Дифференциальные уравнения

  • Вид работы:
    Контрольная работа
  • Предмет:
    Математика
  • Язык:
    Русский
    ,
    Формат файла:
    MS Word
    40,66 kb
  • Опубликовано:
    2011-09-27
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!

Дифференциальные уравнения

Задача 1. Найти экстремум функционала  при

Решение

Найдём частные производные подынтегральной функции:

; .

Вычислим полную производную по x от Fy' по формуле дифференцирования сложной функции:

функция линейное разностное уравнение экстремум


Имеем .

Составляем дифференциальное уравнение Эйлера вида:

.

Т.е.  или  (1).

Это ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение  - характеристические числа. Следовательно, общее решение однородного уравнения будет . Т.к. мы имеем неоднородное уравнение со специальной правой частью, частное решение неоднородного уравнения найдем методом неопределенных коэффициентов. Правая часть есть многочлен нулевой степени, умноженный на синус, поэтому . Подставим это решение в исходное уравнение:


Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид

.

Для нахождения произвольных постоянных C1 и C2 подставим полученное решение в граничные условия:


и тогда уравнение экстремали имеет вид:

.

Проверим достаточные условия сильного экстремума:

.

Т.к. , уравнение Якоби имеет вид:

 или .

Его общее решение есть .

Из условия , т.е. , имеем . Т.е. u(x), удовлетворяющее условию , имеет вид , где С - константа. Так как нетривиальное решение  уравнения Якоби  при , то условие Якоби выполняется.

б) проверим условие Лежандра: поскольку Fy'y' = 2 > 0 при любых y', то на кривой  достигается сильный минимум. Очевидно, на этой же кривой достигается и слабый минимум.

Значение функционала на найденной экстремали равно примерно -79,3784 (вычислено в математическом пакете Maple).

Ответ: -79,3784 достигается на кривой .

Задача 2. Найти

 

Решение

Для вычисления воспользуемся следующим свойством:

и известным значением гамма-функции

.

Тогда имеем

,

в свою очередь


и так далее, таким образом, получим, что


Ответ: .

Задача 3. Найти решение уравнения yk+2 - 19 yk = 4k, y0 = 1, y1 = 1.

Выполнить проверку решения

Решение

Имеем неоднородное линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами.

Его общее решение имеет вид , где у - общее решение соответствующего однородного уравнения,  - какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения.

Характеристическое уравнение

 - характеристические числа. Т.к. они действительные и различные, то

.

Т.к. мы имеем неоднородное уравнение со специальной правой частью, частное решение неоднородного уравнения найдем методом неопределенных коэффициентов. Правая часть есть полином нулевой степени, умноженный на действительное число степени k, не совпадающее ни с одним из характеристических чисел, поэтому . Подставим это решение в исходное уравнение:


Следовательно, решение исходного разностного уравнения есть

=.

Произвольные постоянные решения С1 и С2 найдем, используя начальные условия:

;

.


Окончательно имеем решение

.

Проверим решение:


Ответ: .

Похожие работы на - Дифференциальные уравнения

 

Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу
Без плагиата!