Гамма функции

1. Бэта-функции                                                  6                           

Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:

=                                          (1.1)         

сходятся при .Полагая =1 – t получим:

= - =

т.e. аргумент  и  входят в  симетрично. Принимая во внимание тождество

по формуле интегрирования почестям имеем

Откуда

=                                       (1.2)

                             7

При целом b = n последовательно применяя(1.2)                                                                    

Получим

                            (1.3)

при целых = m,= n,имеем

но B(1,1) = 1,следовательно:

Положим в (1.1)  .Так как график функции симметрична относительно прямой ,то

8

и в результате подстановки  ,получаем

полагая в(1.1) ,откуда ,получим                                                        

                                          (1.4)

разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и  от 1 до  и применение ко второму интегралу подстановки ,получим

=

                                            2. Гамма-функция                                                9

Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода

G(a) =                                          (2.1)

сходящийся при  0.Положим =ty,t > 0 ,имеем

G(a) =

и после замены , через  и t  через 1+t ,получим

Умножая это равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до, имеем:

или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка интегрирования ,получаем:

10

откуда   

                                                                                          (2.2)                                                      

заменяя в (2,1) ,на  и интегрируем по частям

получаем рекурентною формулу

                                                               (2.3)

так как

но при целом  имеем

                              (2.4)

то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал.Порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента.При n=1 в (2.4) имеем

3. Производная гамма функции                             11

Интеграл

сходится при каждом ,поскольку ,и интеграл  при сходится.

В области , где - произвольное положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как и можна применить признак Веерштраса. Сходящимся при всех значениях  является и весь интеграл  так как и второе слогаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом.Легко видеть что интеграл сходится пов любой области  где  произвольно.Действительно для всех указаных значений и для всех  ,и так как сходится, то выполнены условия признака Веерштрасса. Таким образом , в области интеграл cходится равномерно.

12

сходится равномерно на каждом сегменте  ,  . Выберем число так , чтобы ; тогда  при .Поэтому существует число  такое , что  и  на.Но тогда на  справедливо неравенство

и так как интеграл  сходится, то интеграл  сходится равномерно относительно  на . Аналогично для  существует такое число , что для всех  выполняется неравенство . При таких  и всех  получим , откуда  в силу признака сравнения следует , что интеграл  сходится равномерно относительно   на . Наконец , интеграл

в котором подынтегральная функция непрерывна в области

, очевидно, сходится равномерно относительно на . Таким образом , на   интеграл

13

сходится равномерно , а, следовательно , гаммма функция бесконечно дифференцируема при любом  и справедливо равенство

           .

Относительно интеграла можна повторить теже рассуждения и заключить, что

По индукции доказывается , что Г-функция бесконечно дифференцируема прии для ее я -ой производной справедливо равенство

Изучим теперь поведение - функции и построим єскиз ее графика .

Из выражения для второй производной -функции видно, что  для всех . Следовательно,  возрастает. Поскольку , то по теореме Роля на сегменте [1,2]производная  при  и при , т. е.  Монотонно убывает на и монотонно возрастает на . Далее , поскольку , то  при . При  из формулы следует , что   при .

14

Равенство , справедливое при , можно использовать при распространении - функции на отрицательное значение .

Положим для, что . Правая часть этого равенства определена для  из (-1,0). Получаем, что так продолженная функция  принимает на (-1,0) отрицательные значения и при , а также при   функция .

    Определив таким образом на , мы можем по  той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением  окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что при  и . Продолжая этот процесс, определим функцию , имеющею разрывы в целочисленных точках (см. рис.1)

Отметим еще раз, что интеграл

определяет Г-функцию только при положительных значениях , продолжение на отрицательные значения осуществлено нами формально с помощью формулы приведения .

15

(рис.1)

4. Вычисление некоторых интегралов.                              16

Формула Стирлинга

  Применим гамма функцию к вычислению интеграла:

 где m > -1,n > -1.Полагая , что ,имеем

и на основании (2.2) имеем

                               (3.1)

В интеграле

   Где k > -1,n > 0,достаточно положить

17

  Интеграл

  Где s > 0,разложить в ряд

=

где дзетта функция Римана

   Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)

связанные неравенством

   Разлагая, в ряд имеем

18

    Переходя к выводу формулы Стирлинга , дающей в частности  приближенное значение  n! при больших значениях n ,рассмотрим предварительно вспомогательную функцию

                                        (3.2)

    Непрерывна на интервале (-1,) монотонно возрастает от  до при изменении    от      до и обращаются в 0  при u = 0.Так как

то   при u > 0 и   при u < 0 , далее имеем

   И так производная непрерывна и положительна во всем интервале ,удовлетворяет условию

19

 Из предыдущего следует, что существует обратная функция,  определенная на интервале  непрерывная и монотонно возрастающая в этом интервале,   

Обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие

                                            (3.3)

  Формулу Стирлинга выведем из равенства

полагая ,имеем

   Положим далее введенная выше обратная функция, удовлетворяющая условиям u = -1при ,и  при  .Замечая что(см.3.2)

20

имеем

,                                                                                

полагая на конец ,,получим

или

в пределе при т.е. при (см3.3)

откуда вытекает формула Стирлинга

которую можно взять в виде

21

                                                     (3.4)

где  ,при                                                                                         

для достаточно больших  полагают

                                                     (3.5)

вычисление же производится при помощи логарифмов

если  целое положительное число, то  и (3.5) превращается в приближенную формулу вычисления факториалов при больших значениях n

приведем без вывода более точную формулу

где в скобках стоит не сходящийся ряд.

5. Примеры  вычисления интегралов                           22

Для вычисления необходимы формулы:

Г()

Вычислить интегралы

                                                                                              23                                 

Міністерство освіти і науки України

Запорізький державний університет

                                                                          ДО      ЗАХИСТУ    ДОПУЩЕНИЙ

                                                                           Зав. каф.   Математичного    аналізу

д. т. н. проф. ____ С.Ф. Шишканова

_________________________ 2002р.

ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА ДО КУРСОВОГО ПРОЕКТУ

ГАМА ФУНКЦІЇ

Розробив

Ст..гр.. 8221-2

Садигов Р.А.

Керівник

Ст. викладач

Кудря В.І.

Запоріжжя 2002.

Содержание

Задание на курсовую работу............................ ...................................2

Реферат.............................................................. ...................................4

введение............................................................ ...................................5

2. Гамма функции........................................ ...................................9

3. Производная гамма  функции ................ ..................................11

4. Вычисление интегралов формула Стирлинга............................16

5. Примеры вычеслений.............................. ..................................22

вывод................................................................ ..................................24

Список литературы……………………………………………..............25

Реферат

 Курсовая работа: 24 ст., 5 источников, 1 рис.

Обьект иследований: гамма и ее приложения.

      В работе идет речь о представлении бета и гамма функций с помощью интегралов Эйлера соответствено первого и второго рода. И о их применении для вычисления интегралов.

      Ключевые слова:

ГАММА  И БЕТА ФУНКЦИЯ, ИНТЕГРАЛ ЭЙЛЕРА, ПРОИЗВОДНАЯ, ПРЕДЕЛ.

Введение

           Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра.

          Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера.

            Бета функции представимы интегралом  Эйлера первого рода:

гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:

Вывод

       Гамма функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.

Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.

Список литературы

1. Специальные функции и их приложения:

Лебедев И.И.,М.,Гостехтериоиздат,1953

2. Математический анализ часть 2:

Ильин О.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х.,М.,”Московский университет”,1987

3. Сборник задач по математическому анализу:

Демидович Б.П.,М.,Наука,1966

4. Интегралы и ряды специальные функции:

Прудников А.П., Брычков Ю.А.,М.,Наука,1983

5. Специальные функции:

Кузнецов , М.,”Высшая школа”,1965