Линейное разностное уравнение
Министерство
образования Республики Беларусь
Учреждение
образования
«БЕЛОРУССКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»
Институт
информационных технологий
КОНТРОЛЬНАЯ
РАБОТА№1
По курсу:
Специальные математические методы и функции
Минск, 2013
1. Найти решение уравнения
с граничными условиями , и
начальными условиями , .
Решение:
Будем искать решение в виде ряда:
уравнение фурье
функционал экстремаль
.
Тогда: , .
Тогда исходное уравнение примет вид:
или разделяя переменные .
Т.к. и - независимые переменные, то
равенство возможно лишь в том случае, когда левая и правая части являются
вещественными числами:
, .
В результате для нахождения функцийи получаем
систему дифференциальных уравнений:
Рассмотрим вначале уравнение (2).
В силу нулевых краевых условий
имеем:
,
.
Анализ этих уравнений приводит к
выводу, что:
, .
Тогда уравнение (1) имеет решение:
.
Итак, мы нашли подходящие частные
решения:
.
Скомбинируем из них общее решение в
виде ряда:
. (3)
Для нахождения чисел и почленно
продифференцируем ряд по переменной :
. (4)
Подставим в (3) и (4) . Тогда с
учетом начальных условий будем иметь:
,
.
Мы получили разложение функций и в ряды
Фурье по синусам. Поэтому неизвестные коэффициенты определяются по стандартным
формулами:
.
.
Ответ:
. Найти симметричное преобразование
Фурье функции
Решение:
Ответ:
. Решить линейное разностное
уравнение
, , , .
Решение:
Пусть .
Тогда
.
Получаем операторное уравнение:
Имеем решение:
Функция представляет
собой несократимую дробь, знаменатель которой имеет корни , кратности
2.
Проверим, выполняются ли начальные
условия:
.
Значит, функция является
решением исходной задачи.
Ответ:.
. Найти допустимые экстремали
функционала
, , .
Решение:
Приступая к решению задачи,
замечаем, что:
, ,
, .
Поэтому уравнение Эйлера-Лагранжа
выглядит так:
.
Интегрируя, получаем решение:
.
Частное решение:
,
Подставим:
- искомая экстремаль.
Ответ: .
Список используемой литературы
1.
Бицадзе, А. В. Уравнения математической физики / А. В. Бицадзе. - М.: Наука,
1976. - 296 с.
.
Болгов, В. А. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 2. Специальные разделы
математического анализа: учеб. пособие для втузов / В. А. Болгов, А. В. Ефимов,
А. Ф. Каракулин [и др.]; под общ. редакцией Ефимова А. В. и Б. П. Демидовича -
2-е изд. - М.: Наука, 1986. - 368 с.
.
Гельфанд, И. М. Вариационное исчисление / И. М. Гельфанд, С. В. Фомин. - М.:
Наука, 1961. - 228 с. 3. Жевняк, Р. М. Высшая математика: Дифференциальные
уравнения. Уравнения математической физики. Теория функций комплексной
переменной: учеб. пособие / Р. М. Жевняк, А. А. Карпук - Минск: ИРФ Обозрение,
1977. - 570 с.
.
Жевняк, Р. М. Высшая математика: Операционное исчисление. Теория вероятностей.
Математическая статистика. Случайные процессы: учеб. пособие / Р. М. Жевняк, А.
А. Карпук. - Минск: ИРФ Обозрение, 1977. - 445с.