091082
0.8856045988
0.8856035228
0.8856058736
0.8856116452
0.8856208314
0.8856334260
0.8856494230
0.8856916004
0.8857177690
|
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<iostream.h>
#include<math.h>
#include<conio.h>
#define CN 8
static double cof[CN]={
2.5066282746310005,
1.0000000000190015,
76.18009172947146,
-86.50532032941677,
24.01409824083091,
-1.231739572450155,
0.1208650973866179e-2,
-0.5395239384953e-5,
};
double GammLn(double
x) {
double lg,lg1;
lg1=log(cof[0]*(cof[1]+cof[2]/(x+1)+cof[3]/(x+2)+cof[4]/(x+3)+cof[5]/(x+4)+cof[6]/(x+5)+cof[7]/(x+6))/x);
lg=(x+0.5)*log(x+5.5)-(x+5.5)+lg1;
return lg;
}
double Gamma(double x)
{
return(exp(GammLn(x)));
}
void main()
{
double x[8],g[8];
int i,j;
clrscr();
cout<<"vvedite x[1]";
cin>>x[1];
printf("\n\t\t\t_________________________________________");
printf("\n\t\t\t| x |Gamma(x) |");
printf("\n\t\t\t_________________________________________");
for(i=1;i<=8;i++)
{
x[i+1]=x[i]+0.5;
g[i]=Gamma(x[i]);
printf("\n\t\t\t|
%f | %f |",x[i],g[i]);
}
printf("\n\t\t\t_________________________________________");
printf("\n Dlia
vuhoda iz programmu najmite lybyiy klavishy");
getch();
}
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
#include<stdio.h>
#include<graphics.h>
#include<math.h>
#include<conio.h>
Double gam(double x,
double eps)
{
Int I, j, n,
nb;
Double
dze[5]={1.6449340668422643647,
1.20205690315959428540,
1.08232323371113819152,
1.03692775514336992633,
1.01734306198444913971};
Double a=x,
y, fc=1.0, s, s1, b;
If(x<=0)
{
Printf (“вы ввели неправильные данные, попробуйте
снова\n”); return -1.0;
}
If(x<i)
{
A=x+1.0;
Fc=1.0/x;
}
While (a>=2)
{
A=a-1.0;
Fc=fc*a;
}
A=a-1.0;
If(a==0) return fc;
B=a*a;
S=0;
For (i=0;i<5;i++)
{
S=s+b*dze[i]/(i+2.0);
B=-b*a;
}
Nb=exp((i.0/6.0)*(7.0*log(a)-log(42/0)-log(eps)))+I;
For
(n=1;n<=nb;n++)
{
B=a/n;
Si=0;
For(j=0;
j<5; j++)
{
Si=si+b/(j+1.0);
B=-b*a/n;
}
S=s+si-log(1.0+a/n);
}
Y=exp(-ce*a+s);
Return y*fc;
}
Main()
}
Double dx,dy,
xfrom=0,xto=4, yto=5, h, maxy, miny;
Int n=100, I,
gdriver=DETECT, gmode, X0, YN0, X, Y, Y0,pr=0;
Initgraph(&gdriver,&gmode,
“ ”);
X0=30;
YN0=getmaxy()-20;
Line(30, getmaxy
()-10,30,30);
Line(20, getmaxy
()-30, getmaxx ()-20, getmaxy ()-30);
X=170;
Y=450;
Do{
Moveto(X,Y);
DO{
Y=Y-1;
Lineto(X,Y);
Y=Y-10;
Moveto(X,Y);
}while (Y>30);
X=X+150;
Y=450;
}while (X<700);
X=30;
Y=366;
Do{
Moveto(X,Y);
Do{
X=X+1;
Lineto(X,Y);
X=X+10;
Moveto(X,Y);
}while (X<=620);
Y=Y-84;
X=30;
}while (y>=30);
X=30+150.0*0,1845;
Moveto(X,30);
For9i=1;i<n,i++)
{
Dx=(4.0*i)/n;
Dy=gam(dx,1e-3);
X=30+(600/0*i)/n;
Y=450-84*dy;
If(Y<30)
continue;
Lineto (X,Y);
}
X=30+150.0*308523;
Lineto(X,30);
Line (30,30,30,10);
Line(620,450,640,450);
Line(30,10,25,15);
Line(30,10,25,15);
Line(640,450,635,445);
Line(640,450,635,455);
Line(170,445,170,455);
Line(320,445,320,455);
Line(470,445,470,455);
Line(620,445,620,455);
Line(25,366,35,366);
Line(25,282,35,282);
Line(25,114,35,114);
Line(25,30,35,30);
Outtexty(20,465,"0");
Outtexty(165,465, "1";
Outtexty(315,465, "2";
Outtexty(465,465, "3";
Outtexty(615,465, "4";
Outtexty(630,465, "x";
Outtexty(15,364, "1";
Outtexty(15,280, "2";
Outtexty(15,196, "3";
Outtexty(15,112, "4";
Outtexty(15,30, "5";
Outtexty(15,10, "y";
Getch()
}