Величини в шкільному курсі математики
Курсова робота
Величини в шкільному курсі математики
Вступ
математика скалярний векторний шкільний
Величини є складовою частиною змісту багатьох наук: математики, фізики, хімії, астрономії, біології та ін. Без величин вивчення природи обмежувалося б лише спостереженнями і залишалося на описовому рівні. Відомо, наприклад, що при нагріванні тіла розширюються. Це явище було відомо з давніх часів. Введення таких величин, як температура і об'єм, встановлення залежності між ними дозволило значно збагатити знання про це явище.
Кожен об'єкт має багато різних властивостей, які відображені у відповідних величинах.
Величини не існують самі по собі як якісь субстанції, відірвані від матеріальних об'єктів і їх властивостей. З іншого боку, величини в деякій мірі ідеалізують властивості об'єктів і явищ. У процесі абстракції завжди відбувається огрубіння дійсності, відволікання від ряду обставин. Тому величини - це не сама реальність, а лише її відображення. Проте практика показує, що величини вірно відображають властивості навколишньої дійсності.
Величини тісно пов'язані з поняттям вимірювання. Результат вимірювання виражається числовим значенням величини. Виміри є одним із шляхів пізнання природи людиною, об'єднуючим теорію з практичною діяльністю людини. Роль і значення вимірювань у процесі розвитку природничих і технічних наук безперервно зростає, так як зростає число і якість різних вимірів величин.
Таким чином, величини дозволяють перейти від описового до кількісного вивчення властивостей об'єктів, тобто матемізувати знання про природу.
Поняття величини в математиці виникло в результаті абстрагування від якісних особливостей властивостей реальних об'єктів, щоб виділити тільки кількісні відносини. А для цього, як вказує Ф. Енгельс, «…необхідно абсолютно відокремити їх від їхнього змісту, залишити це останнє осторонь як щось байдуже: таким шляхом ми отримуємо точки, позбавлені вимірів, лінії, позбавлені товщини і ширини, різні а й b, х і у, постійні та змінні величини».
Поряд з вивченням конкретних величин в школі важливо, щоб учні отримали достатньо повне і в той же час доступне уявлення про те, що таке величина взагалі; які її властивості, види; яка роль і місце величин в пізнанні природи; що означає величина і як виміряти її; в чому полягає математична обробка результатів вимірювань і т.д. Розуміння цих питань сприяє формуванню в учнів наукового світогляду.
Вивчаючи величини, учні знайомляться також з основними метрологічними поняттями: розмір, значення, розмірність величини. Про зростання ролі величин у пізнанні природи говорить і той факт, що вони проникають вже в такі традиційно «не математизовані» науки, як біологія, психологія, педагогіка, соціологія та інші, тому тема роботи є актуальною.
Метою курсової роботи є вивчення ролі поняття величини в шкільному курсі математики, ознайомлення з основними підходами до введення даного поняття та формування у учнів поняття і навиків роботи з величинами в шкільному курсі математики.
Обєктом дослідження в курсовій роботі виступають величини в шкільному курсі математики. Предметом дослідження основні підходи до визначення та формування поняття величини та її видів у учнів.
Згідно мети визначено завдання:
1)Ознайомлення з поняттям величини та її роллю в математиці.
2)Вивчення основних підходів до поняття скалярної та векторної величини.
3)Засвоєння основних кроків спрямованих на формування у учнів поняття скалярної та векторної величин.
1. Поняття величини в математиці
Поняття величини вперше з'явилося у філософській літературі і пов'язувалося з дійсними числами. Число генетично виникло в процесі рахунку предметів і вимірювань величин (довжин, площ, обємів та ін.). На цю обставину вказував ще давньогрецький філософ Аристотель. Предметом вивчення математики до XVII ст., як відомо, були постійні величини. Пізніше, коли постало завдання математичного опису процесів і рухів у фізиці та астрономії, були введені змінні величини. До середини минулого століття математика мала справу з величинами, але вивчала не конкретні властивості окремих величин, а загальні властивості і відносини об'єктів математичної природи, абстраговані від якісного змісту. Даламбер в знаменитій французькій енциклопедії (XVIII ст.) визначає математику як «науку, що вивчає властивості величин, оскільки вони перераховуються і вимірні».
Однак як у філософській, так і в математичній літературі того часу визначення поняття величини в більшості випадків мали описовий характер. Наприклад, Л. Ейлер називав величиною «все те, що здатне збільшуватися або зменшуватися». У процесі свого розвитку поняття величини піддавалося ряду узагальнень. Ще Евклідом в книзі «Початки» дано перше узагальнення таких конкретних понять, як «довжина відрізка», «площа», «обсяг» і т. Д., у вигляді аксіом. Ці аксіоми побічно визначають поняття позитивної скалярної величини. Розширення цього поняття призвело в подальшому до понять скалярної, векторної і тензорною величин.
Обмежимося розглядом двох основних видів величин: скалярних і векторних, які знайшли широке застосування в шкільному навчанні.
1.1 Скалярні величини
У математиці існує кілька підходів до поняття скалярної величини. В одних випадках величини просто ототожнюються з числами, в інших величина визначається як функція із заданими властивостями і тд.
При аксіоматичному підході, який отримав широке поширення, скалярна величина визначається побічно через ту чи іншу систему аксіом. Вибір системи може бути різним (роботи А.Н. Колмогорова, Н.Я. Віленкіна та ін.). В одних випадках аксіоматика скалярних величин припускає відомими дійсні числа, в інших скалярна величина має самостійне визначення.
Наведемо приклад аксіоматики поняття скалярної величини, яка передбачає відомі поняття упорядкованої комутативності напівгрупи. Для визначеності розглянемо спочатку позитивні скалярні величини. Системою позитивних скалярних величин називається впорядкована комутативна підгрупа G = {a, b, c,…} з визначеними на ній операціями додавання і відносинами порядку, що задовольняють наступним аксіомам:
) a + b> a (монотонність додавання).
) Якщо а> b, то існує єдиний елемент с ∈ G, такий, що
a = b + c. Пишуть: c = a - b (можливість віднімання).
) При будь-якому a ∈ G і n ∈ N існує елемент b ∈ G, такий, що n*b = а. Пишуть: b = a / n.
) При будь-якому а ∈ G і b ∈ G існує натуральне число n ∈ N, таке, що a <nb (аксіома Архімеда).
5) Якщо нескінченна послідовність a 1 <a 2 <… <b 2 <b 1 володіє тою властивістю, що при будь-якому c ∈ G існує натуральне число n ∈ N, таке що b n - a n <c, то існує єдиний елемент х 0 ∈ G, такий що a k <х 0 <b k (при будь-якому k ∈ N) (аксіома Кантора).
Кожен елемент системи G називається позитивною скалярною величиною, причому якщо величини a, b ∈ G, то вони називаються однорідними величинами. В іншому випадку величини називаються різнорідними. Для них операція додавання і відношення порядку не визначені.
В математиці мають справу з досить великою кількістю скалярних величин.
Можна довести, наприклад, що довжини відрізків підкоряються розглянутій системі аксіом. Для цього розглянемо безліч всіх довжин відрізків евклідової площини. Якщо на множині L задано відношення еквівалентності, то можна розбити цю безліч на класи що не перетинаються: L = К [АB] ∪ K [CD] ∪…. об'єднуючи в один клас всі еквівалентні між собою елементи (відрізки). Відношення конгруентності є відношенням еквівалентності, так як воно рефлексивне, симетричне і транзитивне. Значить, клас еквівалентності К [АВ] є безлічю всіх відрізків, конгруентних відрізку AB, клас еквівалентності K [CD] є безлічю всіх відрізків, конгруентних відрізку CD, і т.д. На множині L введемо операцію додавання: для цього на довільному промені [ОХ] відкладемо будь-який відрізок [ОМ] ≡ [АВ] ∈ K [A B] і від точки М відкладемо відрізок [MN]≡ [CD] ∈ K [CD], які є представниками в класах еквівалентності К [A B] і K[CD] Точка М не залежить від вибору відрізка АВ в класі еквівалентності К [АВ], а точка N не залежить від вибору відрізка CD у класі K [CD]. Відрізок ON однозначно визначає елемент K [0N] ∈ L, який не залежить від вибору променя ОХ.
Таким чином, для кожних двох елементів К [АВ], K [CD] множини L існує єдиний елемент K [0N], який і називається сумою даних елементів: K [АВ] + K [CD] = K [0N] (відрізки ON, АВ, CD - представники своїх класів). Відрізок ON представляється відрізками АВ і CD не однозначно, а з точністю до переміщення. Проте кажуть, що відрізок ON є сумою відрізків АВ і CD.
З означення додавання відрізків випливає, що К [А В]+K [CD] >К [АВ]. Далі можна переконатися, що складання відрізків коммутативне і асоціативне (на підставі коммутативності і асоціативності додавання векторів ОМ →, MN →, ON →), т. Е. Множина L є комутативною (абелевою) підгрупою щодо операції додавання.
Далі, визначимо відношення порядку на L. На довільному промені ОХ відкладемо [ОМ] ≡ [АB] ∈ K [АB] і [ОМ'] ≡ [CD] ∉ K[CD]. Можливий тільки один в трьох випадках:
) Точка М збігається з точкою М'. Тоді [А B] ≡ [CD] і K [АB] = K [CD]
) Точка М лежить між точками О і М'. Тоді K [А B] <K [CD].
) Точка М' лежить між точками О і М. Тоді K [А B]> K [CD].
Відношення між К [АВ] і K [CD] не залежить від вибору променя ОХ та представників [AВ] і [CD] в класах еквівалентності К [АВ]і K [СD]. Очевидно, K [A B] ≤ K [CD] → K [AB] + К [XY] ≤ K [CD] + K [XY] при будь-якому K [ХУ] ∈ L
Отже, комутативна підгрупа є впорядкованою, а множина L є системою позитивних скалярних величин. ЇЇ елементи називаються довжинами. Наприклад, довжина відрізка АВ являє собою певний клас еквівалентності К [A B], як елемент системи позитивних скалярних величин. Іншими прикладами позитивних скалярних величин є площа, об'єм. У цьому випадку також можна довести, що площі, обєми являють собою систему позитивних скалярних величин, які є впорядкованою комутативною підгруппой.
Значить, у множині довжин відрізків, площ, обємів справедливі одні й ті ж аксіоми. Таким чином, різні за своєю природою величини, що відображають різні властивості об'єктів, мають ряд загальних властивостей, їх і називають позитивними скалярними величинами.
Іноді доводиться розглядати таку систему скалярних величин, коли підгрупа (G) містить елемент «нуль», що володіє властивістю: a + 0 = a. У цьому випадку виходить система невід'ємних скалярних величин (наприклад, невід'ємні дійсні числа).
Нарешті, ще більш розширеним поняттям розглянутих раніше систем величин є система скалярних величин.
Наприклад, множина R дійсних чисел є системою скалярних величин щодо операції додавання і природного порядку в R. Іншими прикладами можуть бути величина кута та ін. Взагалі кажучи, щоб встановити, чи є яка-небудь величина скалярною, необхідно показати, що множина таких величин є впорядкована комутативна півгрупа, яка задовольняє аксіомам 1) -5).
Виміром величини з системи С скалярних величин називається ізоморфное відображення f: G → R впорядкованої напівгрупи G на впорядковану напівгрупу R, в якій існує елемент e ∈ G, такий, що f (e) = 1. Елемент e називається одиницею виміру. Число f (a)= a називається мірою або числовим значенням величини a ∈ G при одиниці виміру e. Записують так: a = ae (ae іноді називають іменованих числом).
Зокрема, нехай L - множина відрізків, a R - безліч додатніх чисел. Вимірювання відрізка встановлено, якщо визначено відображення f: L→ R, яке задовольняє наступним аксіомам, які називаються аксіомами вимірювання відрізків: 1) конгруентні відрізки мають рівні довжини (інваріантність функції при переміщенні); 2) довжина відрізка, що складається з декількох відрізків без внутрішніх точок, дорівнює сумі довжин цих відрізків (адитивність функції); 3) існує відрізок, довжина якого дорівнює 1 (цей відрізок називається одиничним). Слід зауважити, що сказане справедливе в метричній геометрії. У евклідовій геометрії подібності немає одиничного відрізка. Щоб перейти від геометрії подібності до метричної геометрії, потрібно якийсь відрізок зафіксувати як одиничний, тоді число, що виражає довжину всякого іншого відрізка, буде його відношенням до вибраного «одиничного». Будь-якому відрізку в геометрії подібності відповідає відображення, яке задовольняє аксіомам 1) -3). Результат вимірювання довжини відрізка АВ записують так: | АВ | = α e, де а - числове значення, е - одиниця виміру. Наприклад, | АВ | = 5 см.
Можна довести, як наслідок, що довжина частини відрізка не перевищує довжини всього відрізка. Дійсно, нехай [АС] - відрізок і [АВ] - його частина. [АВ] і [ВС] разом складають [АС], тобто | АС | = | АВ | + | ЗС | (на підставі адитивності). Очевидно, | ВC | ≥ 0, значить, | АС | ≥ | АВ |.
1.2 Векторні величини
Такі поняття як швидкість, прискорення і т.д. утворюють інший різновид величин - векторні величини. Особливістю векторних величин є їх спрямованість у просторі. Це обумовлює наявність у векторних величин властивостей, відмінних від властивостей скалярних величин.
Зупинимося насамперед на понятті вектора, яке узагальнює багато властивостей векторних величин і є математичним апаратом при їх вивченні.
Існує кілька інтерпретацій поняття вектора. Наведемо найбільш характерні приклади, що розкривають це поняття.
. Один з підходів використовує поняття напрямленого відрізка, під яким розуміється відрізок з фіксованими початковою і кінцевою точками. Нехай кожна точка площини (або простору) являє собою початок деякого напрямленого відрізка з множини всіх напрямлених відрізків площини (простору). Цю множину напрямлених відрізків розіб'ємо на підмножини, кожна з яких складається з співнапрямлених відрізків рівної довжини. Такі відрізки АВ і CD називають еквіполентними. Можна переконатися, що відношення еквіполентності володіє трьома властивостями:
) рефлексивності: якщо А=С і В=D, то напрямлені відрізки АВ і CD співпадуть і тому мають рівні довжини. Ці відрізки є співнапрямленими, так як їх напрямок визначається одним і тим же променем;
) симетричності: якщо | АВ | = | CD | і [AВ] ↑↑ [CD], то | CD | = | АВ | і [CD] ↑↑ [AB]. Для випадку, коли відрізки АВ і CD лежать на одному промені, ця властивість є очевидною. Тепер нехай напрямлені відрізки АВ і CD лежать на різних променях. З умови | АВ | = | CD | і [AB]↑↑[CD] випливає, що АВ і CD є протилежними сторонами паралелограма. Значить, | CD | = |АВ| і CD ↑↑ АВ;
) транзитивності.
Таким чином, ставлення еквіполентності напрямлених відрізків є відношенням еквівалентності. Безліч напрямлених відрізків розбивається на класи еквівалентності до К 1 і K 2,… Спрямований відрізок АВ ∈ К цілком визначає весь клас еквіполентних йому спрямованих відрізків К. Цей напрямлений відрізок часто називають представником.
Введемо операцію додавання. Нехай потрібно скласти два класи еквіполентних відрізків K 1 і К 2. Виберемо в одному класі еквіполентних відрізків довільний напрямлений відрізок АВ ∈ K 1 потім в іншому класі беремо відрізок ВС ∈ K 2 з початком в точці В. Якщо точка С - кінець другого відрізка, то напрямлений відрізок АС належить деякому класу еквіполентних відрізків К, який називається сумою даних класів К 1 і К 2: K 1 + К 2 = К.В курсах геометрії доводиться, що K визначається за допомогою К 1 і K 2 однозначно, незалежно від вибору точки A, від якої відкладається напрямлений відрізок АВ ∈ K 1.
Введемо тепер операцію множення класу еквіполентних відрізків на число. Напрямлені відрізки, еквіполентні відрізку АВ, утворюють клас еквіполентних напрямлених відрізків K 1. Множачи кожне з них на одне і те ж число m, отримаємо інший клас еквіполентних відрізків К 2, який утворюється добутком K 1 на число m: К2 = m×К 1. Якщо m >0, то напрямлені відрізки в класах K 1 і K 2 співнапрямлені; якщо m <0, то протилежно напрямлені.
Операції додавання і множення на число в множині класів еквіполентних напрямлених відрізків мають ряд властивостей. Зокрема, побудовою легко показати властивість асоціативності щодо операції додавання. Зауважимо, що при виконанні геометричних побудов ми працюємо з представниками класів еквіполентних спрямованих відрізків. Відкладемо від довільної точки А напрямлений відрізок АВ ∈ К1 від його кінця В-напрямлений відрізок ВС ∈ K 2, а від кінця С напрямленого відрізка ВС - відрізок CD ∈ K 3. Згідно з визначенням напрямлений відрізок АС визначає суму класів K 1 і K 2 еквіполентних відрізків, тобто [АС] ∈ K 1 K 2, напрямлений відрізок BD визначає суму K 2 + K 3, тобто [BD] ∈ K 2 + K 3. Напрямлений відрізок AD визначає, з одного боку, клас (K 1 + K 2) + K 3, а з іншого боку - клас K 1 + (K 2 + K 3). Отже, (K 1 + K 2) + K 3 = K 1 + (K 2 + K 3).
У множині класів еквіполентних напрямлених відрізків можна знайти й інші властивості:
) K 1 + K 2 = K 2 + K 1
2) К + 0 = К,
3) К + (-K) = 0,
) 1 × К = K,
5) (х + у) К = хК + yк,
6) х (K 1 + K 2) = xK 1 + хК 2,
7) ху(К) = х (уК), де х і y - числа. Елементи розглянутої множини називаються векторами.
Введемо операцію додавання перенесеннь. Послідовно виконаємо два перенесення T 1 і T 1: відображення (паралельне перенесення) довільну точку A переводить в точку В = T 1 (A), а відображення T 2 - точку В в точку С = T 2 (В). Результат послідовного виконання перенесень T 1