Дифференциальные уравнения
Задача 1. Найти экстремум
функционала 
при 
Решение
Найдём частные производные
подынтегральной функции:
; 
.
Вычислим полную производную по x
от Fy'
по формуле дифференцирования сложной функции:
функция линейное разностное
уравнение экстремум
Имеем 
.
Составляем дифференциальное
уравнение Эйлера вида:
.
Т.е. 
или 
(1).
Это ЛНДУ второго порядка с
постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение 
-
характеристические числа. Следовательно, общее решение однородного уравнения
будет 
. Т.к. мы
имеем неоднородное уравнение со специальной правой частью, частное решение
неоднородного уравнения найдем методом неопределенных коэффициентов. Правая
часть есть многочлен нулевой степени, умноженный на синус, поэтому 
. Подставим
это решение в исходное уравнение:
Тогда общее решение уравнения (1)
имеет вид
.
Для нахождения произвольных
постоянных C1 и C2 подставим
полученное решение в граничные условия:
и тогда уравнение экстремали имеет
вид:
.
Проверим достаточные условия
сильного экстремума:
.
Т.к. 
, уравнение Якоби имеет вид:
или 
.
Его общее решение есть 
.
Из условия 
, т.е. 
, имеем 
. Т.е. u(x),
удовлетворяющее условию , имеет вид 
, где С -
константа. Так как нетривиальное решение 
уравнения Якоби 
при 
, то условие
Якоби выполняется.
б) проверим условие Лежандра:
поскольку Fy'y' = 2 > 0
при любых y', то на
кривой достигается
сильный минимум. Очевидно, на этой же кривой достигается и слабый минимум.
Значение функционала на найденной
экстремали равно примерно -79,3784 (вычислено в математическом пакете Maple).
Ответ: 
-79,3784
достигается на кривой .
Задача 2. Найти 
Решение
Для вычисления воспользуемся
следующим свойством:
и известным значением гамма-функции
.
Тогда имеем
,
в свою очередь
и так далее, таким образом, получим,
что
Ответ: 
.
Задача 3. Найти решение уравнения yk+2 - 19 yk = 4k, y0
= 1, y1 = 1.
Выполнить проверку решения
Решение
Имеем неоднородное линейное
разностное уравнение с постоянными коэффициентами.
Его общее решение имеет вид 
, где у
- общее
решение соответствующего однородного уравнения, 
- какое-нибудь частное решение
неоднородного уравнения.
Характеристическое уравнение
- характеристические числа. Т.к.
они действительные и различные, то
.
Т.к. мы имеем неоднородное уравнение
со специальной правой частью, частное решение неоднородного уравнения найдем
методом неопределенных коэффициентов. Правая часть есть полином нулевой
степени, умноженный на действительное число степени k, не совпадающее ни с
одним из характеристических чисел, поэтому 
. Подставим это решение в исходное
уравнение:
Следовательно, решение исходного
разностного уравнения есть
=
.
Произвольные постоянные решения С1
и С2 найдем, используя начальные условия:
;
.
Окончательно имеем решение
.
Проверим решение:
Ответ: .